計(jì)算機(jī)組成原理 運(yùn)算方法與運(yùn)算器

計(jì)算機(jī)組成原理武漢科技大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院第二章運(yùn)算方法和運(yùn)算器本章內(nèi)容2.1數(shù)據(jù)與文字的表示方法2.2定點(diǎn)加法、減法運(yùn)算2.3定點(diǎn)乘法運(yùn)算2.4定點(diǎn)除法運(yùn)算2.5定點(diǎn)運(yùn)算器的組成2.6浮點(diǎn)運(yùn)算方法和浮點(diǎn)運(yùn)算器2.1數(shù)據(jù)與文字的表示方法計(jì)算機(jī)中的數(shù)據(jù)數(shù)值數(shù)據(jù)非數(shù)值數(shù)據(jù)定點(diǎn)數(shù)浮點(diǎn)數(shù)文字語(yǔ)音圖形圖像……定點(diǎn)整數(shù)定點(diǎn)小數(shù)西文字符中文漢字計(jì)算機(jī)中常用的數(shù)據(jù)表示格式：2.1.1數(shù)據(jù)格式計(jì)算機(jī)中選擇數(shù)的表示方式時(shí)考慮的因素：(1)數(shù)據(jù)類型(整數(shù)、小數(shù)、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù))(2)可能遇到的數(shù)值范圍(3)數(shù)值精確度

(4)數(shù)據(jù)存儲(chǔ)和處理的硬件代價(jià)(1)定點(diǎn)數(shù)：容許的數(shù)值范圍有限，但硬件比較簡(jiǎn)單(2)浮點(diǎn)數(shù)：容許的數(shù)值范圍很大，但硬件比較復(fù)雜n位1位符號(hào)量值(1)純小數(shù)表示形式:ｘ＝ｘnｘn-1ｘn-2…ｘ0

表數(shù)范圍：0.000…0≤|X|≤0.111…11

即：0≤|X|≤1-2-n1.定點(diǎn)數(shù)的表示方法定點(diǎn)數(shù)：小數(shù)點(diǎn)位置固定由于約定在固定位置，小數(shù)點(diǎn)不再使用記號(hào)“.”表示n位1位符號(hào)量值(2)純整數(shù)表示形式:ｘ＝ｘnｘn-1ｘn-2…ｘ0

表數(shù)范圍：0≤|X|≤111…11

即：0≤|X|≤2n-12浮點(diǎn)數(shù)的表示方法

任意一個(gè)R進(jìn)制數(shù)可以寫(xiě)成

N=Re×MR——基數(shù)，定義后不能改變，可隱含M——尾數(shù)，純小數(shù)e——指數(shù)，純整數(shù)，指出小數(shù)點(diǎn)的位置由于指數(shù)可以取不同的數(shù)值，所以，小數(shù)點(diǎn)的位置可在一定范圍內(nèi)自由浮動(dòng)，故被稱為浮點(diǎn)數(shù)計(jì)算機(jī)中浮點(diǎn)數(shù)的表示格式：X=2E×MM——尾數(shù)，定點(diǎn)小數(shù)(含數(shù)符)，表示數(shù)的全部有效數(shù)字——精度E——階碼，純整數(shù)，指示小數(shù)點(diǎn)的位置浮點(diǎn)數(shù)：小數(shù)點(diǎn)位置可在一定范圍內(nèi)移動(dòng)；能擴(kuò)大表數(shù)范圍浮點(diǎn)數(shù)的表示方案：格式1：格式2：——IEEE754標(biāo)準(zhǔn)SE

M64位浮點(diǎn)數(shù)636252510S

E

M32位浮點(diǎn)數(shù)313023220其中：S—符號(hào)位，0表示正，1表示負(fù)E——階碼，移碼表示的指數(shù)，E=e+127(32位)或1023(64位)即將浮點(diǎn)數(shù)的指數(shù)e變成階碼E時(shí)，將其加上一個(gè)固定的數(shù)值R——默認(rèn)為2；M——尾數(shù)；小數(shù)點(diǎn)在尾數(shù)域最左有效位的右邊尾數(shù)Mn-1Mn-2…M0數(shù)符Ms階碼EmEm-1……E0階符EsIEEE754標(biāo)準(zhǔn)浮點(diǎn)數(shù)的規(guī)格化及其與真值的關(guān)系規(guī)格化表示——尾數(shù)非0時(shí)，約定其最高有效位為1即：尾數(shù)規(guī)格化形式：

1.M例：A=24×0.0000000010101=2-5×1.0101階碼：用移碼表示，方便指數(shù)比較大小和對(duì)階操作IEEE754標(biāo)準(zhǔn)中，規(guī)格化的浮點(diǎn)數(shù)x與真值的關(guān)系：32位浮點(diǎn)數(shù)

ｘ＝(－1)s×(1.Ｍ)×2Ｅ－127

64位浮點(diǎn)數(shù)

ｘ＝(－1)s×(1.Ｍ)×2Ｅ－1023階碼與尾數(shù)的位數(shù)精度：范圍：尾數(shù)指數(shù)(1)當(dāng)階碼E為全0且尾數(shù)M也為全0時(shí)，表示的真值x為零，結(jié)合符號(hào)位S，有正零和負(fù)零之分(2)當(dāng)階碼E為全1且尾數(shù)M為全0時(shí)，表示的真值x為無(wú)窮大，結(jié)合符號(hào)位S，有＋∞和－∞之分(對(duì)溢出的處理方式取決于用戶)(3)一個(gè)規(guī)格化的非零和非無(wú)窮的浮點(diǎn)數(shù)，階碼E范圍1~254(32位)和1~2046(64位)，其真值為－126~＋127(32位格式的8位階碼)和－1022~＋1023(64位格式的11位階碼)，此時(shí)有效數(shù)據(jù)分別為24位或53位，即默認(rèn)23位小數(shù)或52位小數(shù)的小數(shù)點(diǎn)左邊有一個(gè)隱含的1注意：IEEE754格式的某些位樣式用來(lái)表示特殊值[例1]

若浮點(diǎn)數(shù)ｘ的32位754標(biāo)準(zhǔn)存儲(chǔ)格式為(41360000)16，求其十進(jìn)制數(shù)值[解:]

將十六進(jìn)制數(shù)展開(kāi)后，可得二進(jìn)制數(shù)格式為

41

360000

0100000100110110000000000000

0000

S階碼(8位)尾數(shù)(23位)指數(shù)e=E－127=(10000010)2－(01111111)2=00000011=(3)10

1.M＝1.01101100000000000000000＝1.011011所以，ｘ＝(－1)s×1.M×2e＝＋(1.011011)×23

＝＋1011.011＝(11.375)10

[例2]

將十進(jìn)制數(shù)數(shù)20.59375轉(zhuǎn)換成IEEE754標(biāo)準(zhǔn)32位浮點(diǎn)數(shù)的二進(jìn)制格式存儲(chǔ)[解:]

首先轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)：

20.59375＝(10100.10011)2＝(1.010010011)2×24于是：S＝0，E＝4＋127＝131，M＝010010011

IEEE754標(biāo)準(zhǔn)的32位浮點(diǎn)數(shù)的二進(jìn)制存儲(chǔ)格式為：(01000001101001001100000000000000)2＝(41A4C000)16

補(bǔ)充：非IEEE754標(biāo)準(zhǔn)尾數(shù)的規(guī)格化一般地，浮點(diǎn)數(shù)規(guī)格化是指尾數(shù)M滿足1/2≤|M|＜1若尾數(shù)采用原碼表示，尾數(shù)的最高數(shù)值位一定為1若尾數(shù)采用補(bǔ)碼表示對(duì)于正數(shù)，M＝00.1ф…ф；對(duì)于負(fù)數(shù)，有M＝11.0ф…ф

(兩符號(hào)位相同，且最高數(shù)值位與符號(hào)位不同)當(dāng)運(yùn)算結(jié)果出現(xiàn)下面情況時(shí)，需要規(guī)格化①M(fèi)＝00.0ф…ф或11.1ф…ф(最高數(shù)值位與符號(hào)位相同)說(shuō)明尾數(shù)的絕對(duì)值小于1/2，應(yīng)向左規(guī)格化(左移尾數(shù)，每左移一位，階碼減1)M=01.ф…ф10.ф…ф(兩個(gè)符號(hào)位不同)表明尾數(shù)求和結(jié)果的絕對(duì)值大于1，應(yīng)向右規(guī)格化(結(jié)果右移，尾數(shù)右移1位，階碼加1)(1).字符串形式：一個(gè)字節(jié)存放一個(gè)十進(jìn)制的數(shù)位或符號(hào)位——用于非數(shù)值計(jì)算(2).

壓縮的十進(jìn)制數(shù)串形式：一個(gè)字節(jié)存放兩個(gè)十進(jìn)制的數(shù)位(值為BCD碼)，節(jié)省存儲(chǔ)空間，且便于直接完成十進(jìn)制數(shù)的算術(shù)運(yùn)算符號(hào)位和每個(gè)數(shù)位都占半個(gè)字節(jié)；符號(hào)位放在最低數(shù)字位之后，其值選用四位編碼中的冗余狀態(tài)規(guī)定：數(shù)位加符號(hào)位之和必須為偶數(shù)，否則在最高數(shù)字位之前補(bǔ)一個(gè)0，例如＋123和－12分別被表示成：123C(＋123)012D(-12)3.十進(jìn)制數(shù)串的表示方法2.1.2數(shù)的機(jī)器碼表示無(wú)符號(hào)數(shù)的表示——所有位均表示數(shù)值；舉例機(jī)器碼：符號(hào)數(shù)值化后的數(shù)據(jù)編碼——便于計(jì)算機(jī)中存儲(chǔ)和運(yùn)算真值：一般書(shū)寫(xiě)表示的數(shù)機(jī)器碼的種類(以定點(diǎn)整數(shù)為例)(1)原碼(2)補(bǔ)碼(3)反碼(4)移碼原碼表示法的優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)單易懂缺點(diǎn)：(1)加/減法運(yùn)算復(fù)雜(同號(hào)相減或異號(hào)相加時(shí))

(2)零的原碼不惟一定點(diǎn)整數(shù)的原碼形式為ｘnｘn-1ｘn-2…ｘ0,則原碼表示的定義[ｘ]原＝ｘ2n－ｘ＝2n＋|ｘ|

0≤ｘ＜2n－2n＜ｘ≤0例： ｘ＝＋1001, y＝－1001

則[ｘ]原＝01001, [y]原＝110011.原碼表示法2.補(bǔ)碼表示法如：以校時(shí)為例，減3和加9是等價(jià)的，即，9是(-3)對(duì)12的補(bǔ)碼，可以用數(shù)學(xué)公式表示

-3＝+9 （mod12）——數(shù)學(xué)上稱為同余式

mod12是指以12為模數(shù)，這個(gè)“?！北硎颈粊G掉的數(shù)值補(bǔ)碼的引出——“?！焙汀巴唷钡母拍睢澳！笔侵敢粋€(gè)計(jì)量系統(tǒng)的計(jì)量范圍，即產(chǎn)生“溢出”的量負(fù)數(shù)用補(bǔ)碼表示時(shí)，可以把減法轉(zhuǎn)化為加法定點(diǎn)整數(shù)的補(bǔ)碼形式為ｘnｘn-1ｘn-2…ｘ0

[ｘ]補(bǔ)＝ｘ2n+1+ｘ＝2n+1-|ｘ|0≤ｘ＜2n－2n≤ｘ≤0定義：[ｘ]反＝ｘ

(2n+1－1)＋ｘ0≤ｘ＜2n－2n＜ｘ≤0對(duì)于定點(diǎn)負(fù)整數(shù)，由補(bǔ)碼和反碼的定義可知：[ｘ]補(bǔ)＝2n+1+ｘ=[ｘ]反＋1

3.反碼表示法反碼的實(shí)現(xiàn)——若觸發(fā)器Q端輸出表示原碼，則Q端就是反碼對(duì)定點(diǎn)整數(shù)，反碼表示的定義為

結(jié)論：若要求一個(gè)負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼，其方法是先求其反碼，再在未位上加1即可由[x]原求[x]補(bǔ)(x<0)的簡(jiǎn)便原則:符號(hào)位保持不變；從最低位開(kāi)始遇到的第一個(gè)1以前的各位(包括該位)保持不變；其余各位按位取反例：[x]原=110110100[x]補(bǔ)=

101001100100100求補(bǔ)碼的方法由[x]補(bǔ)求[-x]補(bǔ)：連符號(hào)位一起各位求反，末位加1例： [x]補(bǔ)=1.1010101 [-x]補(bǔ)=0.0101011由[-X]補(bǔ)求[X]補(bǔ)規(guī)則相同將[x]補(bǔ)的符號(hào)位和數(shù)值位一起向右移動(dòng)一次，且左補(bǔ)符號(hào)位例: [x]補(bǔ)=10101000 [x/2]補(bǔ)=11010100(0)稱為“算術(shù)右移”如何求[x/4]補(bǔ)和[x/8]補(bǔ)嗎?由[x]補(bǔ)求[x/2]補(bǔ)補(bǔ)碼的性質(zhì):0的補(bǔ)碼惟一便于加減運(yùn)算n+1位補(bǔ)碼所能表示的整數(shù)的范圍：定點(diǎn)整數(shù)：MAX=2n-1，MIN=﹣2n補(bǔ)碼與真值的關(guān)系:設(shè)一個(gè)二進(jìn)制整數(shù)的補(bǔ)碼有n+1位(含1位符號(hào)位)，即[x]補(bǔ)=ｘnｘn-1ｘn-2

…ｘ0

則其補(bǔ)碼表示的真值為：x=-2nxn+∑2ixi當(dāng)x為正數(shù)時(shí)，xn=0，[x]補(bǔ)的形式：0ｘn-1ｘn-2

…ｘ0

真值為：x=∑2ixi

當(dāng)x為負(fù)數(shù)時(shí)，xn=1，[x]補(bǔ)的形式：1ｘn-1ｘn-2

…ｘ0

真值為：x=-2n+∑2ixi

當(dāng)x為0時(shí)，[x]補(bǔ)=

[+0]補(bǔ)=[-0]補(bǔ)=0結(jié)論：如果把符號(hào)位的權(quán)值當(dāng)成負(fù)權(quán)，則真值是其相應(yīng)補(bǔ)碼的各位值乘以該位的權(quán)的累加和舉例：[x]補(bǔ)=010011011，[y]補(bǔ)=110011011，求x，y

n-1i=0n-1i=0n-1i=0通常用于表示浮點(diǎn)數(shù)的階碼設(shè)定點(diǎn)整數(shù)e的移碼形式為ekek-1ek-2…e0，其定義是

[e]移＝2k＋e－2k≤e＜2k若階碼數(shù)值部分為5位（連同符號(hào)位6位）,以e表示真值,則[e]移＝25＋e

－25≤e＜25

例如，當(dāng)正數(shù)e＝＋10101時(shí)，[e]移＝1，10101負(fù)數(shù)e＝－10101時(shí),[ｘ]移＝25＋e＝25－10101＝0,01011移碼中的逗號(hào)表示左邊一位是符號(hào)位移碼中符號(hào)位ek的表示規(guī)律與原碼、補(bǔ)碼、反碼相反4.移碼表示法在已知補(bǔ)碼的情況下，將符號(hào)位求反即得移碼IEEE754標(biāo)準(zhǔn)浮點(diǎn)格式中e的移碼上述數(shù)據(jù)的四種機(jī)器表示法小結(jié)：移碼表示法主要用于表示浮點(diǎn)數(shù)的階碼由于補(bǔ)碼表示對(duì)加減法運(yùn)算十分方便，因此目前機(jī)器中廣泛采用補(bǔ)碼表示法；在這類機(jī)器中，數(shù)用補(bǔ)碼表示，補(bǔ)碼存儲(chǔ)，補(bǔ)碼運(yùn)算有些機(jī)器，用原碼進(jìn)行存儲(chǔ)和傳送，運(yùn)算時(shí)改用補(bǔ)碼還有些機(jī)器在做加減法時(shí)用補(bǔ)碼運(yùn)算，在做乘除法時(shí)用原碼運(yùn)算[例6]以n+1位定點(diǎn)整數(shù)為例，用數(shù)軸形式說(shuō)明原碼、反碼、補(bǔ)碼表示范圍和可能的數(shù)碼組合情況[解:]設(shè)機(jī)器碼形式為ｘnｘn-1ｘn-2…ｘ0補(bǔ)碼表示中“0”只有一種形式；且負(fù)數(shù)的范圍可到－2n

[例7]將十進(jìn)制真值(－127,－1,0,＋1,＋127)列表表示成二進(jìn)制數(shù)及8位的原碼、反碼、補(bǔ)碼、移碼[解:]真值x(十進(jìn)制)真值x(二進(jìn)制)[x]原[x]反[x]補(bǔ)[x]移-1281000000000000000-127-111111111111111100000001000000100000001-1-00000001100000011111111011111111011111110000000000000000010000000000000001111111100000000100000001+000000100000001000000010000000110000001127+111111101111111011111110111111111111111

由表中數(shù)據(jù)可知，補(bǔ)碼值與移碼值差別僅在于符號(hào)位不同

[例8]設(shè)機(jī)器字長(zhǎng)16位,定點(diǎn)表示,尾數(shù)15位,數(shù)符1位,問(wèn)：定點(diǎn)原碼整數(shù)表示時(shí),最大正數(shù)是多少?最小負(fù)數(shù)是多少?[解:]

最大正數(shù)值＝(215－1)10＝(＋32767)10

＝

0111111111111111

最小負(fù)數(shù)值＝－(215－1)10＝(－32767)10

＝

1111111111111111[例9]假設(shè)由S,E,M三個(gè)域組成的一個(gè)32位二進(jìn)制字所表示的非零規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)ｘ,真值表示為：ｘ＝(－1)s×(1.M)×2E－128問(wèn)：它所表示的規(guī)格化的最大正數(shù)、最小正數(shù)、最大負(fù)數(shù)、最小負(fù)數(shù)是多少？

[解:](1)最大正數(shù)01111111111111111111111111111111 ｘ＝[1＋(1－2-23)]×2127(2)最小正數(shù)00000000000000000000000000000000

ｘ＝1.0×2－128(3)最小負(fù)數(shù)11111111111111111111111111111111

ｘ＝－[1＋(1－2－23)]×2127(4)最大負(fù)數(shù)10000000000000000000000000000000ｘ＝－1.0×2－1282.1.3字符與字符串的表示方法1.字符的表示方法七位的ASCII碼(美國(guó)國(guó)家信息交換標(biāo)準(zhǔn)字符碼)——十進(jìn)制數(shù)碼、英文字母、一定數(shù)量的專用符號(hào)，共128個(gè)元素其中：可顯示或打印的字符95個(gè)，其編碼值為32~126

控制字符33個(gè)，其編碼值為0~31和127采用7位二進(jìn)制編碼，加一位偶校驗(yàn)位,共8位表2.1七單位的ASCII碼字符編碼表字符串是連續(xù)的一串字符，占連續(xù)多個(gè)字節(jié)，每個(gè)字節(jié)存一個(gè)字符[例]存儲(chǔ)字符串：

IF└┘A>B└┘THEN└┘READ(C)

IFA>BTHEN

READ(C)[解:]設(shè)主存字單元由4個(gè)字節(jié)組成按從高位字節(jié)到低位字節(jié)依次存放各字節(jié)單元依次存放十進(jìn)制的73、70、32、65、62、66、32、84、72、69、78、32、82、69、65、68、40、67、41、322.字符串的表示方法1.漢字的輸入編碼(1)數(shù)字編碼:常用的是區(qū)位碼區(qū)位碼——4位十進(jìn)制數(shù)，前2位區(qū)碼，后2位位碼如“中”位于54區(qū)48位——區(qū)位碼5448優(yōu)點(diǎn):

無(wú)重碼，且輸入碼與內(nèi)部編碼的轉(zhuǎn)換比較方便缺點(diǎn):

代碼難以記憶(2)拼音碼:使用簡(jiǎn)單方便，但重碼率很高(3)字形編碼:按漢字的形狀編碼，如五筆字形碼2.1.4漢字的表示方法2.漢字的內(nèi)碼用于漢字的存儲(chǔ)、交換、檢索等操作的機(jī)內(nèi)代碼用兩個(gè)字節(jié)表示(兩個(gè)字節(jié)的最高位均為1)如“武”字機(jī)內(nèi)碼為2E44H+A0A0H=CEE4H3.漢字字模碼是用點(diǎn)陣表示的漢字字形代碼，有16×16點(diǎn)陣，24×24點(diǎn)陣，32×32點(diǎn)陣，用于漢字的顯示或打印輸出字模點(diǎn)陣只能用來(lái)構(gòu)成漢字庫(kù)，而不能用于機(jī)內(nèi)存儲(chǔ)2.1.5校驗(yàn)碼——奇偶校驗(yàn)設(shè)ｘ＝(ｘ0ｘ1…ｘn-1)是一個(gè)n位字奇校驗(yàn)位Ｃ定義為：C＝ｘ0⊕ｘ1⊕…⊕ｘn-1偶校驗(yàn)位Ｃ定義為：C＝ｘ0⊕ｘ1⊕…⊕ｘn-1注意：奇偶校驗(yàn)可提供奇數(shù)個(gè)錯(cuò)誤檢測(cè)，但無(wú)法檢測(cè)偶數(shù)個(gè)錯(cuò)誤，更無(wú)法識(shí)別錯(cuò)誤信息的位置

[例10]已知5個(gè)字節(jié)數(shù)據(jù)，分別用奇校驗(yàn)和偶校驗(yàn)進(jìn)行編碼數(shù)據(jù)偶校驗(yàn)編碼Ｃ奇校驗(yàn)編碼Ｃ101010100101010000000000011111111111111110101010-01010100-00000000-01111111-11111111-10101010-01010100-00000000-01111111-11111111-01010101012.2定點(diǎn)加法、減法運(yùn)算2.2.1補(bǔ)碼加法任意兩個(gè)數(shù)的補(bǔ)碼之和，等于它們和的補(bǔ)碼以定點(diǎn)整數(shù)為例

[x+y]補(bǔ)=[x]補(bǔ)+[y]補(bǔ)

(mod2n+1)兩個(gè)數(shù)均用補(bǔ)碼表示，符號(hào)位當(dāng)做數(shù)值參加運(yùn)算，符號(hào)位相加所產(chǎn)生的進(jìn)位丟掉，結(jié)果為補(bǔ)碼證明——分4種情況采用定點(diǎn)整數(shù)表示，因此證明的先決條件是︱ｘ︱≤(2n-1),︱ｙ︱≤(2n-1),︱ｘ＋ｙ︱≤(2n-1)(1)ｘ﹥0,ｙ﹥0,則ｘ＋ｙ﹥0根據(jù)補(bǔ)碼定義，[ｘ]補(bǔ)＝ｘ，[y]補(bǔ)＝y(tǒng)，故

[ｘ]補(bǔ)＋[ｙ]補(bǔ)＝ｘ＋ｙ＝[ｘ＋ｙ]補(bǔ)

(mod2n+1)證明——分4種情況(2)ｘ﹥0,ｙ﹤0,則ｘ＋ｙ>0或ｘ＋ｙ<0∵[ｘ]補(bǔ)＝ｘ,

[ｙ]補(bǔ)＝2n+1＋ｙ∴[ｘ]補(bǔ)＋[ｙ]補(bǔ)=ｘ＋2n+1＋ｙ＝2n+1+(ｘ＋ｙ) =[ｘ＋ｙ]補(bǔ)(mod2n+1)

(3)ｘ<0,ｙ>0,則ｘ＋ｙ>0或ｘ＋ｙ<0同(2)(4)ｘ<0,ｙ<0,則ｘ＋ｙ<0

∵[ｘ]補(bǔ)＝2n+1＋ｘ,

[ｙ]補(bǔ)＝2n+1＋ｙ

∴[ｘ]補(bǔ)＋[ｙ]補(bǔ)＝2n+1＋ｘ＋2n+1＋ｙ＝2n+1＋(2n+1＋ｘ＋ｙ)因(ｘ＋ｙ)是絕對(duì)值小于2n的負(fù)數(shù)，故(2n+1＋ｘ＋ｙ)一定大于2n而小于2n+1,故進(jìn)位2n+1必丟失，又因(ｘ＋ｙ)<0,所以

[ｘ]補(bǔ)＋[ｙ]補(bǔ)＝2n+1＋(ｘ＋ｙ)＝[ｘ＋ｙ]補(bǔ)

(mod2n+1)[例11]

ｘ＝+1001,ｙ＝+0101，求ｘ＋ｙ[解:]

[ｘ]補(bǔ)＝01001，[ｙ]補(bǔ)＝00101 [ｘ+ｙ]補(bǔ)＝01001+00101=01110

ｘ+ｙ=+1110[例12]

ｘ＝＋1011,ｙ＝－0101，求ｘ＋ｙ[解:]

[ｘ]補(bǔ)＝01011，[ｙ]補(bǔ)＝11011 [ｘ+ｙ]補(bǔ)＝01011+11011=00110

ｘ+ｙ=+0110解:[x]補(bǔ)=100111，[y]補(bǔ)=111101[x]補(bǔ)=100111[y]補(bǔ)=111101+丟掉1100100[x]補(bǔ)+[y]補(bǔ)=100100x+y=-11100例:x＝-11001,y＝-00011，求x+y＝？結(jié)論——補(bǔ)碼加法的特點(diǎn):(1)符號(hào)位作為數(shù)的一部分一起運(yùn)算(2)在模2n+1的意義下相加，即超過(guò)2n+1的進(jìn)位要丟掉[ｘ－ｙ]補(bǔ)＝[ｘ]補(bǔ)＋[－ｙ]補(bǔ)＝[ｘ]補(bǔ)－[ｙ]補(bǔ)[-y]補(bǔ)稱為[y]補(bǔ)的機(jī)器負(fù)數(shù)，由[y]補(bǔ)求[-y]補(bǔ)的過(guò)程稱為將[y]補(bǔ)“變補(bǔ)”或?qū)y]補(bǔ)求補(bǔ)從[ｙ]補(bǔ)求[－ｙ]補(bǔ)的法則是：對(duì)[ｙ]補(bǔ)包括符號(hào)位“求反且最末位加1”寫(xiě)成運(yùn)算表達(dá)式為：

[－ｙ]補(bǔ)＝﹁[ｙ]補(bǔ)＋1其中符號(hào)﹁表示對(duì)[ｙ]補(bǔ)作包括符號(hào)位在內(nèi)的求反操作2.2.2補(bǔ)碼減法證明：[ｘ-ｙ]補(bǔ)＝[ｘ]補(bǔ)＋[－ｙ]補(bǔ)＝[ｘ]補(bǔ)－[ｙ]補(bǔ)只要證明[－ｙ]補(bǔ)＝－[ｙ]補(bǔ)即可∵[ｘ＋ｙ]補(bǔ)＝[ｘ]補(bǔ)＋[ｙ]補(bǔ)

(mod2n+1)∴[ｙ]補(bǔ)＝[ｘ＋ｙ]補(bǔ)－[ｘ]補(bǔ)

(2.15)∵[ｘ－ｙ]補(bǔ)＝[ｘ＋(－ｙ)]補(bǔ)＝[ｘ]補(bǔ)＋[－ｙ]補(bǔ)∴[－ｙ]補(bǔ)＝[ｘ－ｙ]補(bǔ)－[ｘ]補(bǔ)

(2.16)將式(2.15)與(2.16)相加,得

[－ｙ]補(bǔ)＋[ｙ]補(bǔ)＝[ｘ＋ｙ]補(bǔ)＋[ｘ－ｙ]補(bǔ)－[ｘ]補(bǔ)－[ｘ]補(bǔ)＝[ｘ＋ｙ＋ｘ－ｙ]補(bǔ)－[ｘ]補(bǔ)－[ｘ]補(bǔ)＝0故[－ｙ]補(bǔ)＝－[ｙ]補(bǔ)

(mod2n+1)[例13]

已知ｘ1＝－1110，ｘ2＝＋1101

求：[ｘ1]補(bǔ)，[－ｘ1]補(bǔ)，[ｘ2]補(bǔ)，[－ｘ2]補(bǔ)[解:]

[ｘ1]補(bǔ)＝10010

[－ｘ1]補(bǔ)＝﹁[ｘ1]補(bǔ)＋1＝01101＋1＝01110

[ｘ2]補(bǔ)＝01101

[－ｘ2]補(bǔ)＝﹁[ｘ2]補(bǔ)＋1＝10010＋1＝10011[例14]

ｘ＝＋1101,ｙ＝＋0110,求ｘ－ｙ[解:]

[ｘ]補(bǔ)＝01101

[ｙ]補(bǔ)＝00110,

[－ｙ]補(bǔ)＝11010[ｘ]補(bǔ)

01101

＋[－ｙ]補(bǔ)

11010

[ｘ－ｙ]補(bǔ)

所以ｘ－ｙ＝＋0111丟掉1001112.2.3溢出概念與檢測(cè)方法n+1位定點(diǎn)整數(shù)補(bǔ)碼數(shù)的表示范圍：－2n≤ｘ<2n溢出的概念負(fù)整數(shù)正整數(shù)

+(２n-1)負(fù)溢出正溢出-２n0[例15]

ｘ＝＋1011,ｙ＝＋1001,求ｘ＋ｙ[解]

[ｘ]補(bǔ)＝01011 [ｙ]補(bǔ)＝01001

[ｘ＋ｙ]補(bǔ)=01011+01001=10100

[例16]ｘ＝－1101,ｙ＝－1011，求ｘ＋ｙ[解] [ｘ]補(bǔ)＝10011 [ｙ]補(bǔ)＝10101

[ｘ＋ｙ]補(bǔ)=10011+10101=01000發(fā)生錯(cuò)誤的原因正溢出——兩正數(shù)相加，結(jié)果大于所能表示的最大正數(shù)負(fù)溢出——兩負(fù)數(shù)相加，結(jié)果小于所能表示的最小負(fù)數(shù)雙符號(hào)位補(bǔ)碼：也稱“變形補(bǔ)碼”或“模2n+2補(bǔ)碼”(對(duì)定點(diǎn)整數(shù))變形補(bǔ)碼可使模2n+1補(bǔ)碼表數(shù)的范圍擴(kuò)大一倍判斷“溢出”的方法——變形補(bǔ)碼法；單符號(hào)位法單符號(hào)位法——最高有效位產(chǎn)生進(jìn)位而符號(hào)位無(wú)進(jìn)位時(shí)，產(chǎn)生正溢；最高有效位無(wú)進(jìn)位而符號(hào)位有進(jìn)位時(shí)，產(chǎn)生負(fù)溢故溢出邏輯表達(dá)式為V＝CfCn

結(jié)論:1.溢出——運(yùn)算結(jié)果的二符號(hào)位相異，邏輯表達(dá)式為V＝Sf1⊕Sf2Sf1Sf2=01——正溢；Sf1Sf2=10——負(fù)溢2.不論溢出與否,最高符號(hào)位Sf1始終指示正確的符號(hào)定點(diǎn)整數(shù)的變形補(bǔ)碼的模為2n+2,

用同余式表示為：

[ｘ]補(bǔ)＝2n+2+ｘ(mod2n+2)對(duì)于正數(shù)，兩個(gè)符號(hào)位都是0；負(fù)數(shù)，兩個(gè)符號(hào)位都是1對(duì)于變形補(bǔ)碼，同樣有

[ｘ]補(bǔ)+[ｙ]補(bǔ)＝[ｘ+ｙ]補(bǔ)(mod2n+2)運(yùn)算過(guò)程中注意：兩個(gè)符號(hào)位都看作數(shù)碼參加運(yùn)算；丟掉最高符號(hào)位上產(chǎn)生的進(jìn)位變形補(bǔ)碼溢出判斷[例17]

ｘ＝＋1100,ｙ＝＋1000,求ｘ＋ｙ[解:]

[ｘ]補(bǔ)＝001100,

[ｙ]補(bǔ)＝001000[ｘ]補(bǔ)

001100＋[ｙ]補(bǔ)

001000

010100兩個(gè)符號(hào)位出現(xiàn)“01”,表示已溢出,即結(jié)果大于＋15[例18]

ｘ＝－1100,ｙ＝-1000,求ｘ＋ｙ[解:]

[ｘ]補(bǔ)＝110100,

[ｙ]補(bǔ)＝111000[ｘ]補(bǔ)

110100＋[ｙ]補(bǔ)

111000

101100兩個(gè)符號(hào)位出現(xiàn)“10”,表示已溢出,即結(jié)果小于－16變形補(bǔ)碼法舉例[例17]Bｘ＝＋1100,ｙ＝＋1000，求ｘ＋ｙ[解:]

[ｘ]補(bǔ)＝01100,

[ｙ]補(bǔ)＝01000[ｘ]補(bǔ)

01100＋[ｙ]補(bǔ)

01000

10100[例18]B

ｘ＝－1100,ｙ＝-1000,求ｘ＋ｙ[解:]

[ｘ]補(bǔ)＝10100,

[ｙ]補(bǔ)＝11000[ｘ]補(bǔ)

10100＋[ｙ]補(bǔ)

11000

01100Cf=0Cn=1Cf⊕Cn=1，溢出Cf⊕Cn=1，溢出Cf=1Cn=0單符號(hào)位法舉例2.2.4基本的二進(jìn)制加法/減法器輸入：Ai、Bi、Ci輸出：Si、Ci＋1一位全加器真值表

Si＝Ai⊕Bi⊕CiCi+1＝AiBi＋BiCi＋CiAi＝AiBi＋(Ai⊕

Bi)

Ci輸入輸出AiBiCiSiCi+100000001100101001101100101010111001111111、一位全加器FAAiBiCiCi+1Si2、n位二進(jìn)制加/減法器設(shè)5位二進(jìn)制數(shù)[A]補(bǔ)=A4A3A2A1A0[B]補(bǔ)=B4B3B2B1B0兩數(shù)相加，則為[S]補(bǔ)=[A]補(bǔ)+[B]補(bǔ)=C5S4S3S2S1S0而[-B]補(bǔ)=﹁[B]補(bǔ)＋1兩數(shù)相減，則為[S]補(bǔ)=[A]補(bǔ)-[B]補(bǔ)=[A]補(bǔ)+[-B]補(bǔ)=[A]補(bǔ)+[-B]補(bǔ)[A]補(bǔ)=A4A3A2A1A0C5S4S3S2S1S0[-B]補(bǔ)=B4B3B2B1B01+[A]補(bǔ)=A4A3A2A1A0[B]補(bǔ)=B4B3B2B1B0C5S4S3S2S1S0+2.2.4基本的二進(jìn)制加法/減法器n位補(bǔ)碼運(yùn)算的二進(jìn)制加法/減法器的邏輯結(jié)構(gòu)圖——工作原理延遲時(shí)間分析設(shè)：一個(gè)“與”門(mén)/“或”門(mén)的延遲時(shí)間為T(mén)，一個(gè)異或門(mén)的延遲時(shí)間為3T，則：一位FA的Si時(shí)間延遲為6TCi＋1的傳輸時(shí)間延遲為2Tn位行波進(jìn)位加法器的時(shí)間延遲為

ta＝n·2T＋9T＝(2n＋9)Tn位行波進(jìn)位加法器的延遲時(shí)間行波進(jìn)位的補(bǔ)碼加/減法器結(jié)構(gòu)2.3定點(diǎn)乘法運(yùn)算2.3.1原碼并行乘法1.人工算法與機(jī)器算法的同異性運(yùn)算規(guī)則：乘積的符號(hào)位、數(shù)值部分設(shè)n位被乘數(shù)和乘數(shù)用是用原碼表示的定點(diǎn)數(shù)被乘數(shù)[ｘ]原＝ｘf

ｘn－1…ｘ1ｘ0乘數(shù)[ｙ]原＝ｙf

ｙn－1…ｙ1ｙ0則乘積[ｚ]原＝(ｘf⊕ｙf)＋(ｘn－1…ｘ1ｘ0)(ｙn－1…ｙ1ｙ0)設(shè)ｘ＝1101,ｙ＝1011，數(shù)值部分運(yùn)算過(guò)程分析早期——采用串行的1位乘法，即多次執(zhí)行“加法—移位”操作簡(jiǎn)單，但太慢；目前使用流水式陣列乘法器(并行)對(duì)于計(jì)算機(jī)而言，不同之處在于：1.機(jī)器字長(zhǎng)為n位，兩個(gè)n位數(shù)相乘，乘積可能為2n位2.只有兩個(gè)操作數(shù)加法器不能將n個(gè)位積一次相加設(shè)A、B是兩個(gè)不帶符號(hào)的二進(jìn)制整數(shù)：

A＝am－1…a1a0

m位

B＝bn－1…b1b0

n位數(shù)值分別為a和b，即

m－1

n－1

a

＝∑ai2i

b

＝∑bj2j

i＝0

j＝0被乘數(shù)A與乘數(shù)B相乘，產(chǎn)生m＋n位乘積P：

P＝pm＋n－1…p1p0m＋

n位乘積P

的數(shù)值為2.不帶符號(hào)的陣列乘法器m位n位二進(jìn)制數(shù)的計(jì)算過(guò)程a4a3a2a1a0b4b3b2b1b0a4b1a3b1a2b1a1b1a0b1a4b0a3b0a2b0a1b0a0b0a4b2a3b2a2b2a1b2a0b2a4b3a3b3a2b3a1b3a0b3a4b4a3b4a2b4a1b4a0b4p9p8p7p6p5p4p3p2p1p0×=A=B=P以m=n=5為例延遲時(shí)間電路中，

{aibj|0≤i≤m－1和0≤j≤n－1}可用

“與”門(mén)并行產(chǎn)生n位×n位的乘法器——需要n(n－1)個(gè)全加器和n2個(gè)“與”門(mén)設(shè)Ta為“與門(mén)”的傳輸延遲時(shí)間，Tf為FA的進(jìn)位傳輸延遲假定用2級(jí)“與或”邏輯實(shí)現(xiàn)FA的進(jìn)位鏈，則Ta

＝T，Tf

＝2T

n位×n位不帶符號(hào)的陣列乘法器總的乘法時(shí)間為：tm＝Ta+(n－1)×6T+(n－1)×Tf＋3T

＝T＋(n－1)×6T+(n－1)×2T+3T＝(8n－4)T

5位×5位不帶符號(hào)陣列乘法器[例16]已知兩個(gè)不帶符號(hào)的二進(jìn)制整數(shù)A

＝11011,B

＝10101,求每一部分乘積項(xiàng)aibj的值與p9p8……p0的值[解:]P＝p9p8p7p6p5p4p3p2p1p0＝512+32+16+7=1000110111(56710)a4b0＝1

a3b0＝1

a2b0＝0

a1b0＝1a0b0＝1a4b1＝0a3b1＝0

a2b1＝0a1b1＝0a0b1＝0a4b2＝1

a3b2＝1

a2b2＝0

a1b2＝1a0b2＝1a4b4＝1

a3b4＝1a2b4＝0

a1b4＝1a0b4＝1a4b3＝0

a3b3＝0

a2b3＝0

a1b3＝0

a0b3＝0有符號(hào)數(shù)乘法的實(shí)現(xiàn)方法一是將補(bǔ)碼轉(zhuǎn)成原碼再用無(wú)符號(hào)數(shù)乘法器方案二是設(shè)計(jì)一種直接用補(bǔ)碼進(jìn)行乘法運(yùn)算的新型乘法器對(duì)2求補(bǔ)電路——可將補(bǔ)碼表示的帶符號(hào)數(shù)轉(zhuǎn)換成絕對(duì)值

0≤i≤n-13.帶符號(hào)的陣列乘法器按位掃描技術(shù)求(n＋1)位補(bǔ)碼表示的帶符號(hào)數(shù)A＝anan-1…a1a0的絕對(duì)值利用符號(hào)位來(lái)作為控制信號(hào)E例，在5位有符號(hào)數(shù)11010，對(duì)2求補(bǔ)器中，E=1，a3a0輸入為1010，輸出a3*

a0*是0110轉(zhuǎn)換一個(gè)(n＋1)位帶符號(hào)數(shù),所需的總時(shí)間延遲為

tTC＝(n-1)·Ta＋Ta＋Td＝n·Ta＋Td其中Ta是一個(gè)與門(mén)/一個(gè)或門(mén)的延遲時(shí)間，Td是異或門(mén)延遲時(shí)間(n＋1)×(n＋1)位帶求補(bǔ)器的陣列乘法器邏輯方框圖(2)帶符號(hào)的陣列乘法器帶求補(bǔ)級(jí)的陣列乘法器三個(gè)求補(bǔ)器的作用設(shè)A=anan-1…a1a0和B=bnbn-1…b1b0均為用定點(diǎn)表示的(n＋1)位帶符號(hào)整數(shù)。在必要的求補(bǔ)操作后，用n×n位不帶符號(hào)的陣列乘法器產(chǎn)生2n位真值乘積: A·B＝P＝p2n－1…p1p0 p2n＝an⊕bn其中P2n為符號(hào)位帶求補(bǔ)級(jí)的陣列乘法器既適用于原碼乘法,也適用于間接的補(bǔ)碼乘法；但間接的補(bǔ)碼乘法時(shí)間大約比原碼乘法增加1倍[例20]設(shè)ｘ＝＋15,ｙ＝－13,用帶求補(bǔ)器的原碼陣列乘法器求ｘ·ｙ[解:]

設(shè)最高位為符號(hào)位,則輸入數(shù)據(jù)為

[ｘ]補(bǔ)＝01111

[ｙ]補(bǔ)＝10011

符號(hào)位單獨(dú)考慮，算前求補(bǔ)級(jí)后|ｘ|＝1111；|ｙ|＝1101

驗(yàn)證：符號(hào)位：0⊕1=1算后求補(bǔ)結(jié)果：100111101換算成真值是ｘ·ｙ ＝(－11000011)2＝－(128＋64＋3)＝(－195)10

[例21]設(shè)ｘ＝－15,ｙ＝－13,用帶求補(bǔ)器的原碼陣列乘法器ｘ·ｙ[解:]

設(shè)最高位為符號(hào)位,則輸入數(shù)據(jù)為

[ｘ]補(bǔ)＝10001

[ｙ]補(bǔ)＝10011符號(hào)位單獨(dú)考慮，算前求補(bǔ)級(jí)后|ｘ|＝1111；|ｙ|＝1101

驗(yàn)證：乘積的真值是ｘ·ｙ ＝(11000011)2＝(195)10符號(hào)位：1⊕1=0算后求補(bǔ)結(jié)果：0

110000112.3.2直接補(bǔ)碼并行乘法1.補(bǔ)碼與真值的轉(zhuǎn)換公式

計(jì)算補(bǔ)碼真值的方法——使其符號(hào)位帶負(fù)權(quán)設(shè)定點(diǎn)整數(shù)的補(bǔ)碼：[N]補(bǔ)＝anan－1…a1a0，其中an是符號(hào)位補(bǔ)碼數(shù)[N]補(bǔ)和真值N的關(guān)系可以表示成：直接補(bǔ)碼乘法——符號(hào)位參與運(yùn)算，不需要求補(bǔ)級(jí)；快速把負(fù)權(quán)－2n強(qiáng)加到符號(hào)位an上，則真值N為：[例22]已知[N1]補(bǔ)=(01101)2,[N2]補(bǔ)=(10011)2,求[N1]補(bǔ),[N2]補(bǔ)的數(shù)值[解:]

[N1]補(bǔ)=(01101)2

具有的數(shù)值為：N1=－0×24＋1×23＋1×22＋0×21＋1×20=(＋13)10[N2]補(bǔ)=(10011)2具有的數(shù)值為：N2=－1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20=(－13)10對(duì)于0類、3類全加器：S＝XYZ＋XYZ＋XYZ＋XYZC＝XY＋YZ＋ZX對(duì)于1類、2類全加器：S＝XYZ＋XYZ＋XYZ＋XYZC＝XY＋XZ＋YZ*2.一般化的全加器形式全加器根據(jù)輸入端負(fù)權(quán)的數(shù)量可分為四類——0類、1類、2類、3類常規(guī)的一位全加器可假定3個(gè)輸入和2個(gè)輸出都是正權(quán)利用混合型全加器構(gòu)成直接補(bǔ)碼數(shù)陣列乘法器設(shè)被乘數(shù)A和乘數(shù)B是兩個(gè)5位的二進(jìn)制補(bǔ)碼數(shù)：A＝(a4)a3a2a1a0B＝(b4)b3b2b1b0帶負(fù)權(quán)的符號(hào)位a4和b4用括號(hào)標(biāo)注下面用括號(hào)來(lái)標(biāo)注負(fù)的被加項(xiàng)，則有：

(a4)a3

a2

a1

a0＝A

×)(b4)b3

b2

b1

b0＝B

(a4b0)a3b0

a2b0

a1b0

a0b0

(a4b1)a3b1

a2b1

a1b1

a0b1

(a4b2)

a3b2

a2b2

a1b2

a0b2

(a4b3)

a3b3

a2b3a1b3

a0b3

＋a4b4

(a3b4)(a2b4)(a1b4)(a0b4)________________________________

(p9)p8

p7

p6

p5

p4

p3

p2

p1

p0＝P

*3.直接補(bǔ)碼陣列乘法器5位乘5位的直接補(bǔ)碼陣列乘法器邏輯原理1000a0b0a2b0a1b0a4b0a3b0a0b1a1b1a2b1a3b1100a0b2a1b2a2b2a3b2110a1b3a2b3a3b311a1b4a2b4a3b422222222a4b4a4b3a4b2a4b1a0b3a0b400000p0p1p2p3p4p5(p9)p8p7p65位乘5位的情況下需要6個(gè)0類全加器(右上角)6個(gè)1類全加器(左上角)8個(gè)2類全加器(最下兩行)總數(shù)仍為5＊4＝20個(gè)2類和1類FA具有同樣的結(jié)構(gòu)但使用不同的邏輯符號(hào)[解:]

(0)1

1

0

1＝＋13

×)

(1)1

0

1

1＝－5

(0)1

1

0

1

(0)11

0

1

(0)0

0

0

0

(0)1

1

0

1

0(1)(1)(0)(1)___________________

0(1)0

1

11111=-65=-1×27+1×25+1×24+1×23+1×22+1×21+1×20若用10位二進(jìn)制數(shù)表示結(jié)果，則為(1)110111111=-1×29＋28＋27＋25＋24+23＋22＋21＋20=-65

(13)×(－5)＝－65[例]

設(shè)[A]補(bǔ)＝(01101)2,[B]補(bǔ)＝(11011)2,求[A×B]補(bǔ)＝?2.4定點(diǎn)除法運(yùn)算設(shè)有n位定點(diǎn)小數(shù)(定點(diǎn)整數(shù)也同樣適用)：被除數(shù)ｘ,原碼為[ｘ]原＝ｘf.ｘn－1…ｘ1ｘ0除數(shù)ｙ,原碼為[ｙ]原＝ｙf.ｙn－1…ｙ1ｙ0

則有商q＝ｘ/ｙ,原碼為[q]原＝(ｘf⊕ｙf)+(0.ｘn－1…ｘ1ｘ0/0.ｙn－1…ｙ1ｙ0) ——商的符號(hào)qf＝ｘf⊕ｙf；數(shù)值部分是兩個(gè)正數(shù)求商2.4.1原碼除法算法原理設(shè)被除數(shù)ｘ＝0.1001，除數(shù)ｙ＝0.1011，手算求ｘ÷ｙ

0.1101

商q

0.10110.10010

ｘ(r0),被除數(shù)小于除數(shù)，上0

－0.01011

2－1ｙ除數(shù)右移1位,減除數(shù)，上1

0.001110

r1得余數(shù)r1

－0.0

01011

2－2ｙ除數(shù)右移1位,減除數(shù)，上1

0.0000110

r2得余數(shù)r2

－0.0

000000

2－3ｙ除數(shù)右移1位,不減除數(shù)，上0

0.00001100

r3

得余數(shù)r3

－0.0

0001011

2－4ｙ除數(shù)右移1位,減除數(shù),上1

0.00000001

r4得余數(shù)r4得ｘ÷ｙ的商q＝0.1101,余數(shù)為r＝0.00000001

0.1101

商q

0.10110.1001

ｘ(r0)<y，上0

1.00102ｘ(r0)被除數(shù)左移1位

+1.0101

減y，加上[-y]補(bǔ)，上1

0.0111

r1得余數(shù)r1

0.1110

2r1

r1左移1位

+1.0101

減y，加上[-y]補(bǔ)，上1

0.0011

r2得余數(shù)r2 0.0110

2r2

r2左移1位

+0.0000

因2r2小于y，上00.0110r3得余數(shù)r3

0.1100

2

r3r3左移1位，

+1.0101

減y，加上[-y]補(bǔ)，上1

0.0001

r4得余數(shù)r4商q＝0.1101,余數(shù)為r＝r4×2-4＝0.0001×2-4＝0.00000001例：設(shè)x=0.1001,y=0.1011,則[-y]補(bǔ)＝1.0101,求ｘ÷ｙ計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)時(shí)處理方法的改進(jìn)：將“被除數(shù)和余數(shù)不動(dòng)，除數(shù)右移(相當(dāng)于除2)”改為：除數(shù)不動(dòng)(小數(shù)點(diǎn)固定)，被除數(shù)和余數(shù)左移(相當(dāng)于乘2)，并將上商和余數(shù)左移結(jié)合起來(lái)具體算法：

恢復(fù)余數(shù)法加減交替法

0.1001x+[-y]補(bǔ)

1.0101

減y，加上[-y]補(bǔ)

1.11100

余數(shù)r1<0，所以商上0＋y

0.1011

r1

＋y,恢復(fù)為被除數(shù)

0.10011.0010余數(shù)和商左移一位+[-y]補(bǔ)

1.0101

2r1

－

y,0.01111

余數(shù)r2>0，商上1

0.1110

余數(shù)和商左移一位+[-y]補(bǔ)

1.0101

2r2

－

y,

0.00111

余數(shù)r3>0，商上1

0.0110余數(shù)和商左移一位+[-y]補(bǔ)

1.0101

2r3－

y,1.10110

余數(shù)r4<0，商上0＋y

0.1011

r4

＋y,恢復(fù)余數(shù)

0.0110

0.1100余數(shù)和商左移一位+[-y]補(bǔ)

1.0101

2r4

－

y,

0.00011

余數(shù)r5>0，商上1缺點(diǎn)：運(yùn)算步數(shù)不確定恢復(fù)余數(shù)法01101規(guī)則：(1)首先進(jìn)行減法操作(2)根據(jù)余數(shù)的符號(hào)確定具體操作及商的值：若余數(shù)為正，說(shuō)明夠減，商上1若余數(shù)為負(fù)，說(shuō)明不夠減，商上0，再加上除數(shù)(恢復(fù)余數(shù))(3)余數(shù)和商左移，重復(fù)進(jìn)行分析恢復(fù)余數(shù)法——第i+1步的余數(shù)ri+1由前一步的余數(shù)ri(初值r0＝x)得到：若ri>0，商上1，左移一位(即乘2)減y得ri+1，即：ri+1＝2ri-y若ri＜0，商上0，并恢復(fù)余數(shù)(即加y)，然后左移一位再做減y的運(yùn)算，即：ri+1＝2(ri+y)－y＝2ri

＋y加減交替法ri若為負(fù)，不必恢復(fù)余數(shù)，將ri左移一位(乘2)再加上除數(shù)y即可直接得ri+1，再由ri+1的正負(fù)決定商的值由此可得加減交替法的運(yùn)算規(guī)則：

當(dāng)余數(shù)為正時(shí)，商上“1”，下一步：余數(shù)左移一位，減除數(shù)當(dāng)余數(shù)為負(fù)時(shí)，商上“0”，下一步：余數(shù)左移一位，加除數(shù)

0.1001x+[-y]補(bǔ)

1.0101

減y，即加上[-y]補(bǔ)

1.11100

余數(shù)r1<0，所以上0

1.11000余數(shù)左移一位后加除數(shù)y＋y

0.1011

2r1

＋y

0.0111

1余數(shù)r2>0，上1

0.111001余數(shù)和商左移一位后減y+[-y]補(bǔ)

1.0101

2r2

－

y

0.0011

1余數(shù)r3>0，上1

0.0110011余數(shù)和商左移一位減y+[-y]補(bǔ)

1.0101

2r3

－

y1.10110

余數(shù)r4<0，上01.01100110余數(shù)和商左移一位加y＋y

0.1011

2r4

＋y

0.0001

1余數(shù)r5>0，上1

01101——商；2-4×0.0001——余數(shù)加減交替法實(shí)例：x=0.1001,y=0.1011,[-y]補(bǔ)＝1.01012.4.2并行除法器(以不恢復(fù)余數(shù)陣列除法器為例)加減交替法——用可控的加/減法單元(CAS)構(gòu)成1.可控加法/減法單元——用于并行除法流水邏輯陣列有四個(gè)輸入端Ai、Bi、P、Ci和四個(gè)輸出端Si、

Ci＋1、Bi、P

加減控制線P＝0，CAS作加法運(yùn)算；P＝1作減法運(yùn)算

CAS單元的輸入與輸出的關(guān)系：

Si＝Ai⊕(Bi⊕P)⊕CiCi＋1＝(Ai＋Ci)·(Bi⊕P)＋AiCi

P＝0時(shí)， Si＝Ai⊕Bi⊕Ci(做加法) Ci＋1＝AiBi＋BiCi＋AiCi

P＝1時(shí)， Si

＝Ai⊕Bi⊕Ci

其中Bi＝Bi⊕1

(做減法) Ci＋1＝AiBi＋BiCi＋AiCiSi＝Ai⊕(Bi⊕P)⊕CiCi＋1＝(Ai＋Ci)·(Bi⊕P)＋AiCi可控加法/減法單元(CAS)邏輯圖

CAS單元的輸出方程：

Si＝Ai⊕(Bi⊕P)⊕Ci

＝AiBiCiP＋AiBiCiP＋AiBiCiP＋AiBiCiP＋AiBiCiP＋AiBiCiP＋AiBiCiP＋AiBiCiP

Ci＋1＝(Ai＋Ci)(Bi⊕P)＋AiCi

＝AiBiP＋AiBiP＋BiCiP＋BiCiP＋AiCi

Si和Ci+1都能用三級(jí)組合邏輯電路實(shí)現(xiàn)——每個(gè)基本CAS單元的延遲時(shí)間為3TCAS單元的延遲時(shí)間分析思路：每行執(zhí)行加法還是減法操作，取決于前一行輸出的符號(hào)與被除數(shù)的符號(hào)是否一致不夠減時(shí)，部分余數(shù)相對(duì)于被除數(shù)要改變符號(hào)，商上“0”，除數(shù)沿對(duì)角線右移，加(P=0)到下一行的部分余數(shù)上

部分余數(shù)不改變符號(hào)時(shí)，商上“1”，下一行執(zhí)行減法(P=1)舉例——6位除以3位的不恢復(fù)余數(shù)陣列除法器邏輯原理圖假定所有被處理的數(shù)都是正的小數(shù)被除數(shù)ｘ＝0.ｘ1ｘ2ｘ3ｘ4ｘ5ｘ6(雙倍長(zhǎng))

除數(shù)ｙ＝0.ｙ1ｙ2ｙ3

商數(shù)ｑ＝0.q1q2q3

余數(shù)ｒ＝0.00r3r4r5r62.不恢復(fù)余數(shù)(加減交替)的陣列除法器1

P=1時(shí)減y即加[－y]補(bǔ)也就是加上﹁y＋1，yi右移作為下一次操作數(shù)(b)6位除以3位陣列除法器邏輯結(jié)構(gòu)圖說(shuō)明：被除數(shù)ｘ是6位的小數(shù)(雙倍長(zhǎng)度值)：

ｘ＝0.ｘ1ｘ2ｘ3ｘ4ｘ5ｘ6

由頂部一行和最右邊的對(duì)角線上的垂直輸入線提供除數(shù)ｙ是3位的小數(shù)：ｙ＝0.ｙ1ｙ2ｙ3沿對(duì)角線進(jìn)入(用“余數(shù)保持固定，除數(shù)沿對(duì)角線右移”)商q是3位的小數(shù)：q＝0.q1q2q3

，在陣列的左邊產(chǎn)生余數(shù)r是6位的小數(shù)：r＝0.00r3r4r5r6

，在陣列的最下一行單元之間互連用n＝3的陣列表示說(shuō)明：初始操作經(jīng)常是減法，故最上面一行的控制線P固定為“1”減法——用2的補(bǔ)碼實(shí)現(xiàn)，右端各CAS單元上的反饋線用作初始的進(jìn)位輸入；每一行最左邊的單元的進(jìn)位輸出決定商的數(shù)值；當(dāng)前的商反饋到下一行確定下一行的操作(加法還是減法)運(yùn)算時(shí)，沿著每一行都有進(jìn)位(或借位)傳播，且所有行在進(jìn)位鏈上都是串行連接，每個(gè)CAS單元的延遲時(shí)間為3T，因此，對(duì)一個(gè)2n位除以n位的不恢復(fù)余數(shù)陣列除法器來(lái)說(shuō)，單元的數(shù)量為(n＋1)2，考慮最大情況下的信號(hào)延遲，除法執(zhí)行時(shí)間為 td＝3(n＋1)2T其中n為尾數(shù)位數(shù)[例23]ｘ＝0.101001，ｙ＝0.111，求ｘ÷ｙ[解:]

[ｙ]補(bǔ)＝0.111

[－ｙ]補(bǔ)＝1.001被除數(shù)ｘ

0.101001

+[-y]補(bǔ)

1.001

余數(shù)為負(fù)1.110001＜0

q0＝0

+2-1[y]補(bǔ)

0.0111

余數(shù)為正0.001101＞0

q1＝1

+2-2[-y]補(bǔ)

1.11001

余數(shù)為負(fù)1.111111＜0

q2＝0

+2-3[y]補(bǔ)

0.000111

余數(shù)為正0.000110＞0

q3＝1故得商q＝q0.q1q2q3＝0.101余數(shù)r＝(0.00r3r4r5r6)＝0.000110用CAS構(gòu)成的陣列除法器實(shí)現(xiàn)0.101001÷0.111

[ｙ]補(bǔ)＝0.111

[－ｙ]補(bǔ)＝1.001

0101001

0101

+[-y]補(bǔ)

1001

最高位無(wú)進(jìn)位1110q0＝0，下次做加法

+[y]補(bǔ)

0111

最高位有進(jìn)位0011

q1＝1，下次減法

+[-y]補(bǔ)

1001

最高位無(wú)進(jìn)位1111

q2＝0，下次加法

+[y]補(bǔ)

0111

最高位有進(jìn)位0110

q3＝1故得商q＝q0.q1q2q3＝0.101

余數(shù)r＝0.1102-3=0.0001100012.5定點(diǎn)運(yùn)算器的組成2.5.1邏輯運(yùn)算

邏輯運(yùn)算——邏輯非、邏輯加、邏輯乘、邏輯異1