第一章計(jì)數(shù)原理23《排列組合的應(yīng)用》課時(shí)1

1.1.3排列組合的應(yīng)用（一）（1）使學(xué)生掌握組合數(shù)的計(jì)算公式、組合數(shù)

（2）會(huì)用排列數(shù)公式和組合數(shù)公式解決實(shí)際問題.

（3）通過學(xué)習(xí)組合知識(shí)，讓學(xué)生掌握類比的學(xué)習(xí)方法，并提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.本節(jié)課，我們對(duì)有關(guān)排列組合的幾種常見的解題策略加以復(fù)習(xí)鞏固。排列組合歷來是學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，通過我們平時(shí)做的練習(xí)題，不難發(fā)現(xiàn)排列組合題的特點(diǎn)是條件隱晦，不易挖掘，題目多變，解法獨(dú)特，數(shù)字龐大，難以驗(yàn)證。同學(xué)們只有對(duì)基本的解題策略熟練掌握。根據(jù)它們的條件,我們就可以選取不同的技巧來解決問題.

對(duì)于一些比較復(fù)雜的問題,我們可以將幾種策略結(jié)合起來應(yīng)用把復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，舉一反三，觸類旁通，進(jìn)而為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。從n個(gè)不同元素中,任取m個(gè)元素,按照一定的順序排成一列,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.2.組合的定義:從n個(gè)不同元素中,任取m個(gè)元素,并成一組,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.3.排列數(shù)公式:4.組合數(shù)公式:1.排列的定義:排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系:與順序有關(guān)為排列問題,與順序無關(guān)的為組合問題.有限制條件的排列組合綜合問題是主要考查方向．解決此類問題要遵循“誰特殊誰_______”的原則，采取分類或分步，或用間接法處理；對(duì)于選排列問題可采用先____后______的方法，分配問題的一般思路是先__________再分配．有限制條件的排列組合問題優(yōu)先選排選取有限制條件的排列組合問題常用方法一、直接法1.優(yōu)限法：先特殊后一般2.捆綁法：元素相鄰3.插空法：元素不相鄰二、間接法（排除法）4.其它方法：元素限制條件多一、直接法有特殊元素或特殊位置，通常先排特殊元素或特殊位置，稱為“優(yōu)限法”.畫龍點(diǎn)睛：特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略1.優(yōu)限法：例1.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù).例1.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù).解:由于末位和首位有特殊要求,應(yīng)該優(yōu)先安排,以免不合要求的元素占了這兩個(gè)位置先排末位共有________

然后排首位共有______最后排其它位置共有_______由分步計(jì)數(shù)原理得=288位置分析法和元素分析法是解決排列組合問題最常用也是最基本的方法。B

（1）若其中的A小孩必須站在B小孩的左邊，有多少種不同的排法？BAA解：A在B左邊的一種排法必對(duì)應(yīng)著A在B右邊的一種排法，所以在全排列中，A在B左邊與A在B右邊的排法數(shù)相等，因此有：排法。（種）例2.七個(gè)家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，現(xiàn)將這七個(gè)小孩站成一排照相留念。BA例2.七個(gè)家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，現(xiàn)將這七個(gè)小孩站成一排照相留念。

（1）若其中的A小孩必須站在B小孩的左邊，有多少種不同的排法？（2）若前排站三人，后排站四人，其中的A.B兩小孩必須站前排且相鄰，有多少種不同的排法？AB解：A，B兩小孩的站法有：（種），其余人的站法有（種），所以共有（種）排法。例2.七個(gè)家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，現(xiàn)將這七個(gè)小孩站成一排照相留念。變式1.

將5列車停在5條不同的軌道上，其中a列車不停在第一軌道上，b列車不停在第二軌道上，那么不同的停放方法有（）.（A）120種（B）96種（C）78種（D）72種解：7種不同的花種在排成一列的花盆里,若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問有多少不同的種法？練習(xí)題1例2.七個(gè)家庭一起外出旅游，若其中四家是一個(gè)男孩，三家是一個(gè)女孩，現(xiàn)將這七個(gè)小孩站成一排照相留念。(3)若三個(gè)女孩要站在一起，有多少種不同的排法？解：將三個(gè)女孩看作一人與四個(gè)男孩排隊(duì)，有種排法，而三個(gè)女孩之間有種排法，所以不同的排法共有：（種）。捆綁法例2.七個(gè)家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，現(xiàn)將這七個(gè)小孩站成一排照相留念。(4)若三個(gè)女孩要站在一起，四個(gè)男孩也要站在一起，有多少種不同的排法？不同的排法有：（種）捆綁法一般適用于問題的處理。相鄰一、直接法2.捆綁法：用于解決元素相鄰問題例2.7人站成一排,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰,共有多少種不同的排法.變式1.

7人站成一排,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰,共有多少種不同的排法.甲乙丙丁由分步計(jì)數(shù)原理可得共有種不同的排法=480解：要求某幾個(gè)元素必須排在一起的問題,可以用捆綁法來解決問題.練習(xí)1.解：共有種不同的排法.5個(gè)男生3個(gè)女生排成一排,3個(gè)女生要排在一起,有多少種不同的排法?

例2.七個(gè)家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，現(xiàn)將這七個(gè)小孩站成一排照相留念。（5）若三個(gè)女孩互不相鄰，有多少種不同的排法？解：先把四個(gè)男孩排成一排有

種排法，在每一排列中有五個(gè)空檔（包括兩端），再把三個(gè)女孩插入空檔中有種方法，所以共有：（種）排法。插空法例2.七個(gè)家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，現(xiàn)將這七個(gè)小孩站成一排照相留念。（5）若三個(gè)女孩互不相鄰，有多少種不同的排法？（6）若三個(gè)女孩互不相鄰，四個(gè)男孩也互不相鄰，有多少種不同的排法？不同的排法共有：（種）插空法一般適用于問題的處理。互不相鄰例2.七個(gè)家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，現(xiàn)將這七個(gè)小孩站成一排照相留念。一、直接法3.插空法：元素不相鄰宜采用插空法變式1.一個(gè)晚會(huì)的節(jié)目有4個(gè)舞蹈,2個(gè)相聲,3個(gè)獨(dú)唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場(chǎng),則節(jié)目的出場(chǎng)順序有多少種？解:分兩步進(jìn)行第一步排2個(gè)相聲和3個(gè)獨(dú)唱共有

種，第二步將4舞蹈插入第一步排好的6個(gè)元素中間包含首尾兩個(gè)空位共有種

不同的方法,

由分步計(jì)數(shù)原理,節(jié)目的不同順序共有

種.相相獨(dú)獨(dú)獨(dú)元素不相鄰問題可先把沒有位置要求的元素進(jìn)行排隊(duì)再把不相鄰元素插入中間和兩端變式1.一個(gè)晚會(huì)的節(jié)目有4個(gè)舞蹈,2個(gè)相聲,3個(gè)獨(dú)唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場(chǎng),則節(jié)目的出場(chǎng)順序有多少種？某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個(gè)新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為

.

30練習(xí)1:（1）三個(gè)男生，四個(gè)女生排成一排，男生、女生各站一起，有幾種不同方法？（2）三個(gè)男生，四個(gè)女生排成一排，男生之間、女生之間不相鄰，有幾種不同排法？捆綁法：插空法：課堂練習(xí):解：將１與２，３與４，５與６捆綁在一起排成一列有種，再將７、８插入4個(gè)空位中的兩個(gè)有種，故有種．（3）用１、２、３、４、５、６、７、８組成沒有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求１與２相鄰，３與４相鄰，５與６相鄰，而７與８不相鄰，這樣的八位數(shù)共有___________個(gè)．（用數(shù)字作答）（4）七人排成一排，甲、乙兩人必須相鄰，且甲、乙都不與丙相鄰，則不同的排法有（

）種.(A)960種（B）840種（C）720種（D）600種解：另解：（5）學(xué)校組織老師學(xué)生一起看電影，同一排電影票12張。8個(gè)學(xué)生，4個(gè)老師，要求老師在學(xué)生中間，且老師互不相鄰，共有多少種不同的坐法？解

先排學(xué)生共有種排法,然后把老師插入學(xué)生之間的空檔，共有7個(gè)空檔可插,選其中的4個(gè)空檔,共有種選法.根據(jù)乘法原理,共有的不同坐法為種.結(jié)論

插入法:對(duì)于某兩個(gè)元素或者幾個(gè)元素要求不相鄰的問題,可以用插入法.即先排好沒有限制條件的元素,然后將有限制條件的元素按要求插入排好元素的空檔之中即可.分析此題涉及到的是不相鄰問題,并且是對(duì)老師有特殊的要求,因此老師是特殊元素,在解決時(shí)就要特殊對(duì)待.所涉及問題是排列問題.實(shí)際問題轉(zhuǎn)化排列問題求排列數(shù)（建模）求數(shù)學(xué)模型的解得實(shí)際問題的解以元素相鄰為附加條件的應(yīng)把相鄰元素視為一個(gè)整體，即采用“捆綁法”；以某些元素不能相鄰為附加條件的,可采用“插空法”。“插空”有同時(shí)“插空”和有逐一“插空”,并要注意條件的限定.有限制的排列問題限制條件：某位置上不能排某元素或只能排某元素常用方法：(1)直接法1.優(yōu)限法：先特殊后一般2.捆綁法：元素相鄰3.