【公開課】兩角和與差的正弦、余弦和正切公式（第1課時+兩角差的余弦公式）課件高一上人教A版（2019）必修第一冊

現(xiàn)在是數(shù)學(xué)時間5.5.1第1課時兩角差的余弦公式課標(biāo)要求1.能通過任意角的三角函數(shù)的定義及平面上兩點(diǎn)間的距離公式推導(dǎo)出兩角差的余弦公式.2.理解兩角差的余弦公式的結(jié)構(gòu)形式,并能利用公式進(jìn)行簡單的化簡、求值.知識回顧：利用誘導(dǎo)公式化簡觀察本組練習(xí)的結(jié)構(gòu)特征：兩角差的余弦;

從化簡的結(jié)果發(fā)現(xiàn)：都與任意角α（β）的正弦或余弦有關(guān).

思考：cos(α－β)的展開公式可能與哪些值有關(guān)?差角的余弦我們用到哪些知識探究cos(α－β)與sinα、cosα、sinβ、cosβ間的關(guān)系？問題1已知角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P，請寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).提示P(cosα，sinα).問題2觀察右圖，并閱讀教材P215以及右下角的注解部分，分組討論，你能得到哪些結(jié)論？提示A(1,0)，P(cos(α－β)，sin(α－β))，A1(cosβ，sinβ)，P1(cosα，sinα).連接AP，A1P1，根據(jù)圓的旋轉(zhuǎn)對稱性，容易發(fā)現(xiàn)AP＝A1P1.問題3你還記得初中所學(xué)兩點(diǎn)間的距離公式嗎？由此可得[cos(α－β)－1]2＋sin2(α－β)＝(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2.扇形AOP繞著點(diǎn)o旋轉(zhuǎn)β角，由圓的旋轉(zhuǎn)對稱性得，知識點(diǎn)

兩角差的余弦公式公式:cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.(1)簡記符號:C(α-β).

(2)適用條件:公式中的角α,β是任意角.公式中α,β∈R名師點(diǎn)睛1.公式可簡記為:余余正正、符號反.2.公式中的α,β都是任意角,既可以是一個角,也可以是幾個角的組合,公式右端展開式為角α,β的同名三角函數(shù)積的和,即差角余弦等于同名積之和.3.要注意公式的逆用和變形應(yīng)用,如cos(α+β)cos

β+sin(α+β)sin

β=cos[(α+β)-β]=cos

α.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)cos(60°-30°)=cos60°-cos30°.(

)(2)當(dāng)α,β∈R時,cos(α-β)=cosαcosβ-sinαsinβ.(

)(3)對于任意實(shí)數(shù)α,β,cos(α-β)=cosα-cosβ都不成立.(

)(4)cos30°cos120°+sin30°sin120°=0.(

)×××√2.你能利用兩角差的余弦公式推導(dǎo)cos(-α)=-sinα嗎?探究點(diǎn)一利用兩角差的余弦公式解決給角求值問題【例1】

求下列各式的值:規(guī)律方法

兩角差的余弦公式常見題型及解法(1)兩特殊角之差的余弦值,利用兩角差的余弦公式直接展開求解.(2)含有常數(shù)的式子,先將常數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)值,再利用兩角差的余弦公式求解.(3)求非特殊角的三角函數(shù)值,把非特殊角轉(zhuǎn)化為兩個特殊角的差,然后利用兩角差的余弦公式求解.變式訓(xùn)練1化簡下列各式:(1)cos(θ+21°)cos(θ-24°)+sin(θ+21°)sin(θ-24°);(2)-sin167°sin223°+sin257°sin313°;探究點(diǎn)二利用兩角差的余弦公式解決給值求值問題規(guī)律方法

給值求值的解題策略(1)已知某些角的三角函數(shù)值,求另外一些角的三角函數(shù)值,要注意觀察已知角與所求表達(dá)式中角的關(guān)系,適當(dāng)?shù)夭鸾桥c湊角.(2)由于和、差角與單角是相對的,因此解題過程中根據(jù)需要靈活地進(jìn)行拆角或湊角的變換.常見角的變換有:變式訓(xùn)練2探究點(diǎn)三利用兩角差的余弦公式解決給值求角問題變式探究本例中,若將條件“α,β均為銳角”改為“α,β∈

”,再求α-β的值.規(guī)律方法

解決三角函數(shù)給值求角問題的方法步驟(1)確定角的范圍,根據(jù)條件確定所求角的范圍;(2)求所求角的某種三角函數(shù)值,為防止增解最好選取在上述范圍內(nèi)單調(diào)的三角函數(shù);(3)結(jié)合三角函數(shù)值及角的范圍求角.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識清單:(1)兩角差的余弦公式的推導(dǎo).(2)給角求值,給值求值,給值求角.2.方法歸納:整體法、構(gòu)造法.3.常見誤區(qū):(1)求角時忽視角的范圍;(2)公式的逆用及符號問題.學(xué)以致用?隨堂檢測全達(dá)標(biāo)1.cos(-75°)的值為(

)答案

C

解析

cos(-75°)=cos(-30°-45°)=cos(-30°)cos

45°