結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)-總復(fù)習(xí)

動(dòng)力學(xué)的研究?jī)?nèi)容及分析步驟研究?jī)?nèi)容：研究結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性及其動(dòng)荷載作用下動(dòng)力反應(yīng)規(guī)律。動(dòng)力學(xué)分析步驟：1）建立運(yùn)動(dòng)方程——描述結(jié)構(gòu)中力與變形關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式（也稱動(dòng)力方程）。2）確定初邊值條件——初始條件和邊界條件3）對(duì)運(yùn)動(dòng)方程求解——利用初邊值條件求解微分方程（偏微分方程）4）結(jié)果分析及相關(guān)工程應(yīng)用一、結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算（問(wèn)題）的特點(diǎn)1、動(dòng)荷載定義：荷載（大小、方向和作用位置）隨時(shí)間變化；在其作用下，結(jié)構(gòu)上的慣性力與外荷載相比不可忽視。2、動(dòng)力計(jì)算特點(diǎn)（1）所考慮的力系中要包含慣性力。慣性力是導(dǎo)致結(jié)構(gòu)產(chǎn)生動(dòng)力反應(yīng)的根本原因（內(nèi)因，外因是動(dòng)力荷載作用）。（2）動(dòng)力平衡方程是瞬時(shí)平衡。荷載，內(nèi)力，變形等都是時(shí)間的函數(shù)。10-1動(dòng)力計(jì)算特點(diǎn)和動(dòng)力自由度二、動(dòng)力計(jì)算中體系的自由度1、動(dòng)力自由度：確定體系（運(yùn)動(dòng)時(shí)）質(zhì)量位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)（參數(shù)）數(shù)目。動(dòng)力自由度與質(zhì)點(diǎn)（集中質(zhì)量）個(gè)數(shù)無(wú)關(guān)！靜力自由度：確定體系（運(yùn)動(dòng)時(shí)）幾何位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)（參數(shù)）數(shù)目。2、結(jié)構(gòu)離散化：把無(wú)限自由度問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有限自由度的過(guò)程。常用簡(jiǎn)化方法有： 1）集中質(zhì)量法； 2）廣義坐標(biāo)法； 3）有限單元法。

自由振動(dòng)：結(jié)構(gòu)受到干擾離開(kāi)平衡位置以后，不再受到任何外力影響的振動(dòng)過(guò)程。yykmc彈簧-質(zhì)點(diǎn)模型mk簡(jiǎn)化模型mEIhEI實(shí)際模型yykm無(wú)阻尼時(shí)，c=0一、自由振動(dòng)微分方程建立基本方法：動(dòng)靜法；

剛度法；

柔度法

10.2單自由度體系的自由振動(dòng)1）動(dòng)靜法/剛度法——基于體系的動(dòng)態(tài)平衡條件mEIlyykmm動(dòng)靜法步驟：1.在振動(dòng)的任意時(shí)刻，求質(zhì)點(diǎn)的慣性力和所受的彈性力；2.考慮t時(shí)刻的瞬時(shí)平衡。剛度法步驟：1.在任意時(shí)刻，求質(zhì)點(diǎn)的慣性力和所受的彈性力；2.考慮該時(shí)刻的瞬時(shí)平衡力系沿動(dòng)位移方向虛位移所作虛功=0。mk：彈簧剛度系數(shù)，使彈簧單位長(zhǎng)度所施加的力（對(duì)立柱，使柱頂產(chǎn)生單位水平位移時(shí)所施加的水平力）1l柔度法步驟：1.求質(zhì)點(diǎn)沿振動(dòng)方向慣性力；2.虛設(shè)單位荷載下體系質(zhì)點(diǎn)處沿振動(dòng)方向靜位移；3.求慣性力作用引起的動(dòng)位移mEIl柔度法-基于體系的位移協(xié)調(diào)條件δ為彈簧柔度系數(shù)：?jiǎn)挝涣ψ饔孟庐a(chǎn)生的位移，它與彈簧剛度系數(shù)互為倒數(shù)。體系振動(dòng)任意時(shí)刻t的動(dòng)位移，是由慣性力作用引起yykmδ二、自由振動(dòng)微分方程的解yykm二階線性齊次常微分方程初始條件三、自由振動(dòng)解的分析自振周期自振圓頻率(自振頻率)初相位角振幅頻率單位時(shí)間內(nèi)的振動(dòng)次數(shù)2π個(gè)單位時(shí)間內(nèi)的振動(dòng)次數(shù)完成一次振動(dòng)循環(huán)所需時(shí)間四、自振頻率和自振周期計(jì)算（重點(diǎn)）1）T和ω只與結(jié)構(gòu)質(zhì)量和剛度有關(guān)，與外界干擾因素?zé)o關(guān)；2）T與質(zhì)量平方根成正比，與剛度平方根成反比，要改變結(jié)構(gòu)自振周期，只有從改變結(jié)構(gòu)質(zhì)量和剛度入手；3）T和ω是結(jié)構(gòu)動(dòng)力性能的一個(gè)重要數(shù)量標(biāo)志。

Δst表示在質(zhì)點(diǎn)上沿振動(dòng)方向施加數(shù)值為W的荷載時(shí)質(zhì)點(diǎn)沿振動(dòng)方向所產(chǎn)生的靜位移。自振周期和自振頻率計(jì)算舉例——例1l/2l/2mEI1l/4求δ，作單位荷載作用下彎矩圖，如圖示例2判斷下列結(jié)構(gòu)頻率大小關(guān)系，不計(jì)梁自重l/2l/2mEIl/2l/2mEIl/2l/2mEI定性判斷定量判斷1l/4一、強(qiáng)迫振動(dòng)的力學(xué)模型及運(yùn)動(dòng)方程mEIlFp(t)yykmm非齊次常系數(shù)微分方程求解時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)化微分方程10.3單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)1、簡(jiǎn)諧荷載作用常微分方程求解全部解=通解+特解F:荷載幅值,θ:荷載圓頻率yykm二、微分方程求解初始條件：穩(wěn)態(tài)反應(yīng)瞬態(tài)反應(yīng)穩(wěn)態(tài)反應(yīng)：按荷載頻率振動(dòng)的部分，起主要作用瞬態(tài)反應(yīng)：按自振頻率振動(dòng)的部分，在實(shí)際振動(dòng)中，由于阻尼存在，這部分將會(huì)逐漸消失。最大靜位移，是指把荷載幅值F當(dāng)做靜荷載作用時(shí)，結(jié)構(gòu)沿振動(dòng)方向產(chǎn)生的靜位移2、簡(jiǎn)諧荷載下穩(wěn)態(tài)階段的振動(dòng)解分析顯然，動(dòng)力系數(shù)是關(guān)于頻率比的函數(shù)，見(jiàn)下圖動(dòng)力系數(shù)曲線（圖）動(dòng)力系數(shù)的討論動(dòng)內(nèi)力幅值分析上述分析表明：簡(jiǎn)諧荷載作用下，在平穩(wěn)階段，體系的動(dòng)位移、動(dòng)內(nèi)力和慣性力與動(dòng)荷載同步，同時(shí)達(dá)到幅值。動(dòng)位移和動(dòng)內(nèi)力幅值（如彎矩和剪力）在動(dòng)荷載幅值作用下可以按靜力方法計(jì)算，再乘以動(dòng)力系數(shù)即可。

該結(jié)論只適用于單自由度體系！mEIlFp(t)Fp(t)x簡(jiǎn)諧振動(dòng)計(jì)算舉例例10-3l/2l/2mEI1l/4解：（1）求自振頻率已知：l=4m，I28b工字鋼，E=2.1×105MPa，電機(jī)G=35kN,轉(zhuǎn)速n=500r/min，離心力FP=10kN，豎向分量FPsinθt，求動(dòng)力系數(shù)、最大彎矩、最大正應(yīng)力和最大撓度。為避免單位弄錯(cuò)，建議都采用國(guó)際單位?。?）求荷載頻率l/2l/2mEI電機(jī)重量引起的靜撓度轉(zhuǎn)子偏心力引起的動(dòng)撓度平衡位置（3）求動(dòng)力系數(shù)（4）求最大彎矩（5）求最大正應(yīng)力（6）求最大撓度Fp(t)dτdS=Fpdττtt-τtFp(t)對(duì)于任意動(dòng)力荷載的反應(yīng)，整個(gè)加載過(guò)程相當(dāng)于一系列瞬時(shí)沖量所組成。在任意時(shí)間t結(jié)構(gòu)的反應(yīng)，等于t以前所有瞬時(shí)沖量作用下動(dòng)反應(yīng)之和。3、一般動(dòng)力荷載作用下的微分方程解上式也稱J.M.C.Duhamel（杜哈梅/杜哈美/杜哈曼）積分，給出的解是一個(gè)由動(dòng)力荷載引起的相應(yīng)于零初始條件的特解。如果初始條件不為零，則需要再疊加上由非零初始條件引起的自由振動(dòng)。杜哈梅積分的幾點(diǎn)說(shuō)明：1）杜哈梅積分法只適用于線彈性體系；2）若荷載Fp(t)是簡(jiǎn)單函數(shù)，積分相對(duì)簡(jiǎn)單，若Fp(t)是一個(gè)很復(fù)雜的函數(shù)，精確積分會(huì)遇到困難；3）杜哈梅積分法是一種直接積分法，其計(jì)算效率不高。因?yàn)閷?duì)于計(jì)算任一個(gè)時(shí)間點(diǎn)t的反應(yīng)，積分都要從0積到t，計(jì)算相當(dāng)耗時(shí)。這時(shí)可采用效率更高的數(shù)值解法，如逐步積分法。1）突加荷載Fp(t)Fp0t0幾種動(dòng)荷載的杜哈梅公式2）短時(shí)荷載Fp(t)Fp0t0u（短時(shí)荷載）動(dòng)力系數(shù)反應(yīng)譜1、阻尼定義：引起結(jié)構(gòu)能量的耗散，結(jié)構(gòu)振幅逐漸變小的一種作用。2、阻尼來(lái)源（物理機(jī)制）： 1）固體材料變形時(shí)的內(nèi)摩擦，或材料快速應(yīng)變引起的熱耗散； 2）結(jié)構(gòu)連接部位的摩擦，結(jié)構(gòu)構(gòu)件與非結(jié)構(gòu)構(gòu)件之間的摩擦； 3）結(jié)構(gòu)周圍外部介質(zhì)引起的阻尼。例如，空氣、流體等。

一、阻尼概述10.4阻尼對(duì)振動(dòng)的影響阻尼力對(duì)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)起阻礙作用，其方向總與質(zhì)點(diǎn)速度/位移方向相反，數(shù)值上，有以下幾種假設(shè)：1）粘滯阻尼：阻尼力大小與質(zhì)點(diǎn)速度成正比；2）摩擦阻尼：阻尼力大小與速度大小無(wú)關(guān)，一般為常數(shù)；3）滯變阻尼：阻尼力大小與位移成正比(相位與速度相同)；4）流體阻尼：阻尼力與質(zhì)點(diǎn)速度的平方成正比。

上述幾種阻尼力中，粘滯阻尼力的分析比較簡(jiǎn)單，表達(dá)式為：FD=-cv，其中c為阻尼系數(shù)

，它是反映了多種耗能因素綜合影響的系數(shù)，阻尼系數(shù)一般是通過(guò)結(jié)構(gòu)原型振動(dòng)試驗(yàn)的方法得到。3、阻尼（阻尼力）基本假設(shè)二、有阻尼體系力學(xué)模型和運(yùn)動(dòng)方程yy(t)kmcmkm三、有阻尼體系運(yùn)動(dòng)方程求解1、有阻尼的自由振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程標(biāo)準(zhǔn)常微分方程有阻尼自由振動(dòng)：結(jié)構(gòu)受到擾動(dòng)離開(kāi)平衡位置以后，受阻尼影響的振動(dòng)過(guò)程。運(yùn)動(dòng)方程（微分方程）解的形式解的討論（1）當(dāng)ξ>1，大阻尼，指數(shù)衰減，無(wú)振動(dòng)（2）當(dāng)ξ=1，臨界阻尼，指數(shù)衰減，無(wú)振動(dòng)（3）當(dāng)ξ<1，低阻尼，有振動(dòng)——重點(diǎn)（1）低阻尼解的形式初始條件低阻尼體系的自振頻率與自振周期1）自振頻率2）自振周期（1）阻尼使結(jié)構(gòu)自振頻率變小，自振周期變大；（2）現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)考慮阻尼作用，因而得到的是有阻尼的自振頻率和自振周期；在理論計(jì)算時(shí)，往往給出的是無(wú)阻尼的自振頻率和自振周期。（3）工程結(jié)構(gòu)阻尼比ζ在1%—5%之間，一般不超過(guò)20%，因此可以用有阻尼體系的結(jié)果代替無(wú)阻尼結(jié)果。方法一（基本原理）：任意兩個(gè)相鄰振動(dòng)峰值的比值運(yùn)動(dòng)衰減及阻尼比測(cè)量阻尼比很小時(shí)，自由振動(dòng)衰減較慢。為提高精度，采用相隔幾周的振動(dòng)峰值比來(lái)計(jì)算結(jié)構(gòu)阻尼比。設(shè)相隔n個(gè)周期（2）臨界阻尼-無(wú)振動(dòng)（3）大阻尼-無(wú)振動(dòng)算例:用自由振動(dòng)法研究一單層框架結(jié)構(gòu)的性質(zhì)，用一鋼索給結(jié)構(gòu)的屋面施加Fp=73kN的水平力，使框架結(jié)構(gòu)產(chǎn)生Δst=5.0cm的水平位移，突然切斷鋼索，讓結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)，經(jīng)過(guò)2.0s，結(jié)構(gòu)振動(dòng)完成了4周循環(huán)，振幅變?yōu)?.5cm。從以上數(shù)據(jù)計(jì)算：①阻尼比ξ；②無(wú)阻尼自振周期T；③等效剛度k；④等效質(zhì)量m。解：（1）阻尼比（3）等效剛度k（4）等效質(zhì)量m（2）自振周期2、有阻尼（低阻尼）的強(qiáng)迫振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程標(biāo)準(zhǔn)常微分方程運(yùn)動(dòng)方程解——杜哈曼積分公式瞬態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)Fp(t)Fp0t0（1）突加荷載兩種動(dòng)荷載作用下的杜哈曼積分ysty(t)0ωtπ2π3π4π5π通解特解運(yùn)動(dòng)方程：方程全解：（2）簡(jiǎn)諧荷載——重點(diǎn)初始條件：利用特解條件和初始條件確定各系數(shù)瞬態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)可得運(yùn)動(dòng)方程的全解為最大靜位移，是指把荷載幅值F當(dāng)做靜荷載作用時(shí)，結(jié)構(gòu)沿振動(dòng)方向產(chǎn)生的靜位移有阻尼體系的穩(wěn)態(tài)振動(dòng)穩(wěn)態(tài)振幅相位角動(dòng)力系數(shù)有阻尼動(dòng)力系數(shù)動(dòng)力系數(shù)分析動(dòng)力荷載作用下，阻尼體系動(dòng)反應(yīng)滯后動(dòng)力荷載的時(shí)間通過(guò)相位角α來(lái)反映。如果時(shí)間滯后t0，則相位角

α=θt0相位角分析動(dòng)荷載主要由恢復(fù)力來(lái)平衡同步（同相位）同步（同相位）動(dòng)荷載主要由阻尼力來(lái)平衡滯后π/2同步動(dòng)荷載主要由慣性力來(lái)平衡反相，滯后π算例分析重量G=35kN的發(fā)電機(jī)置于簡(jiǎn)支梁的中點(diǎn)上，梁長(zhǎng)4m，梁的慣性矩I=8.8×10-5m4,E=210GPa,發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)其離心力的垂直分力為Fpsinθt，且Fp=10kN，不計(jì)梁的自重。若阻尼比ξ=0.02，試求（1）發(fā)電機(jī)每分鐘的轉(zhuǎn)數(shù)為n=500r/min時(shí)，梁的最大彎矩和撓度。（2）共振時(shí)最大位移。解：1）求結(jié)構(gòu)自振頻率及荷載頻率2）有阻尼的動(dòng)力放大系數(shù)3）有阻尼的最大彎矩和最大撓度4）共振時(shí)最大撓度剛度法：基于體系平衡（瞬時(shí)平衡）條件，建立其微分方程。適用于剪切型剛架的運(yùn)動(dòng)方程。柔度法：基于體系位移協(xié)調(diào)條件，建立其微分方程。適用于梁和簡(jiǎn)單剛架的運(yùn)動(dòng)方程。l/3l/3mEIl/3m§10.4多自由度體系的自由振動(dòng)m1m2y2y1m1m2r2r1y1r2r1y21k12k221k11k21r1：使質(zhì)點(diǎn)單獨(dú)產(chǎn)生位移y1所施加的力；r2：使質(zhì)點(diǎn)單獨(dú)產(chǎn)生位移y2所施加的力。1、運(yùn)動(dòng)方程（一）剛度法——兩個(gè)自由度1k12k221k11k21k2k1k12:質(zhì)點(diǎn)2產(chǎn)生單位位移時(shí)（質(zhì)點(diǎn)1保持不動(dòng)），在質(zhì)點(diǎn)1上所需施加的力第二下標(biāo)：引起力的原因第一下標(biāo)：引起力的方向2、自由振動(dòng)方程解及其分析構(gòu)造解的兩個(gè)特點(diǎn)：1）振動(dòng)中，兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)具有相同的頻率ω和相位角α，只是位移幅值不同；2）振動(dòng)中，兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)位移在數(shù)值上隨時(shí)間變化，但二者的比值保持不變振型方程顯然，ω1和ω2與引起振動(dòng)的原因無(wú)關(guān)，僅取決于體系的質(zhì)量分布和剛度分布，是體系固有的，所以常稱他們?yōu)轶w系的固有圓頻率或特征圓頻率。頻率方程/特征方程3、振型（主振型，固有振型）顯然，振型也與引起振動(dòng)的原因無(wú)關(guān)，僅取決于體系的質(zhì)量分布和剛度分布，也是體系固有的，故又稱固有振型。k2k1P1=P2=04、算例計(jì)算ki層間側(cè)移剛度：層間產(chǎn)生單位相對(duì)側(cè)移時(shí)所需施加的力kij:質(zhì)點(diǎn)j產(chǎn)生單位位移時(shí)（質(zhì)點(diǎn)i保持不動(dòng)），在質(zhì)點(diǎn)i上所需施加的力層間側(cè)移剛度mEIlEIl對(duì)于帶剛性橫梁的剛架(剪切型剛架),當(dāng)兩層之間發(fā)生相對(duì)單位水平位移時(shí),兩層之間的所有柱子中的剪力之和稱作該層的層間側(cè)移剛度。mEIlFp(t)1EIllEIEIEI層間側(cè)移剛度EIEI1EIhlEIEIEIEIEI解：1）求固有頻率和固有振型m1m22）假設(shè)m1=m2=m，k1=k2=km1m23）假設(shè)m1=nm2,k1=nk2該算例表明，頂部質(zhì)量和剛度突然變小，導(dǎo)致頂部位移反應(yīng)過(guò)大。振動(dòng)中這種引起巨大反響的現(xiàn)象，稱為鞭梢效應(yīng)。女兒墻，小閣樓開(kāi)裂破壞問(wèn)題。（一）剛度法——多自由度體系m1mnmim1mnmim1mnyny1miyi1niy1yiynm1mnmi1、運(yùn)動(dòng)方程以矩陣形式表示剛度矩陣K為對(duì)稱方陣，質(zhì)量矩陣M為對(duì)角矩陣2、運(yùn)動(dòng)方程的解及其分析將行列式展開(kāi)，可得到一個(gè)關(guān)于頻率參數(shù)ω2的n次代數(shù)方程（n是體系自由度的次數(shù)），求該方程可得到n個(gè)根：ω12，ω22，…，ωn2，即可得出體系的n個(gè)自振頻率：ω1，ω2

，…，ωn

。把全部自振頻率由小到大排列而成的向量稱為頻率向量，其中最小的頻率稱為基本頻率或第一頻率，其他頻率依次稱為第二，…，第n頻率。主振型顯然，主振型向量Y與頻率ω有關(guān)。令Y(i)表示與頻率ωi

相應(yīng)的主振型向量，Y(i)=[Y1i,Y2i,…,Yni]T,代入振型方程，可得令i=1,2，……，n，可得到n個(gè)向量方程，由此可求出n個(gè)主振型向量

Y(1)，Y(2)，…,Y(n)，對(duì)于每一個(gè)主振型向量Y(i)可由代數(shù)方程組直接求出，其中Y1i,Y2i,…,Yni為未知數(shù)。上述代數(shù)方程組為齊次方程，如果Y1i,Y2i,…,Yni為方程組的解，則CY1i,CY2i,…,CYni也是方程組的解。即主振型Y(i)的形狀可以唯一確定，但不能唯一的確定它的振幅。為了使主振型Y(i)的振幅有確定值，需要另外補(bǔ)充條件——標(biāo)準(zhǔn)化主振型。作法有：1）特定坐標(biāo)的歸一化方法。

做法一：令振型向量中的第一元素為1。

做法二：令振型向量中的最大元素為1。

2）正交歸一化。Y(i)TMY(i)=11、運(yùn)動(dòng)方程（二）柔度法—兩個(gè)自由度體系m1m2y2y1m1m2y21y11m1m2y22y12m1m2y2y1m1m2δ21δ11m1m2δ22δ122、自由振動(dòng)方程解代入得消元頻率方程/特征方程要使線性方程組有解，要求系數(shù)行列式=0振型方程頻率方程（特征值方程）展開(kāi)并求解自振頻率振型3、柔度法算例l/3l/3mEIl/3m2l/912l/91解：先求柔度系數(shù)主振型mm11mm-11第一主振型第二主振型第一主振型為正對(duì)稱第二主振型為反對(duì)稱習(xí)題10-20l/2mEIm解：1）求柔度系數(shù)l/2l/2l/2超靜定結(jié)構(gòu)，采用力矩分配法11/21/23l/16-3l/32-3l/3203l/32-3l/32013l/3213l/6413l/3213l/6413l/3213l/6413l/3213l/641l/41l/4（二）柔度法——多自由度體系m1mnynny1nmiyinm1mnyny1miyim1mnyn1y11miyi1m1mnyniy1imiyii1、運(yùn)動(dòng)方程整理為或簡(jiǎn)寫(xiě)為柔度矩陣δ為對(duì)稱方陣，質(zhì)量矩陣M為對(duì)角矩陣2、運(yùn)動(dòng)方程的解及其分析行列式展開(kāi)得到一個(gè)關(guān)于頻率參數(shù)1/ω2的n次代數(shù)方程，求該方程可得到n個(gè)自振頻率：ω1，ω2

，…，ωn

。非零解的條件主振型令Y(i)表示與頻率ωi

相應(yīng)的主振型向量，Y(i)=[Y1i,Y2i,…,Yni]T，代入振型方程可得主振型向量令i=1，2，……，n，可得到n個(gè)向量方程，由此可求出n個(gè)主振型向量

Y(1)，Y(2)，…,Y(n)。一、主振型的正交性1、兩個(gè)自由度體系mmmm§10.5主振型正交性第一正交關(guān)系第二正交關(guān)系設(shè)ωl和ωk為兩個(gè)不同的自振頻率，相應(yīng)的主振型向量分別為2、n個(gè)自由度體系二、主振型矩陣

n個(gè)多自由度體系n個(gè)自振頻率對(duì)應(yīng)的振型（或主振型）向量Y(i)=[Y1i,Y2i,…,Yni]T（i=1,2,……,n）。將n個(gè)振型向量組成矩陣，則該矩陣稱為主振型矩陣。顯然，主振型矩陣為一個(gè)方陣，它的轉(zhuǎn)置矩陣為三、廣義剛度和廣義質(zhì)量定義廣義質(zhì)量矩陣廣義剛度矩陣四、正交性的應(yīng)用1）利用正交關(guān)系來(lái)判斷主振型的形狀特點(diǎn)對(duì)剪切模型，振型特點(diǎn)為：一階振型不變符號(hào)，二階振型變一次符號(hào)，三階振型變二次符號(hào)。推而廣之，對(duì)應(yīng)ωj的第j階振型向量的各元素有（j-1）次變號(hào)，即振型曲線有（j-1）個(gè)節(jié)點(diǎn)（原點(diǎn)除外?。??！n本三個(gè)自由度例題2）利用正交關(guān)系來(lái)確定位移展開(kāi)公式中的系數(shù)在多自