第四章流體動力學(xué)

第四章流體動力學(xué)第一節(jié)理想流體運(yùn)動微分方程第二節(jié)實(shí)際流體總流的伯努利方程第三節(jié)泵對液流能量的增加第四節(jié)動量方程及其應(yīng)用§4-1

理想流體運(yùn)動微分方程一、歐拉運(yùn)動方程根據(jù)牛頓第二定律，得出理想流體運(yùn)動微分方程：適用范圍：穩(wěn)定流或不穩(wěn)定流，可壓縮流或不可壓縮流體若加速度等于0，則上式就可轉(zhuǎn)化為歐拉平衡微分方程：二、理想流體的伯努利方程將歐拉運(yùn)動方程分別與dx,dy,dz相乘，經(jīng)過變形，并假定作用在流體上的質(zhì)量力只有重力且流體不可壓縮時(shí)，得出理想流體的伯努利方程：（4-5）式中c為常數(shù)，不同的流線取不同的值。（4-6）同一條流線上的不同兩點(diǎn)，伯努利方程寫為：（4-5）適用條件：理想不可壓縮流體，質(zhì)量力只有重力符號說明：單位重量流體的位能（比位能）位置水頭單位重量流體的壓能（比壓能）壓強(qiáng)水頭單位重量流體的動能（比動能）流速水頭單位重量流體總勢能（比勢能）測壓管水頭總比能總水頭物理意義幾何意義三、伯努利方程式的意義0012位置水頭壓強(qiáng)水頭流速水頭測壓管水頭總水頭單位位能單位壓能單位動能單位勢能單位總機(jī)械能幾何意義：沿流線的總水頭為常數(shù)。物理意義：沿流線的總比能為常數(shù)。二、恒定總流的能量方程三、水頭線四、能量方程的擴(kuò)展五、能量方程的應(yīng)用§4-2

實(shí)際流體總流的伯努利方程

一、實(shí)際流體恒定元流的能量方程式

一、實(shí)際流體恒定元流的能量方程式——單位重量流體從斷面1-1流至斷面2-2所損失的能量，稱為水頭損失。0012二、恒定總流的能量方程將構(gòu)成總流的所有微小流束的能量方程式疊加起來，即為總流的能量方程式。在上述元流能量方程的兩端同時(shí)乘以，可得單位時(shí)間內(nèi)流過元流兩有效斷面的總重量流體的能量關(guān)系式：在總流過水?dāng)嗝嫔戏e分可得恒定總流能量方程：均勻流或漸變流過水?dāng)嗝嫔蟿幽苄拚禂?shù),1.05~1.1取平均的hwV→u，符號說明式中：總流能量方程在推導(dǎo)過程中的限制條件（1）穩(wěn)定流；（2）不可壓縮流體；（3）質(zhì)量力只有重力；（4）所選取的兩有效斷面必須是漸變流斷面，但兩有效斷面間可以是急變流；（5）總流的流量沿程不變；（6）兩有效斷面間除了水頭損失以外，總流沒有能量的輸入或輸出。（7）式中各項(xiàng)均為單位重量流體的能量，對流體總重的能量方程應(yīng)各項(xiàng)乘以

能量方程的解題步驟1選擇基準(zhǔn)面基準(zhǔn)面可任意選定，但應(yīng)以簡化計(jì)算為原則。例如選有效斷面形心或選自由面等。2選擇計(jì)算斷面計(jì)算斷面應(yīng)選擇均勻流斷面或漸變流斷面，并且應(yīng)選取已知量多的斷面。3選擇計(jì)算點(diǎn)：管流通常選在管軸上，明渠流通常選在自由液面。對同一個(gè)方程，必須采用相同的壓強(qiáng)標(biāo)準(zhǔn)。4列能量方程解題：注意與連續(xù)性方程的聯(lián)合使用。例1：如圖所示的虹吸管泄水，已知斷面1，2及2，3的損失分別為和試求斷面2的平均壓強(qiáng)。解：取0-0，列斷面1，2的能量方程取列斷面1，3的能量方程解得：由連續(xù)方程得：代入式(a)得：

可見虹吸管頂部，相對壓強(qiáng)為負(fù)值，即出現(xiàn)真空。為使之不產(chǎn)生空化，應(yīng)控制虹吸管頂高（即吸出高）防止形成過大真空。例2：水深1.5m、水平截面積為3mx3m的水箱，箱底接一直徑為200mm，長為2m的豎直管，在水箱進(jìn)水量等于出水量情況下作恒定出流，略去水頭損失，試求點(diǎn)2的壓強(qiáng)。解：根據(jù)題意和圖示，水流為恒定流；水箱表面，管子出口、管中點(diǎn)2所在斷面，都是漸變流斷面；水流不可壓縮，只受重力作用。符合總流能量方程應(yīng)用條件。取漸變流斷面1-1、2-2和3-3斷面為控制斷面。因?yàn)?-1斷面為水箱水面，較豎直管大得多，故流速水頭將基準(zhǔn)面O-O取在管子出口斷面3-3上，寫出斷面1-1和斷面3-3的總流能量方程：采用相對壓強(qiáng)將已知數(shù)據(jù)代入上式，即得由連續(xù)方程，知取，寫出斷面1-1和斷面2-2的總流能量方程：將已知數(shù)據(jù)代入上式可得：所以：上式說明點(diǎn)2壓強(qiáng)小于大氣壓強(qiáng)，其真空壓強(qiáng)為1m水柱，或絕對壓強(qiáng)相當(dāng)于10-1=9m水柱。例3：某一水庫的溢流壩，如圖所示。已知壩下游河床高程為105.0m，當(dāng)水庫水位為120.0m時(shí)，壩址處有效斷面C處的水深設(shè)溢流壩的水頭損失求壩址處斷面的平均流速。解：由于溢流壩面水流為急變流，所以在距壩前一段距離處，取漸變流斷面1-1和壩下游水流較平直的C處取斷面2-2。由于水庫的有效斷面面積大，流速水頭水庫水位和下游河床高程都為已知，基準(zhǔn)面O-O取在下游河床底部。取，寫出總流能量方程因?yàn)闈u變流斷面上各點(diǎn)的單位勢能等于常數(shù)。可選斷面上任一點(diǎn)求得其z和p值。為了計(jì)算方便，可選水面上一點(diǎn)，故可用相對壓強(qiáng)計(jì)算，該點(diǎn)動水壓強(qiáng)為零，即由圖可知將以上已知數(shù)據(jù)代入總流量方程，得解得壩址處的流速1、拿兩張薄紙，平行提在手中，當(dāng)用嘴順紙間縫隙吹氣時(shí)，問薄紙是不動、靠攏、還是張開？為什么？靠攏；流速增大、壓強(qiáng)降低2、總流能量與元流能量方程有什么不同點(diǎn)？（1）以斷面的平均流速v代替元流中的點(diǎn)流速u；（2）以平均水頭損失hw代替元流的水頭損失；（3）各項(xiàng)反映的是整股水流的能量代替某一元流的能量。三、水頭線水頭線：沿程水頭（如總水頭或測壓管水頭）的變化曲線?？偹^線是對應(yīng)的變化曲線，它代表水頭損失沿流程的分布情況。測壓管水頭線是對應(yīng)的變化曲線，它代表壓強(qiáng)沿流程的變化狀況情況。水力坡度：指單位長流程的平均水頭損失，即測壓管水頭線坡度：單位長流程上的測壓管水頭線降落，用測壓管測量。注意：1理想流動流體的總水頭線為水平線；2實(shí)際流動流體的總水頭線恒為下降曲線；3測壓管水頭線可升、可降、可水平。4若是均勻流，則總水頭線平行于測壓管水頭線，即5總水頭線和測壓管水頭線之間的距離為相應(yīng)段的流速水頭。錄像錄像動畫動畫

為了形象地反映總流中各種能量的變化規(guī)律，可將能量方程用圖形表示。

縱坐標(biāo)

長度（方程各項(xiàng)都具有長度因次），鉛垂方向橫坐標(biāo)

流程坐標(biāo)，管道：軸線；明渠：渠道底，并都將建筑物（管道、明渠）輪廓一并畫出。代表點(diǎn)

有效斷面上，各點(diǎn)位置水頭、壓強(qiáng)水頭不同，所以，要在有效斷面選取代表點(diǎn)。管道：管中心明渠：自由表面。水頭線的繪制0012z1hw12z2zp1γp2γα1v122gα2v222g測壓管水頭線總水頭線pγαv22g0012z1hw12z2zp1γp2γα1v122gα2v222g測壓管水頭線總水頭線pγαv22g0012z1hw12z2zp1γp2γα1v122gα2v222g測壓管水頭線總水頭線pγαv22gv21212水面＝測壓管水頭線v1α1v122gα2v222gz1z2hw總水頭線v21212水面＝測壓管水頭線v1α1v122gα2v222gz1z2hw總水頭線v21212水面＝測壓管水頭線v1α1v122gα2v222gz1z2hw總水頭線11s22334455ipi/γv0hwiH0

總水頭線測壓管水頭線v022gH11s22334455ipi/γv0hwiH0

總水頭線測壓管水頭線v022gH定性繪出下列管道的測壓管水頭線和總水頭線（a）（b）（c）（d）水頭線的應(yīng)用預(yù)測管線真空范圍；確定管線最高布置位置。虹吸管的水頭線與真空區(qū)不同固體邊界下的水頭線注：出口為自由出流時(shí)，P-P線末端應(yīng)落在出口斷面的管軸線處。不同出口流速時(shí)的水頭線下游水池流速為零下游水池流速不為零即管道出口處的測壓管水頭線、總水頭線與下游水位持平。即管道出口處的總水頭線高于下游水位1、設(shè)有一水平壓力管流，當(dāng)不考慮水頭損失的影響時(shí)，其測壓管水頭線沿程下降、上升或水平的條件各是怎么樣的？下降：壓強(qiáng)沿程減小。例：收縮管水平：壓強(qiáng)沿程不變。例：管徑沿程不變上升：壓強(qiáng)沿程增大。例：擴(kuò)散管2、什么是水頭線?總水頭線與測壓管水頭線有何區(qū)別？水頭線：沿程水頭（如總水頭或測壓管水頭）的變化曲線?？偹^線是對應(yīng)的變化曲線，它代表水頭損失沿流程的分布情況。測壓管水頭線是對應(yīng)的變化曲線，它代表壓強(qiáng)沿流程的變化狀況情況。四、能量方程的擴(kuò)展1、分叉恒定流2、能量的輸入與輸出在同一流動中，若另有機(jī)械能輸入（如泵或風(fēng)機(jī)），則能量方程形式為：式中：輸入液體的比能泵的輸入功率（軸功率），單位：N.m泵在單位時(shí)間內(nèi)對液流所做的功（或加給液流的能量）。泵的效率。泵的有效功率與泵的輸入功率的比值。泵的揚(yáng)程：泵使單位重量液體增加的能量。五、能量方程的應(yīng)用1、畢托管測速

當(dāng)水流受到迎面物體的阻礙，被迫向兩邊（或四周）分流時(shí)，在物體表面上受水流頂沖的A點(diǎn)流速等于零，稱為滯止點(diǎn)（駐點(diǎn)）。在滯止點(diǎn)處水流的動能全部轉(zhuǎn)化為壓能。畢托管就是利用這個(gè)原理制成的一種測量流速的儀器。對C、A兩點(diǎn)列沿流線的伯努利方程有：測速管與測壓管的液面差2、文丘里流量計(jì)

為確定管道的流量，常用如圖所示的文丘里流量計(jì)測量。它由漸變管和壓差計(jì)兩部分組成。壓差計(jì)中的工作液體與被測液體或相同（a），或不同，測量大壓差常用水銀。設(shè)已知管流為水，管徑d1、d2及壓差計(jì)的水頭差，試求流量解：因可由總流能量方程確定如下：取管軸線O-O為基準(zhǔn)面，測壓管所在斷面1、2為計(jì)算斷面（符合漸變流），斷面的行心點(diǎn)為計(jì)算點(diǎn)，對斷面1、2寫能量方程，損失很小，可視取由此得：故可解得：因此：實(shí)際流量：對水銀壓差計(jì)有：§4-4動量方程及其應(yīng)用動量定理：質(zhì)點(diǎn)系的動量對時(shí)間的變化率等于作用于該質(zhì)點(diǎn)系的所有外力之矢量和，即如圖從恒定總流中任取一束元流作為控制體，dt時(shí)間內(nèi)，流體從1-2處流至，dt時(shí)間內(nèi)元流的動量變化（恒定流）為由動量定理得：不可壓縮流體恒定元流動量方程不可壓縮流體，有且不可壓縮流體恒定總流動量方程上式為穩(wěn)定流總流動量方程。它是矢量方程，實(shí)際上常用三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影式表示，即（4-22）（4-23）式中：——作用于控制體內(nèi)流體的所有外力矢量和。該外力包括：（1）作用在該控制體內(nèi)所有流體質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量力；（2）作用在控制面上的所有表面力（動水壓力、切力）；（3）四周邊界對水流的總作用力。適用范圍：（1）理想流體、實(shí)際流體的不可壓縮穩(wěn)定流。（2）選擇的兩個(gè)有效斷面應(yīng)是漸變流斷面，而過程可以不是漸變流。（3）質(zhì)量力只有重力。（4）沿程流量不發(fā)生變化；若流量變化，則方程為：流出流入如圖所示的一分叉管路，動量方程式應(yīng)為：v3112233ρQ3ρQ1ρQ2v1v2動量方程是一個(gè)矢量方程，經(jīng)常使用投影式。注意外力、速度的方向問題，它們與坐標(biāo)方向一致時(shí)為正，反之為負(fù)。在考慮外力時(shí)注意控制體外的流體通過進(jìn)口斷面和出口斷面對控制體內(nèi)流體的作用力。外力中包含了壁面對流體作用力R，而求解問題中往往需要確定流體作用在壁面上的力，這兩個(gè)力按牛頓第三定理。動量修正系數(shù)在計(jì)算要求精度不高時(shí)，常取1。應(yīng)用動量方程解題時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：動量方程的解題步驟1選脫離體根據(jù)問題要求，將所研究的兩個(gè)漸變流斷面之間的水體取為脫離體；2選坐標(biāo)系選定坐標(biāo)軸的方向，確定各作用力及流速的投影的大小和方向；3作計(jì)算簡圖分析脫離體受力情況，并在脫離體上標(biāo)出全部作用力方向；4列動量方程解題將各作用力及流速在坐標(biāo)軸上的投影代入動量方程求解。計(jì)算壓力時(shí)，壓強(qiáng)采用相對壓強(qiáng)計(jì)算。注意與能量方程及連續(xù)性方程的聯(lián)合使用。動量方程式在工程中的應(yīng)用彎管內(nèi)水流對管壁的作用力水流對建筑物的作用力射流對平面壁的沖擊力彎管內(nèi)水流對管壁的作用力管軸水平放置管軸豎直放置1122P1=p1A1P2=p2A·2RGxzyV1V2RzRx沿x方向列動量方程為：沿z方向列動量方程為：1管軸豎直放置沿x方向列動量方程為：沿y方向列動量方程為：P1=p1A1P2=p2A·2RV1V2RyRxxy2管軸水平放置例一變徑彎管，軸線位于同一水平面，轉(zhuǎn)角，直徑由dA＝200mm變?yōu)閐B＝150mm，在流量時(shí)，壓強(qiáng)，求流對AB段彎管的作用力。不計(jì)彎管段的水頭損失。解：求解流體與邊界的作用力問題，一般需要聯(lián)合使用連續(xù)性方程，能量方程和動量方程。例題附圖水流對建筑物的作用力FP1122xFP1=ρgbh12/2FP2=ρgbh22/2FR沿x方向列動量方程為：例一水平放置的噴嘴將一水流射至正前方一光滑壁面后，將水流分為兩股，如圖所示。已知，水頭損失不計(jì)，求水流對光滑壁面的作用力解：1取控制面：在楔體前后取漸變流斷面1與斷面2，3之間的水體為脫離體，作用于脫離體上的力有：（1）斷面1，2，3及脫離體表面上的動水壓力P1,P2,P3及P均等于零（作用在大氣中）（2）重力G，鉛垂向下（3）楔體對水流的反力R，待求。2取坐標(biāo)，列動量方程：3令。列能量方程：代入（1）可得：水流對壁面的作用力，大小相等，方向相反射流對平面壁的沖擊力FPV000VV1122FRV0VVx沿x方向列動量方程為：整理得：前進(jìn)例1：設(shè)有一股自噴嘴以速度v0噴射出來的水流，沖擊在一個(gè)與水流方向成α角的固定平面壁上，當(dāng)水流沖擊到平面壁后，分成兩面股水流流出沖擊區(qū)，若不計(jì)重量（流動在一個(gè)水平面上），并忽略水流沿平面壁流動時(shí)的摩擦阻力，試推求射流施加于平面壁上的壓力FP，并求出Q1和Q2各為多少？FP001122V0V2Q2V1Q1Qα001122V0V2Q2V1Q1QFRxy沿y方向列動量方程為：對0-0、1-1斷面列能量方程為：可得：同理有：依據(jù)連續(xù)性方程有：FP001122V0V2Q2V1Q1Qα001122V0V2Q2V1Q1QFRxy沿x方向列動量方程為：整理得：所以：例2如圖所示有一高度為50mm，速度v為18m/s的單寬射流水股，沖擊在邊長為1.2m的光滑平板上，射流沿平板表面分成兩股。已知板與水流方向的夾角為30度，平板末端為鉸點(diǎn)。若忽略水流、空氣和平板的摩阻，且流動在同一水平面上，求：（1）流量分配Q1和Q2；（2）設(shè)射流沖擊點(diǎn)位于平板形心，若平板自重可忽略，A端應(yīng)施加多大的垂直力P，才能保持平板的平衡；解：1.選0-0、1-1、2-2斷面間水體為控制體，如圖所示取x，y直角坐標(biāo)。設(shè)平板作用在水股上的力為R（在y方向，因忽略摩阻，故無平板切力）沿y軸方向?qū)憚恿糠匠蹋簩?-0、1-1斷面的能量方程（沿流線）：同理：由連續(xù)性方程：由（1）、（2）（2）沿x軸方向?qū)憚恿糠匠蹋核畬ζ桨逶赬方向的沖擊力為8100N，方向與R的方向相反，現(xiàn)對B點(diǎn)取矩：即：例3圖為一滾水壩，上游水位因壩的阻擋而抬高，測得斷面1-1的水深為1.5m，下游斷面2-2水深為0.6m。略去水頭損失，求水流對1m壩寬（垂直紙面方向）的水平作用力F。解：在壩前一段距離處，取漸變流斷面1-1；在壩下游水流較平直處，取斷面2-2。以斷面1-2之間的液體作為隔離體。寫出總流動量方程利用連續(xù)方程取寬度為1m，得代入總流能量方程以壩基底面為基準(zhǔn)面寫出總流能量方程得1m壩寬的單寬流量作用在斷面1-1上的水壓力得則水流對1m壩寬的作用力作用在斷面2-2上的水壓力帶入動量方程：1、在應(yīng)用恒定流總流動量方程時(shí)，為什么不必考慮水頭損失？實(shí)際上已考慮了水頭損失。因?yàn)樵趧恿糠匠讨械耐饬，包含切力，而切應(yīng)力與水頭損失直接相關(guān)。2、由動量方程求得的力若為負(fù)值時(shí)說明什么問題？待求未知力的大小與脫離體的大小有無關(guān)系？應(yīng)用中如何選取脫離體？方向反；無關(guān)；計(jì)算斷面和固體壁面3、“漸變流斷面上各點(diǎn)的測壓管高度等于常數(shù)”，此說法對否？為什么？不對，測壓管水頭，由于z不同，所以測壓管高度一、恒定總流能量方程1能量方程本章小結(jié)各項(xiàng)物理意義和幾何意義（1）恒定流；（2）不可壓縮流體；（3）質(zhì)量力只有重力；（4）所選取的兩過水?dāng)嗝姹仨毷菨u變流斷面，但兩過水?dāng)嗝骈g可以是急變流；（5）總流的流量沿程不變；（6）兩過水?dāng)嗝骈g除了水頭損失以外，總流沒有能量的輸入或輸出。（7）式中各項(xiàng)均為單位重量液體的能量，對液體總重的能量方程應(yīng)各項(xiàng)乘以

2能量方程的應(yīng)用條件3應(yīng)用能量方程時(shí)的注意事項(xiàng)（1