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2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)、,數(shù)列滿(mǎn)足,,,則()A.對(duì)于任意,都存在實(shí)數(shù),使得恒成立B.對(duì)于任意,都存在實(shí)數(shù),使得恒成立C.對(duì)于任意,都存在實(shí)數(shù),使得恒成立D.對(duì)于任意,都存在實(shí)數(shù),使得恒成立2.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?,?dāng)時(shí),.若,則函數(shù)在上的最大值為()A.4 B.6 C.3 D.83.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,則的值為()A. B. C. D.4.?dāng)?shù)列滿(mǎn)足:,則數(shù)列前項(xiàng)的和為A. B. C. D.5.已知六棱錐各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球(記為球)的球面上,且底面為正六邊形,頂點(diǎn)在底面上的射影是正六邊形的中心,若,,則球的表面積為()A. B. C. D.6.《周易》歷來(lái)被人們視作儒家群經(jīng)之首,它表現(xiàn)了古代中華民族對(duì)萬(wàn)事萬(wàn)物的深刻而又樸素的認(rèn)識(shí),是中華人文文化的基礎(chǔ),它反映出中國(guó)古代的二進(jìn)制計(jì)數(shù)的思想方法.我們用近代術(shù)語(yǔ)解釋為:把陽(yáng)爻“-”當(dāng)作數(shù)字“1”,把陰爻“--”當(dāng)作數(shù)字“0”,則八卦所代表的數(shù)表示如下:卦名符號(hào)表示的二進(jìn)制數(shù)表示的十進(jìn)制數(shù)坤0000震0011坎0102兌0113依此類(lèi)推,則六十四卦中的“屯”卦,符號(hào)“”表示的十進(jìn)制數(shù)是()A.18 B.17 C.16 D.157.已知平面向量,,,則實(shí)數(shù)x的值等于()A.6 B.1 C. D.8.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增,則的取值范圍()A. B. C. D.9.已知直線(xiàn),,則“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件10.已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足,則的最大值為()A. B. C. D.611.已知半徑為2的球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接圓柱,若圓柱的高為2,則球的體積與圓柱的體積的比為()A. B. C. D.12.已知定義在上的函數(shù),,,,則,,的大小關(guān)系為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在面積為的中,,若點(diǎn)是的中點(diǎn),點(diǎn)滿(mǎn)足,則的最大值是______.14.已知等比數(shù)列滿(mǎn)足公比,為其前項(xiàng)和,,,構(gòu)成等差數(shù)列,則_______.15.若一個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)為1,四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上,則此球的表面積為_(kāi)________.16.若變量,滿(mǎn)足約束條件則的最大值為_(kāi)_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn),點(diǎn)在軸上,為坐標(biāo)原點(diǎn),且滿(mǎn)足,經(jīng)過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于、兩點(diǎn),且.(1)求拋物線(xiàn)的方程;(2)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于、兩點(diǎn),若,求點(diǎn)到直線(xiàn)的最大距離.18.(12分)在以為頂點(diǎn)的五面體中,底面為菱形,,,,二面角為直二面角.(Ⅰ)證明:;(Ⅱ)求二面角的余弦值.19.(12分)已知函數(shù)(Ⅰ)若,求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程;(Ⅱ)若在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(Ⅲ)若數(shù)列的前項(xiàng)和,,求證:數(shù)列的前項(xiàng)和.20.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線(xiàn)的參數(shù)方程為(為參數(shù),),點(diǎn).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程,并指出其形狀;(2)曲線(xiàn)與曲線(xiàn)交于,兩點(diǎn),若,求的值.21.(12分)已知,函數(shù).(1)若,求的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)若,求的值.22.(10分)運(yùn)輸一批海鮮,可在汽車(chē)、火車(chē)、飛機(jī)三種運(yùn)輸工具中選擇,它們的速度分別為60千米/小時(shí)、120千米/小時(shí)、600千米/小時(shí),每千米的運(yùn)費(fèi)分別為20元、10元、50元.這批海鮮在運(yùn)輸過(guò)程中每小時(shí)的損耗為m元(),運(yùn)輸?shù)穆烦虨镾(千米).設(shè)用汽車(chē)、火車(chē)、飛機(jī)三種運(yùn)輸工具運(yùn)輸時(shí)各自的總費(fèi)用(包括運(yùn)費(fèi)和損耗費(fèi))分別為(元)、(元)、(元).(1)請(qǐng)分別寫(xiě)出、、的表達(dá)式;(2)試確定使用哪種運(yùn)輸工具總費(fèi)用最省.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.D【解析】
取,可排除AB;由蛛網(wǎng)圖可得數(shù)列的單調(diào)情況,進(jìn)而得到要使,只需,由此可得到答案.【詳解】取,,數(shù)列恒單調(diào)遞增,且不存在最大值,故排除AB選項(xiàng);由蛛網(wǎng)圖可知,存在兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn),且,,因?yàn)楫?dāng)時(shí),數(shù)列單調(diào)遞增,則;當(dāng)時(shí),數(shù)列單調(diào)遞減,則;所以要使,只需要,故,化簡(jiǎn)得且.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查遞推數(shù)列的綜合運(yùn)用,考查邏輯推理能力,屬于難題.2.A【解析】
根據(jù)所給函數(shù)解析式滿(mǎn)足的等量關(guān)系及指數(shù)冪運(yùn)算,可得;利用定義可證明函數(shù)的單調(diào)性,由賦值法即可求得函數(shù)在上的最大值.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?,且,則;任取,且,則,故,令,,則,即,故函數(shù)在上單調(diào)遞增,故,令,,故,故函數(shù)在上的最大值為4.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)冪的運(yùn)算及化簡(jiǎn),利用定義證明抽象函數(shù)的單調(diào)性,賦值法在抽象函數(shù)求值中的應(yīng)用,屬于中檔題.3.C【解析】
求得等比數(shù)列的公比,然后利用等比數(shù)列的求和公式可求得的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,,,,因此,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用,解答的關(guān)鍵就是求出等比數(shù)列的公比,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.4.A【解析】分析:通過(guò)對(duì)an﹣an+1=2anan+1變形可知,進(jìn)而可知,利用裂項(xiàng)相消法求和即可.詳解:∵,∴,又∵=5,∴,即,∴,∴數(shù)列前項(xiàng)的和為,故選A.點(diǎn)睛:裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一,其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向,突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧:(1);(2);(3);(4);此外,需注意裂項(xiàng)之后相消的過(guò)程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問(wèn)題,導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤.5.D【解析】
由題意,得出六棱錐為正六棱錐,求得,再結(jié)合球的性質(zhì),求得球的半徑,利用表面積公式,即可求解.【詳解】由題意,六棱錐底面為正六邊形,頂點(diǎn)在底面上的射影是正六邊形的中心,可得此六棱錐為正六棱錐,又由,所以,在直角中,因?yàn)椋?,設(shè)外接球的半徑為,在中,可得,即,解得,所以外接球的表面積為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正棱錐的幾何結(jié)構(gòu)特征,以及外接球的表面積的計(jì)算,其中解答中熟記幾何體的結(jié)構(gòu)特征,熟練應(yīng)用球的性質(zhì)求得球的半徑是解答的關(guān)鍵,著重考查了空間想象能力,以及推理與計(jì)算能力,屬于中檔試題.6.B【解析】
由題意可知“屯”卦符號(hào)“”表示二進(jìn)制數(shù)字010001,將其轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)即可.【詳解】由題意類(lèi)推,可知六十四卦中的“屯”卦符號(hào)“”表示二進(jìn)制數(shù)字010001,轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)的計(jì)算為1×20+1×24=1.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)制是轉(zhuǎn)化,新定義知識(shí)的應(yīng)用等,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.7.A【解析】
根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】,,,,即,故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算,屬于容易題.8.B【解析】
由,可得,結(jié)合在上單調(diào)遞增,易得,即可求出的范圍.【詳解】由,可得,時(shí),,而,又在上單調(diào)遞增,且,所以,則,即,故.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,考查了學(xué)生的邏輯推理能力,屬于基礎(chǔ)題.9.C【解析】
先得出兩直線(xiàn)平行的充要條件,根據(jù)小范圍可推導(dǎo)出大范圍,可得到答案.【詳解】直線(xiàn),,的充要條件是,當(dāng)a=2時(shí),化簡(jiǎn)后發(fā)現(xiàn)兩直線(xiàn)是重合的,故舍去,最終a=-1.因此得到“”是“”的充分必要條件.故答案為C.【點(diǎn)睛】判斷充要條件的方法是:①若p?q為真命題且q?p為假命題,則命題p是命題q的充分不必要條件;②若p?q為假命題且q?p為真命題,則命題p是命題q的必要不充分條件;③若p?q為真命題且q?p為真命題,則命題p是命題q的充要條件;④若p?q為假命題且q?p為假命題,則命題p是命題q的即不充分也不必要條件.⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍,再根據(jù)“誰(shuí)大誰(shuí)必要,誰(shuí)小誰(shuí)充分”的原則,判斷命題p與命題q的關(guān)系.10.B【解析】
設(shè),,利用復(fù)數(shù)幾何意義計(jì)算.【詳解】設(shè),由已知,,所以點(diǎn)在單位圓上,而,表示點(diǎn)到的距離,故.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查求復(fù)數(shù)模的最大值,其實(shí)本題可以利用不等式來(lái)解決.11.D【解析】
分別求出球和圓柱的體積,然后可得比值.【詳解】設(shè)圓柱的底面圓半徑為,則,所以圓柱的體積.又球的體積,所以球的體積與圓柱的體積的比,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體的體積求解,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).12.D【解析】
先判斷函數(shù)在時(shí)的單調(diào)性,可以判斷出函數(shù)是奇函數(shù),利用奇函數(shù)的性質(zhì)可以得到,比較三個(gè)數(shù)的大小,然后根據(jù)函數(shù)在時(shí)的單調(diào)性,比較出三個(gè)數(shù)的大小.【詳解】當(dāng)時(shí),,函數(shù)在時(shí),是增函數(shù).因?yàn)椋院瘮?shù)是奇函數(shù),所以有,因?yàn)?,函?shù)在時(shí),是增函數(shù),所以,故本題選D.【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)值大小問(wèn)題,判斷出函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
由任意三角形面積公式與構(gòu)建關(guān)系表示|AB||AC|,再由已知與平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算轉(zhuǎn)化,最后由重要不等式求得最值.【詳解】由△ABC的面積為得|AB||AC|sin∠BAC=,所以|AB||AC|sin∠BAC=,①又,即|AB||AC|cos∠BAC=,②由①與②的平方和得:|AB||AC|=,又點(diǎn)M是AB的中點(diǎn),點(diǎn)N滿(mǎn)足,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào),即的最大值是為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查平面向量中由線(xiàn)性運(yùn)算表示未知向量,進(jìn)而由重要不等式求最值,屬于中檔題.14.0【解析】
利用等差中項(xiàng)以及等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】由,,是等差數(shù)列可知因?yàn)?,所以,故答案為?【點(diǎn)睛】本題考查了等差中項(xiàng)的應(yīng)用、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式,需熟記公式,屬于基礎(chǔ)題.15.【解析】
將四面體補(bǔ)成一個(gè)正方體,通過(guò)正方體的對(duì)角線(xiàn)與球的半徑的關(guān)系,得到球的半徑,利用球的表面積公式,即可求解.【詳解】如圖所示,將正四面體補(bǔ)形成一個(gè)正方體,則正四面體的外接球與正方體的外接球表示同一個(gè)球,因?yàn)檎拿骟w的棱長(zhǎng)為1,所以正方體的棱長(zhǎng)為,設(shè)球的半徑為,因?yàn)榍虻闹睆绞钦襟w的對(duì)角線(xiàn),即,解得,所以球的表面積為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了有關(guān)求得組合體的結(jié)構(gòu)特征,以及球的表面積的計(jì)算,其中巧妙構(gòu)造正方體,利用正方體的外接球的直徑等于正方體的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng),得到球的半徑是解答的關(guān)鍵,著重考查了空間想象能力,以及運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.16.7【解析】
畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域,數(shù)形結(jié)合,即可容易求得目標(biāo)函數(shù)的最大值.【詳解】作出不等式組所表示的平面區(qū)域,如下圖陰影部分所示.觀察可知,當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí),有最大值,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查二次不等式組與平面區(qū)域、線(xiàn)性規(guī)劃,主要考查推理論證能力以及數(shù)形結(jié)合思想,屬基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1);(2).【解析】
(1)求得點(diǎn)的坐標(biāo),可得出直線(xiàn)的方程,與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立,結(jié)合求出正實(shí)數(shù)的值,進(jìn)而可得出拋物線(xiàn)的方程;(2)設(shè)點(diǎn),,設(shè)的方程為,將直線(xiàn)的方程與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立,列出韋達(dá)定理,結(jié)合求得的值,可得出直線(xiàn)所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo),由此可得出點(diǎn)到直線(xiàn)的最大距離.【詳解】(1)易知點(diǎn),又,所以點(diǎn),則直線(xiàn)的方程為.聯(lián)立,解得或,所以.故拋物線(xiàn)的方程為;(2)設(shè)的方程為,聯(lián)立有,設(shè)點(diǎn),,則,所以.所以,解得.所以直線(xiàn)的方程為,恒過(guò)點(diǎn).又點(diǎn),故當(dāng)直線(xiàn)與軸垂直時(shí),點(diǎn)到直線(xiàn)的最大距離為.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線(xiàn)方程的求解,同時(shí)也考查了拋物線(xiàn)中最值問(wèn)題的求解,涉及韋達(dá)定理設(shè)而不求法的應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力,屬于中等題.18.(Ⅰ)見(jiàn)解析(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)連接交于點(diǎn),取中點(diǎn),連結(jié),證明平面得到答案.(Ⅱ)分別以為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,平面的法向量為,平面的法向量為,計(jì)算夾角得到答案.【詳解】(Ⅰ)連接交于點(diǎn),取中點(diǎn),連結(jié)因?yàn)闉榱庑?,所?因?yàn)椋?因?yàn)槎娼菫橹倍娼?,所以平面平面,且平面平面,所以平面所以因?yàn)樗允瞧叫兴倪呅?,所?所以,所以,所以平面,又平面,所以.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知兩兩垂直,分別以為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)設(shè)平面的法向量為,由,取.平面的法向量為.所以二面角余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了線(xiàn)線(xiàn)垂直,二面角,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.19.(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ)證明見(jiàn)解析.【解析】試題分析:將,求出切線(xiàn)方程求導(dǎo)后討論當(dāng)時(shí)和時(shí)的單調(diào)性證明,求出實(shí)數(shù)的取值范圍先求出、的通項(xiàng)公式,利用當(dāng)時(shí),得,下面證明:解析:(Ⅰ)因?yàn)椋?,,切點(diǎn)為.由,所以,所以曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程為,即(Ⅱ)由,令,則(當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)).故在上為增函數(shù).①當(dāng)時(shí),,故在上為增函數(shù),所以恒成立,故符合題意;②當(dāng)時(shí),由于,,根據(jù)零點(diǎn)存在定理,必存在,使得,由于在上為增函數(shù),故當(dāng)時(shí),,故在上為減函數(shù),所以當(dāng)時(shí),,故在上不恒成立,所以不符合題意.綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍為(III)證明:由由(Ⅱ)知當(dāng)時(shí),,故當(dāng)時(shí),,故,故.下面證明:因?yàn)槎?,所以,,即:點(diǎn)睛:本題考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出參數(shù)及證明不等式成立,借助第二問(wèn)的證明過(guò)程,利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性證明數(shù)列的不等式,在求解的過(guò)程中還要求出數(shù)列的和,計(jì)算較為復(fù)雜,本題屬于難題.20.(1),以為圓心,為半徑的圓;(2)【解析】
(1)根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式,直接得到的直角坐標(biāo)方程并判斷形狀;(2)聯(lián)立直線(xiàn)參數(shù)方程與的直角坐標(biāo)方程,根據(jù)直線(xiàn)參數(shù)方程中的幾何意義
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