小學數(shù)學培養(yǎng)推理能力

專題講座小學數(shù)學中培養(yǎng)學生推理能力的教學策略周愛東順義區(qū)教育研究考試中心小學生在數(shù)學課上學習一點有關推理的知識，是《課標》指定的一個重要教學內(nèi)容。在《課標》（修改稿）的第三頁倒數(shù)第一行，就有明確的規(guī)定：“在數(shù)學教學中，應當注重發(fā)展學生的數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直覺、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想。”《課標》還具體地作出了解釋“推理能力的發(fā)展應貫穿在整個數(shù)學學習過程中。推理是數(shù)學的基本思維方式，也是人們學習和生活經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比推斷某些結果；演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運算的定義、法則、順序等）出發(fā)按照邏輯推理的法則證明和計算。在解決問題的過程中，合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結論；演繹推理用于證明結論。在小學階段，主要學習合情推理，即歸納推理和類比推理。而歸納推理又多表現(xiàn)為“不完全歸納推理”。一、知識結構、邏輯推理及相互間的關系在小學數(shù)學教學中，構建良好的數(shù)學知識結構是培養(yǎng)發(fā)展學生邏輯思維能力的一個重要途徑。烏辛斯基早就指出：“所謂智力發(fā)展不是別的，只是很好組織起來的知識體系?！倍R體系因為其內(nèi)在的邏輯結構而獲得邏輯意義。數(shù)學中基本的概念、性質、法則、公式等都是遵循科學的邏輯性構成的。“數(shù)學作為一種演繹系統(tǒng)，它的重要特點是，除了它的基本概念以外，其余一切概念都是通過定義引入的”。這種演繹系統(tǒng)一方面使得數(shù)學內(nèi)容以邏輯意義相關聯(lián)。另一方面從知識結構所蘊含的邏輯思維形式中得到的研究方法（如邏輯推理等），再去獲取更多的知識。例如：在教學正方形面積計算公式時,我們通過演繹推理得到的：長方形面積=長乂寬正方形長二寬因此得出正方形面積二邊長X邊長數(shù)學中的這種推理形式一旦被學生所熟識，他們又會運用它在已有知識的基礎上作出新的判斷和推理。二、邏輯推理在教及學過程中的應用根據(jù)奧蘇貝爾的認知同化理論，學生知識的習得和構建，主要依賴認知結構中原有的適當觀念，去影響和促進新的理解、掌握，溝通新舊知識的互相聯(lián)系，形成新的認知結構系統(tǒng)，這是數(shù)學知識學習過程中的同化現(xiàn)象。它包含三方面的內(nèi)容：一是新舊知識建立下位聯(lián)系；二是新舊知識建立上位聯(lián)系；三是新舊知識建立聯(lián)合意義。這三方面及邏輯結構中的三類推理恰好建立相應的聯(lián)系。

下位關系——演繹推理上位關系——歸納推理并列關系——類比推理一）下位關系——演繹推理"■"■靈比推浦1如果原有的認知結構觀念極其抽象，概括性和包容性高于新知識，新舊知識建立下位聯(lián)系、新知識從屬于舊知識時，那么宜適當運用演繹推理的規(guī)則，由一般性的前提推出特殊性的結論?！把堇[的實質就是認為每一特殊（具體）情況應當看作一般情況的特例”。為了得以關于某一對象的具體知識，先要找出這一對象的類（最近的類概念），再將這一對象的類的屬性應用于哪個對象。例如：由四條線段圍成的圖形叫做四邊形。長方形、正方形、平行四邊形、梯形都是由四條線段圍成的圖形。那么這些圖形都是四邊形。再如：兩種量分別用X和y表示，若y/x=k（一定）,則x和y是成正比例的量。同圓中周長比半徑二2n（—定）。同圓中周長和半徑是成正比例的量。當學生理解這種推理的順序,且懂得要使演繹推理正確,首先要前提正確,并學會使用這樣的語言：只有兩個因數(shù)（1和它本身）的數(shù)是質數(shù)；101只有兩個因數(shù)；101是質數(shù)。那么,符合形式邏輯的演繹法則就初步被學生所掌握。在知識層面中,這種類屬過程的多次進行,就導致知識不斷產(chǎn)生新的

層次,其邏輯結構就越加嚴密,新的知識也就會不斷分化和精確化,就可

以逐漸演繹出新的類屬性的具體知識。教學中正確把握這種結構,用演繹

推理的手段組織學習過程,不但能培養(yǎng)學生的思考方法,理解內(nèi)容的邏輯結構，還能提高學生的模式辨認能力，縮短推理過程，快速找到解題途徑。比如：運用乘法分配律簡便運算時，學生必須以清晰、穩(wěn)固的乘法分配律知識為基礎，才能實現(xiàn)簡算。aXc+bXc=對比題：99X99+99X1=99X(99+1)=990099X99＋9919X86＋14X26=19X(86+14)二）上位關系——歸納推理如果原有認識結構已形成幾個觀念，要在原有的觀念上學習一個抽象、概括和包容性高于舊知識的新知識，即新舊知識建立上位聯(lián)系時，那么適當運用歸納推理的規(guī)則，可由特殊的前提推出一般性的結論。當需要研究某一對象集時，先要研究各個對象（情況），從中找出整個對象集所具有的性質，這就是歸納推理。歸納推理的基礎是觀察和試驗，是從具體的、特殊的情況過渡到一般情況（結論、推論）。例如：在學習兩個奇數(shù)相加和是偶數(shù)時，先讓學生列舉出多個兩個奇數(shù)相加的例子，最后得出兩個奇數(shù)相加和是偶數(shù)的結論。1和2互質，1和3互質，1和4互質一1和任意一個自然數(shù)互質。和3互質，3和4互質，4和5互質一相鄰的兩個自然數(shù)互質。和5互質，5和7互質，7和9互質一相鄰的兩個奇數(shù)互質。教材中關于概念的形成，運算法則和運算定律、性質得出，一般是通過歸納推理得到的。運用歸納推理傳授知識時，要根據(jù)學生的實際經(jīng)驗，選取典型的特例，并能夠通過典型特例的推理得出一般性的結論。又要用這個“一般結論”，去解決具體特例。在教及學的進程中，歸納和演繹不是孤立地出現(xiàn)的，它們緊密交織在一起。（三）并列關系——類比推理如果新舊知識間既不產(chǎn)生從屬關系，又不能產(chǎn)生上位關系，但是新知識同原有知識有某種吻合關系或類比關系，則新舊知識間可產(chǎn)生并列關系。那么可以運用類比推理。教材中，商不變性質和分數(shù)基本性質，乘數(shù)是整數(shù)的乘法和乘數(shù)是分數(shù)的乘法等，學習這類及舊知識處于并列結合關系的新知識時，既不能以上位演繹推理到下位，又不能以下位歸納推理到上位，只能采用類比推理。如五年級學習“一輛卡車平均每小時行40千米，0.3小時行了多少千米？”時，學生還無法根據(jù)小數(shù)乘法的意義列出此題的解答等式。所以，教學中一般用整數(shù)乘法中的數(shù)量關系來類推。新舊知識的三種聯(lián)系及三類推理相呼應，不是一種巧合，是知識結構本身科學的邏輯結構使然。正確地運用邏輯推理的原則可以將學生的認識結構分化的程度提高，教師會不斷注意新知識的穩(wěn)定性、清晰性，新知識的固定點、生長點。數(shù)學教學更富有科學意義。三、在小學數(shù)學教學中培養(yǎng)學生推理能力的策略（一）新知識轉化舊知識的學習中，溝通的策略。（二）習得新知以后深化舊知，用新的視角看舊知的策略。（三）在學習新知時，關鍵處設問引發(fā)思考點撥思路的策略。（四）設計開放練習，培養(yǎng)學生推理能力的策略。（五）構建可操作的教學模式，培養(yǎng)學生推理能力的策略。一）新知識轉化舊知識的學習中，溝通的策略．立體圖形的體積計算，分為兩個階段，長、正方體體積；圓柱、圓錐的體積。學習了圓柱體積計算之后，可以把長方體，正方體，圓柱都看成是柱體，他們的體積都可以用底面積乘高來計算。如圖，它們的體積公式可以統(tǒng)一成（V=sh）。的關系。例如：教師設計的開放練習；甲數(shù)除以乙數(shù)的商是12，余數(shù)是8，如果商用小數(shù)表示是12.5那么甲數(shù)是（），乙數(shù)是（）。二）學了新知以后深化舊知，用新的視角看舊知的策略學習了分解質因數(shù)之后，可以深化整除的概念。A=2X3X5；B=2X32X5因為我們知道B包含A的所有因數(shù)，那么B是A的倍數(shù)，A是B的因數(shù)。質數(shù)、合數(shù)的概念，是依據(jù)一個數(shù)的因數(shù)個數(shù)多少來分類建立概念的。學習了分解質因數(shù)的概念后，學生又認識到，任何一個合數(shù)都可以表示成幾個質因數(shù)相乘的形式。教師應及時深化概念。從新的角度看舊知。（三）在學習新知時，關鍵處設問引發(fā)思考點撥思路的策略．關鍵處點撥：案例：商不變的性質教學片段。首先是計算：80一4=（）一（）學生都能找到一個正確答案,方法無一例外都是先算出商20，然后想哪兩個數(shù)相除商是20，學生很難將兩個算式中的被除數(shù)和除數(shù)建立起聯(lián)系。第二是觀察：我寫出一組算式：20一2=1040一4=1080一8=10,讓學生說說發(fā)現(xiàn)了什么？學生都發(fā)現(xiàn)了商沒變，被除數(shù)和除數(shù)變了，具體說說怎樣變了？有的學生說被除數(shù)增加了，除數(shù)也增加了，有的學生說被除數(shù)擴大了，除數(shù)也擴大了，學生習慣上從上向下觀察，從直觀上感知被除數(shù)和除數(shù)發(fā)生了變化，增加了或擴大了，但對于被除數(shù)和除數(shù)變化之中的內(nèi)在聯(lián)系卻很難發(fā)現(xiàn)。如何讓學生主動探求被除數(shù)和除數(shù)的變化規(guī)律，并有所發(fā)現(xiàn)呢？我通過對情境的加工，提取出數(shù)學實例，學生在觀察、猜想、驗證、反思等學習過程中，運用不完全歸納法總結出商不變的性質，從而豐富學生探索規(guī)律的數(shù)學活動經(jīng)驗。我充分利用教材中猴王分桃子的情境：3只小猴子，猴王給了6個桃子，小猴子說不夠不夠，每人才2個桃子，太少了。猴王說：“少？沒關系，我有神奇寶盒，那給你們變一變，”

猴王利用寶盒變成：60個桃子分給30個小猴子，600個桃子分給300只小猴子。600和300，你們猜結果怎樣？真讓你們猜對了小猴子還是覺得少奇怪了，桃子明明是越變越多了，小猴子為什么還說不夠呢？學生很容易發(fā)現(xiàn)雖然桃子也就是被除數(shù)多了，分給猴子的只數(shù)也就是除數(shù)也多了，每個人分得的桃子也就是商沒變。?真是神奇，被除數(shù)和除數(shù)同時都變了，商竟然沒變，那是不是不管被除數(shù)和除數(shù)怎樣變，商都不變呢？?提出猜想：你認為被除數(shù)、除數(shù)發(fā)生怎樣的變化，商就能不變呢？．在觀察中引發(fā)思考。任觀鑒中引崑降考任觀鑒中引崑降考t.Q76523_13Ji&WJOOC13冋商就輸I盹的岡…與日IS7000j．在確定思考方向處教師應設問點撥蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿?，F(xiàn)在這兩種小蟲共18只，共有118條腿。問蜘蛛有幾只？蜘蛛8腿9765；蜻蜓6腿910111213腿118條1261241221201t8?確定試算的方向。教師應設問點撥。（四）設計開放練習，培養(yǎng)學生推理能力的策略。1．追根尋源:如果下圖中圓的面積等于長方形的面積，那么圓的周長（）長方形的周長。A.等于B.大于C.小于圓的周長是16.4厘米，陰影部分的周長是多少厘米？陰影部分的周長等于圓的周長加1/4圓周=16.4X(1+1/4) =20.5厘米。．估算要有方法。三位同學晨練，張華5分鐘走了351米，李明2分鐘走了131米，陸宇3分鐘走了220米，（）走得最快。

A.張華B.李明C.陸宇李明+陸宇二張華。張華1分鐘大約走了70米，李明不足70米。所以陸宇走路最快。．整體考慮：1分鐘走路面的網(wǎng)格1分鐘走路面的網(wǎng)格沿著對稱軸三個圖形拼成一個軸對稱圖形，對稱軸可以有三個方向沿著對稱軸等成分兩部分，每部分面積是8橫向：3+5=8層次：易?？v向：2+3+3=8層次：易。三個圖形拼成一個軸對稱圖形，對稱軸可以有三個方向，沿著對稱軸等成分兩部分，每部分面積是845。方向：0.5+3.5+4=8層次：難。45。方向：2.5+3.5=6每部分+2=8層次：難。（五）構建可操作的教學模式，有效發(fā)展推理能力案例：感知、猜想、驗證、結論、推廣應用五步教學法三年級學生學習了乘數(shù)是兩位數(shù)的乘法后，為了激發(fā)學生的學習的興趣，使體驗到數(shù)學計算中的趣味及魅力，在提高學生的計算能力的同時有意識地培養(yǎng)學生的推理能力，我們可以設計一些題組，清晰地呈現(xiàn)題組間邏輯關系，為學生提供充分觀察思考的思維空間，讓學生在經(jīng)歷觀察、感知、猜想、驗證結論、推廣應用的數(shù)學活動中，培養(yǎng)學生比較、分析、概括、探究等能力，發(fā)展學生的數(shù)學思考能力。利用題組，初步感知規(guī)律先計算下列乘法算式的乘積，然后再認真觀察：你有什么發(fā)現(xiàn)？TOC\o"1-5"\h\z12 15 13 節(jié) 67畑 畑 X67 K3G XJ9,ujlu mm m’Ti iii丨i 111)ii_i i_i i__i i_i i_t12X67=304 15X67=100518X67=12C6 39X57=26133fiX67= 2412學生通過計算后發(fā)現(xiàn)：因數(shù)的特點：1.一個因數(shù)都是67一個因數(shù)數(shù)12,15,18……都是3的倍數(shù)積的特點：1、積的前兩位數(shù)都是后兩位數(shù)的2倍。2.根據(jù)發(fā)現(xiàn)，提出猜想是不是只要是3的倍數(shù)及67相乘，它們的乘積就可能具有這個2倍的關系呢？結合實例，驗證猜想這時教師為學生提供如下的算式，讓學生親自對猜想加以驗證：練習：42 45 48 2 fl2X67=2詼^67=3216_ 心7_心了_心7_ 45X67^3G15 63X^7-4221通過計算以上題組加以驗證，學生會發(fā)現(xiàn)自己的猜想得到了驗證。那為什么這些乘法算式的結果會呈現(xiàn)有趣的2倍的關系呢？會不會是3倍、4倍呢