凹凸函數(shù)之切線放縮

凹凸函數(shù)之切線放縮很多不等式的證明都涉及放縮法、構(gòu)造法、拆分、引入增量，記得前不久看到泰勒展開，談到超越函數(shù)(不等式)可以近似成多項(xiàng)式函數(shù)(不等式)，其中就有一個特例，將超越函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義(切線)進(jìn)行放縮，即變成g(x)三kx+b,或g(x)Wkx+b(等號成立的條件恰好是切點(diǎn)時滿足)。這里特例舉幾個題目來談?wù)勊膽?yīng)用吧。例1 [0,3],已知數(shù)列｛%｝滿足。＜4W3,壽eN*,且滿足q+a, 1-%oio=670,貝！]/(&)+/(4)+…+/(。2010)( )A.最大值6030B...最大值6027C有最小值6027. D.有最小值6030解析:A」，/(1)=3,當(dāng)/=a=…=ay="j 。 lu_lu3時，/(%)+/(%)+…+/(%。]。)=60303+蒐對于函數(shù)〃、尸=(°?！?)，1 9 1k=r(―)=-一，在x=-處的切線方程為即3 16 33y=——(ll-x),10"含"Qi-M則上十工212=(l3)(x——)2<0所以當(dāng)時，有3了(%)?記(11-3%)/(q)+./(4)+…+/(^2ow)g——[11x2010—3(%+a?+,?*+々(no)]=6030例2、已知函數(shù)/(x)二―"G>0).1+依(1)求了⑶)在。,2］上的最大值；(2)若直線y=-x+2a為曲線y=/(x)的切線求實(shí)數(shù)。的值;：(3)當(dāng)a=2時，設(shè)玉，修，…，演46；，2，且.玉+々+…+%=14,若不等式八叫)+/'(々)+**七/'(孫)巨丸恒成立】求實(shí)數(shù)反的最小值.解析：（1）9[1?(1+ax2)—x*2ca]9(1—ax')(1+ax)2 (1+axy令八尢）=0,解得計土上工（負(fù)值舍去），由a—<---<2,解得—<6/<4,（i）當(dāng)。<=三J時，由得4 2/GR0,.?./（%）在［；,2］上的最大值為八2)=八2)=184。+1(ii)當(dāng)。24時，由,得/'(刈工0,TOC\o"1-5"\h\z1 1 1Q「"⑴在匕2］上的最大值為/(：)二一2 2 0+4(iii)當(dāng)一<a<4時，*.*在一<芯<-—時,4 2af\x)>0,在正<x<2時，/V)<0,a/.〃工)在/.〃工)在［；,2］上的最大值為1(烏=地.a2a(2)設(shè)切點(diǎn)為("(f))，則靠二匕由%)=T,有B=T,化簡得azt4—lat2,4-10=0,即.產(chǎn)=2或勿2=5,1-①由/W=T+2*有m^=2aT,…②由①、②解得a=2或a=--—.(3)當(dāng)a=2時，/0)=]+2/,由(2)的結(jié)論直線y=4一%為曲線歹=f(x)的切線，???/(2)=2,.?.點(diǎn)(2,/(2))在直線y=4—%上根據(jù)圖像分析，曲線,=/(%)在線歹=4-%下方.下面給出證明：當(dāng)不可，2]時，f(x)<4-x.9x 2x-8x2+：//W-(4-x)=——+= ——l+2x l+2x_2(.x-l)\x-2)― 1+2, 5當(dāng)工￡[g,2]時，/(x)-(4-x)<0,即/(x)二4—x.■/(不)+./(蒼)+~+/(演4)W4*14_(玉+%+.?\*Xy+x2+….+/]=14,.?/&)+/&)+…+/(/)456-14=42.，要使不等式/(&)+/(%)+…+fM&.2恒成立，必須為242,又；當(dāng)$"=…=%4=1時，滿足條件為十用十?,=+年4=141且/&)+/(%2)+…+/(演4)=42,因此，2的最小值為42.例3、若%>0,(1=1,2,3),且火七二1,貝Uf=111111V 27l+Ml+x221+X.，：i、10

g(x)在R上連續(xù),故g(x)白在廠爭g(x)在R上連續(xù),故g(x)白在廠爭――］上是上凸的，在區(qū)間(-8,證明：設(shè)g“尸37,則短僅尸由g''(x)<o得———<x<——,g"(x)>0得x1 27,八、1 27,八、 :-w—(2-X2)，1+x? 503+：g）上是下凸的口由則平衡值1=1xo=由導(dǎo)數(shù)知識易求得g(x)二12在x=§處的切線為y="^(2-x)，因x()=—￡[-@6].一 1在「6 1—3—1g(x)= ^在[--,—\3 3 1+x23 3上是上凸的，故g(x)=J2w(2-x)恒成27w-?l2-xi),5010

1 27 1 27 w——1+鼻 50(2-X3),三式相加并結(jié)合三工=1即得表+占527即得表+占527w一10若將該題條件改為,若、＞0,(，=123),且士茗=3時，解法同壬里。1=1此時平衡值x0=1,而g(x)=12在x=1處的切線為y=-gx+1,因xo=1E(?，+8),g(x)=1 ^在(工，+g)上是下凸的，故g(x)二TOC\o"1-5"\h\z1+x^ 33 1 1加并結(jié)合=3即得——--H——￡ 1+』i+x?1 3——2-Q即得一個新的不等式：若為〉1+k2*,i=1,2,3,且t>=3,貝U/二+丁二+3 M1+可21+/21 3 2三一1+/2 2所以，在證明一類多元不等式時，我們經(jīng)常用到的一個辦法就是假設(shè)這些變元的和為1o12

例4、若實(shí)數(shù)dAJ證明;abc、3 1 1 ?-cb+ca+ca+b2提示：不妨設(shè)a+b+c=1,則平衡點(diǎn)是x=-o3fa)>9x-l4練習(xí)1：若花”z非負(fù)，目/+fa)>9x-l4練習(xí)1：若花”z非負(fù)，目/+必+z2<2+l+z2明：m^X提示：平衡點(diǎn)是％=——Of(x)=—在3 1+x2TOC\o"1-5"\h\zJ3,,(4i 1 6.*=4的切線,=5欠+五'有f(x)<—x+2 12練習(xí)4：已知%分為正實(shí)數(shù)，且a+A=2,求證：1 11 1 1In1—Fli1t—I—+In-N2aabb提示：記/(%