新定義新運(yùn)算講義

小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（五年級(jí)）本教程共30講定義新運(yùn)算（一）我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)加、減、乘、除運(yùn)算，這些運(yùn)算，即四則運(yùn)算是數(shù)學(xué)中最基本的運(yùn)算，它們的意義、符號(hào)及運(yùn)算律已被同學(xué)們熟知。除此之外，還會(huì)有什么別的運(yùn)算嗎？這兩講我們就來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題。這些新的運(yùn)算及其符號(hào)，在中、小學(xué)課本中沒(méi)有統(tǒng)一的定義及運(yùn)算符號(hào)，但學(xué)習(xí)討論這些新運(yùn)算，對(duì)于開(kāi)拓思路及今后的學(xué)習(xí)都大有益處。例1對(duì)于任意數(shù)a,b,定義運(yùn)算“*": a*b二aXb-a-b。求12*4的值。分析與解:根據(jù)題目定義的運(yùn)算要求,直接代入后用四則運(yùn)算即可。12*4=12X4-12-4=48-12-4=32。根據(jù)以上的規(guī)定，求10A6的值。3，x>=2,求x的值。分析與解:按照定義的運(yùn)算,<1,2,3,x>=2,x=6。由上面三例看出,定義新運(yùn)算通常是用某些特殊符號(hào)表示特定的運(yùn)算意義。新運(yùn)算使用的符號(hào)應(yīng)避免使用課本上明確定義或已經(jīng)約定俗成的符號(hào)，如+,-,x,-,V,>等，以防止發(fā)生混淆，而表示新運(yùn)算的運(yùn)算意義部分，應(yīng)使用通常的四則運(yùn)算符號(hào)。如例1中，a*b=aXb-a-b，新運(yùn)算符號(hào)使用“*”，而等號(hào)右邊新運(yùn)算的意義則用四則運(yùn)算來(lái)表示。分析與解：按新運(yùn)算的定義，符號(hào)“?”表示求兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)。四則運(yùn)算中的意義相同，即先進(jìn)行小括號(hào)中的運(yùn)算，再進(jìn)行小括號(hào)外面的運(yùn)算。按通常的規(guī)則從左至右進(jìn)行運(yùn)算。分析與解：從已知的三式來(lái)看，運(yùn)算“田”表示幾個(gè)數(shù)相加，每個(gè)加數(shù)各數(shù)位上的數(shù)都是符號(hào)前面的那個(gè)數(shù)，而符號(hào)后面的數(shù)是幾，就表示幾個(gè)數(shù)之和，其中第1個(gè)數(shù)是1位數(shù)，第2個(gè)數(shù)是2位數(shù)，第3個(gè)數(shù)是3位數(shù) 按此規(guī)定，得3宙5=3+33+333+3333+33333=37035。從例5知，有時(shí)新運(yùn)算的規(guī)定不是很明顯，需要先找規(guī)律，然后才能進(jìn)行運(yùn)算。例6對(duì)于任意自然數(shù)，定義：n!=1X2X—Xno例如4!=1X2X3X4。那么1!+2!+3!+-+100!的個(gè)位數(shù)字是幾?分析與解：1!=1，2!=1X2=2，3!=1X2X3=6，4!=1X2X3X4=24，5!=1X2X3X4X5=120，6!=1X2X3X4X5X6=720，由此可推知，從5!開(kāi)始，以后6!,7!,8!,???，100!的末位數(shù)字都是0。所以，要求1!+2!+3!+-+100!的個(gè)位數(shù)字，只要把1!至4!的個(gè)位數(shù)字相加便可求得：1+2+6+4=13。所求的個(gè)位數(shù)字是3。例7如果m，n表示兩個(gè)數(shù)，那么規(guī)定：m0n=4n-(m+n)F2。求30(406)012的值。解：30(406)012=30[4X6-(4+6)-F2]012=3019012=[4X19-(3+19)-F2]012=65012=4X12-(65+12)F2=9.5。練習(xí)31?對(duì)于任意的兩個(gè)數(shù)a和b,規(guī)定a*b=3Xa-bF3。求8*9的值。已知a一b表示a除以3的余數(shù)再乘以b,求13一4的值。已知a十b表示(a-b)-F(a+b),試計(jì)算：笛旺力)十(10十6)。4?規(guī)定a?b表示a與b的積與a除以b所得的商的和，求8?2的值。5?假定m^n表示m的3倍減去n的2倍，即mOn=3m-2no(2)已知(401)=7,求x的值。7?對(duì)于任意的兩個(gè)數(shù)P,Q,規(guī)定P^Q=(PXQ)-F4o例如：2^8=(2X8)F4。已知(8^5)=10,求x的值。8?定義：a^b=ab-3b,a￡)b=4a-b/a。計(jì)算：(4^3)△(2已b)。9.已知:26)3=2X3X4,^35=4X5X6X7X8,求(4已4)F(3已3)的值。練習(xí)31.2。2.4。3.0。提示：(2)xO(401)=7,xO(4X3-1X2)=7,xO10=7,3x-10X2=7,x=9。(2)相當(dāng)于由1X2X3X-Xx=40320，求x。40320^2=20160,20160^3=6720,6720^4=1680,1680^5=336,8^8=1,即1/40320=1X1/2X1/3X1/4X1/5X1/6X1/7X1/8。所以x=8。7.4。解：x^(8^5)=x^(8X5^4)=x^10=xX10^4,由xX10^4=10，求得x=4。8.0。解：(4A3)A(2A6)=(4X3—3X3)A(4X2—6/2)=3^5=3X5-