【教案】平面向量數(shù)乘運算的坐標(biāo)表示教學(xué)設(shè)計-2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊

5/5§6.3.4平面向量數(shù)乘運算的坐標(biāo)表示一、內(nèi)容和內(nèi)容解析內(nèi)容：平面向量數(shù)乘運算的坐標(biāo)表示．內(nèi)容解析：本節(jié)是高中數(shù)學(xué)人教A版必修2第六章第3節(jié)第四課時的內(nèi)容．前面已經(jīng)找出兩個向量共線的條件，本節(jié)則進一步地把向量共線的條件轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示，只要將向量用坐標(biāo)表示出來，再運用向量相等的條件就可以得出平面向量共線的坐標(biāo)表示.掌握兩個向量數(shù)乘的坐標(biāo)運算法則，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)；能根據(jù)平面向量的坐標(biāo)，判斷向量是否共線，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理的核心素養(yǎng).二、目標(biāo)和目標(biāo)解析目標(biāo)：（1）掌握向量數(shù)乘運算的坐標(biāo)表示.（2）會根據(jù)向量的坐標(biāo)，判斷向量是否共線．目標(biāo)解析：（1）利用平面向量正交分解將向量用基底表示，利用分配律，推導(dǎo)出向量數(shù)乘運算的坐標(biāo)表示．（2）三點共線問題和定比分點問題都可以轉(zhuǎn)化為向量平行問題，利用共線向量基本定理推導(dǎo)得出結(jié)論.（3）數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)，但數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)需要在每一堂課中尋找機會去落實．在平面向量數(shù)乘運算的坐標(biāo)表示的教學(xué)中，從已知向量的坐標(biāo)推導(dǎo)向量數(shù)乘運算的坐標(biāo)是進行數(shù)學(xué)推理教學(xué)的很好機會．基于上述分析，本節(jié)課的教學(xué)重點定為：向量數(shù)乘運算的坐標(biāo)表示，根據(jù)向量的坐標(biāo)，判斷向量是否共線．三、教學(xué)問題診斷分析1．教學(xué)問題一：研究向量數(shù)乘運算的坐標(biāo)表示是本節(jié)課的第一個教學(xué)問題．解決方案：利用正交分解表示向量，結(jié)合平面向量的坐標(biāo)表示推理出結(jié)論．2.教學(xué)問題二：研究三點共線和定比分點問題是本節(jié)課的第二個教學(xué)問題．解決方案：將三點共線轉(zhuǎn)為兩個向量平行，利用共線向量基本定理，結(jié)合平面向量基本定理推導(dǎo)出結(jié)論．基于上述情況，本節(jié)課的教學(xué)難點定為：向量的坐標(biāo)表示的理解及運算的準(zhǔn)確性．四、教學(xué)策略分析本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)問題為我們選擇教學(xué)策略提供了啟示．為了讓學(xué)生通過觀察、歸納得到平面向量數(shù)乘運算的坐標(biāo)表示，應(yīng)該為學(xué)生創(chuàng)造積極探究的平臺．因此，在教學(xué)過程中以問題串的形式引導(dǎo)學(xué)生探究，可以讓學(xué)生從被動學(xué)習(xí)狀態(tài)轉(zhuǎn)到主動學(xué)習(xí)狀態(tài)中來．在教學(xué)設(shè)計中，采取問題引導(dǎo)方式來組織課堂教學(xué)．問題的設(shè)置給學(xué)生留有充分的思考空間，讓學(xué)生圍繞問題主線，通過自主探究達到突出教學(xué)重點，突破教學(xué)難點的目的．在教學(xué)過程中，重視平面向量數(shù)乘運算的坐標(biāo)表示，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)推理的基本過程．因此，本節(jié)課的教學(xué)是實施數(shù)學(xué)具體內(nèi)容的教學(xué)與核心素養(yǎng)教學(xué)有機結(jié)合的嘗試．五、教學(xué)過程與設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)問題或任務(wù)師生活動設(shè)計意圖創(chuàng)設(shè)情境生成問題貝貝和晶晶同做一道數(shù)學(xué)題：“一人從A地到E地，依次經(jīng)過B地、C地、D地，且相鄰兩地之間的距離均為502km.問從A地到E地的行程有多少？”其解答方法是：貝貝：502＋502＋502＋502＝1004＋502＋502＝1506＋502＝2008(km).晶晶：502×4＝2008(km).可以看出，晶晶的計算較簡捷，乘法是加法的簡便運算，構(gòu)建了乘法運算體系后，給一類問題的解決帶來了很大的方便.用實際問題引入，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.探索交流，解決問題[問題1]當(dāng)a∥b時，a，b的坐標(biāo)成比例嗎？[問題2]如果兩個非零向量共線，你能通過其坐標(biāo)判斷它們是同向還是反向嗎？[問題3]已知a＝(x，y)，你能得出2a、3a的坐標(biāo)嗎？【練習(xí)】已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，則2a－b＝________.[問題4]如果向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，根據(jù)共線向量定理，a與b共線時，存在唯一實數(shù)λ，使a＝λb，那么根據(jù)向量數(shù)乘運算的坐標(biāo)表示，你能發(fā)現(xiàn)a與b的坐標(biāo)之間的關(guān)系嗎？[問題5]如圖，線段P1P2的端點P1，P2的坐標(biāo)分別為，點P是直線P1P2上的一點，當(dāng)時，點P的坐標(biāo)是什么？教師1：提出問題1．學(xué)生1：學(xué)生思考．橫、縱坐標(biāo)均不為0時成比例.教師2：提出問題2．學(xué)生2：能.將b寫成λa形式，λ>0時，b與a同向，λ<0時，b與a反向.教師3：提出問題3．學(xué)生3：2a＝a＋a＝(x，y)＋(x，y)＝(2x,2y)；3a＝2a＋a＝(2x,2y)＋(x，y)＝(3x,3y)．教師4：平面向量數(shù)乘運算的坐標(biāo)表示：已知a＝(x，y)，λ∈R，則λa＝(λx，λy)，即實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實數(shù)乘以原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)．教師5：完成練習(xí)學(xué)生4：2a－b＝2(2，4)－(－1，1)＝(5，7).教師6：提出問題4.學(xué)生5：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a與b共線，則x1y2＝x2y1.教師7：平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1))，b＝(x2，y2)，其中b≠0.向量a，b(b≠0)共線的充要條件是x1y2－x2y1＝0.教師8：中點坐標(biāo)公式若P1，P2的坐標(biāo)分別是(x1，y1)，(x2，y2)，線段P1P2的中點P的坐標(biāo)為(x，y)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋x2,2)，,y＝\f(y1＋y2,2)，))此公式為線段P1P2的中點坐標(biāo)公式.教師9：提出問題5.學(xué)生6：通過復(fù)習(xí)共線向量定理引入本節(jié)新課.建立知識間的聯(lián)系，提高學(xué)生概括、類比推理的能力.通過探究讓學(xué)生掌握向量的數(shù)乘的坐標(biāo)表示，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).通過探究得出一般結(jié)論，通過學(xué)生解決問題的能力.典例分析鞏固落實1.向量數(shù)乘運算的坐標(biāo)表示例1.已知向量a＝(1,2)，b＝(3，－4)，c＝(－2,6)，試求a＋3b,3a－2b＋eq\f(1,2)c.2.平面向量共線的坐標(biāo)運算例2.已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，當(dāng)k為何值時，ka＋b與a－3b平行？平行時它們是同向還是反向？3.向量共線的判定及解決點共線問題例3.如果向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝i－2j，eq\o(BC,\s\up6(→))＝i＋mj，其中i，j分別是x軸、y軸正方向上的單位向量，試確定實數(shù)m的值，使A，B，C三點共線．[課堂練習(xí)]1.已知，求的坐標(biāo).2.已知，且，求.教師10：完成例1．學(xué)生7：因為a＝(1,2)，b＝(3，－4)，c＝(－2,6)，所以a＋3b＝(1,2)＋3(3，－4)＝(1,2)＋(9，－12)＝(10，－10)，3a－2b＋eq\f(1,2)c＝3(1,2)－2(3，－4)＋eq\f(1,2)(－2,6)＝(3,6)－(6，－8)＋(－1,3)＝(－4,17)．教師11：完成例2學(xué)生8：ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，當(dāng)ka＋b與a－3b平行時，存在唯一實數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a－3b)．由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)．得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－3＝10λ，,2k＋2＝－4λ，))解得k＝λ＝－eq\f(1,3).當(dāng)k＝－eq\f(1,3)時，ka＋b與a－3b平行，這時ka＋b＝－eq\f(1,3)a＋b＝－eq\f(1,3)(a－3b)，∵λ＝－eq\f(1,3)<0，∴ka＋b與a－3b反向．學(xué)生9：ka＋b＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(10，－4)，∵ka＋b與a－3b平行，∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得k＝－eq\f(1,3).故ka＋b與a－3b反向．教師12：完成例3學(xué)生10：∵A，B，C三點共線，即eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))共線，∴存在實數(shù)λ，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，即i－2j＝λ(i＋mj)．于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝1，,λm＝－2，))∴m＝－2.故m＝－2時，A，B，C三點共線．教師13：布置課堂練習(xí)1、2．學(xué)生11：完成課堂練習(xí)，并核對答案．通過例1進一步掌握向量加法、減法、數(shù)乘向量的坐標(biāo)運算，提高學(xué)生的觀察、概括能力.通過例2練習(xí)共線向量的坐標(biāo)運算，提高學(xué)生解決問題的能力.通過例3練習(xí)共線向量的坐標(biāo)運算，提高學(xué)生解決問題的能力.課堂小結(jié)升華認(rèn)知[問題6]通過這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識？在解決問題時，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？[課后練習(xí)]1．若a＝(2，1)，b＝(1，0)，則3a－2b的坐標(biāo)是()A．(5，3)B．(4，3)C．(8，3)D．(0，－1)2．已知a＝(－6，2)，b＝(m，－3)，且a∥b，則m＝()A．－9B．9C．3D．－33．與向量a＝(1，2)平行，且模等于eq\r(5)的向量為________．4．已知向