人工智能第四章2014

第四章可分解產(chǎn)生式系統(tǒng)的搜索策略學(xué)習(xí)目標(biāo)：

了解一般的與/或圖搜索問題，掌握與/或圖的啟發(fā)式搜索算法AO*。了解博弈樹搜索問題，掌握博弈樹搜索中的極小極大方法和α-β剪枝搜索方法。重點(diǎn)：

AO*算法，α-β剪枝算法。

2/2/20231第二章可分解產(chǎn)生式系統(tǒng)中提到的與/或樹表示，其中加到每一個(gè)節(jié)點(diǎn)上AND或OR的標(biāo)記是取決于該節(jié)點(diǎn)對(duì)其父節(jié)點(diǎn)的關(guān)系。如復(fù)合狀態(tài)分解后擁有一組“與”關(guān)系的后繼節(jié)點(diǎn)；而分量狀態(tài)經(jīng)可應(yīng)用規(guī)則作用后，生成一組“或”關(guān)系的后繼節(jié)點(diǎn)。與/或樹是本章介紹的與/或圖的特例。在一般與/或圖中，一個(gè)節(jié)點(diǎn)可能是復(fù)合狀態(tài)的組成部分，而同時(shí)又是一個(gè)規(guī)則應(yīng)用的結(jié)果，很難說明它是與后繼還是或后繼．因此，不再區(qū)別AND節(jié)點(diǎn)或OR節(jié)點(diǎn)．但在稱謂上沿用習(xí)慣，仍把這種結(jié)構(gòu)稱作與/或圖。

4.1與/或圖搜索2/2/20232

例.一個(gè)與/或圖2/2/20233與/或圖搜索

定義：與/或圖是一種超圖．在超圖中父親節(jié)點(diǎn)和一組后繼節(jié)點(diǎn)用超弧連接．超弧又叫k-連接符．

k-連接符:一個(gè)父節(jié)點(diǎn)指向一組k個(gè)有與關(guān)系的后繼節(jié)點(diǎn)，這樣一組弧線稱為一個(gè)k-連接符．k>1時(shí)，用一圓弧標(biāo)記此連接符。Note:若所有的連接符都是1-連接符，則得到的就是與/或圖的特例--普通有向圖。2/2/20234與/或圖搜索與/或樹:每一個(gè)節(jié)點(diǎn)最多只有一個(gè)父親的與/或圖．根節(jié)點(diǎn):在AND/OR樹或AND/OR圖中沒有父節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn).葉節(jié)點(diǎn):在AND/OR樹或AND/OR圖中沒有后繼的節(jié)點(diǎn)．終止節(jié)點(diǎn):滿足終止條件的節(jié)點(diǎn)．

2/2/20235與/或圖搜索一個(gè)可分解的產(chǎn)生式系統(tǒng)定義一個(gè)隱含的與/或圖．圖的根節(jié)點(diǎn)表示產(chǎn)生式系統(tǒng)的初始狀態(tài)描述，連接符表示對(duì)一狀態(tài)描述應(yīng)用產(chǎn)生式規(guī)則或把這一狀態(tài)描述分解成若干組成部分．可分解產(chǎn)生式系統(tǒng)的任務(wù):從隱含的與/或圖出發(fā)找出一個(gè)從根節(jié)點(diǎn)出發(fā)到終止節(jié)點(diǎn)集的解圖。2/2/20236例重寫規(guī)則：n0→n1n0→n5，n4n1→n2n1→n3n2→n3n2→n5，n4n3→n5，n6n4→n5n4→n8n5→n7,

n8n5→n6n6→n7,

n82/2/20237練習(xí)1：假定我們有一個(gè)產(chǎn)生式系統(tǒng)，基于如下重寫規(guī)則：

R1：n0→n1,n2R5：n2→n6,n7R2：n0→n2,n3R6：n3→n5,n6R3：n1→n2R7：n4→n2R4：n1→n4R8：n5→n7請(qǐng)用與/或圖表示此產(chǎn)生式系統(tǒng)。2/2/20238練習(xí)2：一個(gè)產(chǎn)生式系統(tǒng)使用下面一組重寫規(guī)則，這些重寫規(guī)則把左面的數(shù)字轉(zhuǎn)換成右邊的數(shù)字串。6→3,34→3,16→4,23→2,14→2,22→1,1使用這些規(guī)則把6轉(zhuǎn)換成由1組成的數(shù)字串。請(qǐng)用與/或圖表示此產(chǎn)生式系統(tǒng)。

2/2/20239與/或圖搜索定義

設(shè)N是與/或圖G的終止節(jié)點(diǎn)集合，圖G中無回路，從節(jié)點(diǎn)n出發(fā)到N的一個(gè)解圖是與/或圖G的一個(gè)子圖，用G’表示，遞歸定義如下：1.若n是N中的一個(gè)元素，則G’只包括節(jié)點(diǎn)n；2/2/202310與/或圖搜索2.若n有一個(gè)從n出發(fā)的連接符k指向后繼節(jié)點(diǎn)集合｛n1，…，nk｝，而每一個(gè)ni都有從ni出發(fā)的解圖，則G’由節(jié)點(diǎn)n、連接符k、｛n1，…，nk｝中的每一個(gè)節(jié)點(diǎn)到N的解圖所構(gòu)成；3.否則，G沒有從n出發(fā)到N的解圖．2/2/202311n0n1n3n5n6n8n7an0n4n5n7n8bn0n4n5n7n8c2/2/202312與/或圖搜索加權(quán)與/或圖：權(quán)加在連接符上。假定所有連接符的費(fèi)用均大于某一小的正數(shù)ε。使用連接符的費(fèi)用可以計(jì)算解圖的費(fèi)用．設(shè)從節(jié)點(diǎn)n到終止節(jié)點(diǎn)集合N的解圖的費(fèi)用用k(n,N)表示，則k(n,N)遞歸定義如下：1.若n是N中的元素，則k(n,N)=0；

2/2/202313與/或圖搜索2.若有從n出發(fā)的一個(gè)連接符指向它的解圖后繼節(jié)點(diǎn)｛n1，…，ni｝，設(shè)此連接符的費(fèi)用為Ci，則:k(n,N)=Ci+k(n1,N)+…+k(ni,N)最佳解圖：具有最低費(fèi)用的解圖2/2/202314設(shè)k-連接符的費(fèi)用為k，計(jì)算k(n0,N)n0n1n3n5n6n8n7an0n4n5n7n8bn0n4n5n7n8c2/2/202315與/或圖搜索假定h*(n)是從n出發(fā)的最佳解圖的費(fèi)用，

h(n)是h*(n)的估計(jì)值。利用h(n)指導(dǎo)對(duì)AND/OR圖的啟發(fā)式搜索。2/2/202316與/或圖搜索在AND/OR圖中，對(duì)任意連接符的單調(diào)限制是h(n)≤c+h(n1)+…+h(nk)其中，n是任意節(jié)點(diǎn)，c是從n出發(fā)的連接符的費(fèi)用，n1，…，nk是n的在此連接符下的后繼節(jié)點(diǎn)。Note:若對(duì)于所有的終止節(jié)點(diǎn)，都有h(n)＝0，則單調(diào)限制還隱含著h對(duì)所有的節(jié)點(diǎn)n，都有：h(n)≤h*(n)。

2/2/202317

搜索過程還要標(biāo)記能解節(jié)點(diǎn)（SOLVED），為此給出如下定義：

能解節(jié)點(diǎn)（SOLVED）

①終止節(jié)點(diǎn)是能解節(jié)點(diǎn)；

②若非終止節(jié)點(diǎn)有“或”子節(jié)點(diǎn)時(shí)，其子節(jié)點(diǎn)有一能解，則該非終止節(jié)點(diǎn)是能解節(jié)點(diǎn)；

③若非終止節(jié)點(diǎn)有“與”子節(jié)點(diǎn)時(shí)，若其子節(jié)點(diǎn)均能解，則該非終止節(jié)點(diǎn)是能解節(jié)點(diǎn)。2/2/2023184.2與/或圖的搜索算法……算法AO*AO*算法解析：回憶：普通圖搜索中的A算法：對(duì)當(dāng)前搜索圖的“前沿”（即在OPEN表中的節(jié)點(diǎn)）節(jié)點(diǎn)進(jìn)行評(píng)價(jià)，選取f值最小的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行擴(kuò)展。回想一下，f是如何定義的？

f(n)=g(n)+h(n)，其中g(shù)(n)：已經(jīng)求得的當(dāng)前搜索圖中從初始節(jié)點(diǎn)到當(dāng)前節(jié)點(diǎn)n的最優(yōu)路徑費(fèi)用。h(n)：從n到目標(biāo)節(jié)點(diǎn)的最優(yōu)路徑費(fèi)用的估計(jì)值。結(jié)論：對(duì)節(jié)點(diǎn)n的評(píng)價(jià)，實(shí)際上是對(duì)"初始節(jié)點(diǎn)--節(jié)點(diǎn)n--目標(biāo)節(jié)點(diǎn)"這一條路徑的評(píng)價(jià)。2/2/202319AO*算法解析：在與/或圖搜索中，由于“與”節(jié)點(diǎn)的存在，單純對(duì)一個(gè)節(jié)點(diǎn)的評(píng)價(jià)已經(jīng)不能反映解圖的全面情況。與/或圖中的解圖相當(dāng)于普通圖中的解路徑。從"對(duì)節(jié)點(diǎn)n的評(píng)價(jià)，實(shí)際上是對(duì)'初始節(jié)點(diǎn)--節(jié)點(diǎn)n--目標(biāo)節(jié)點(diǎn)'這一條路徑的評(píng)價(jià)"這一思路出發(fā)，可以很容易的想到，能否通過對(duì)局部解圖進(jìn)行評(píng)價(jià)，來達(dá)到類似于普通圖中A*搜索的目的。AO*算法，正是這樣的一種適用于與/或圖的搜索算法。2/2/202320AO*算法解析：AO*算法可以劃分為兩個(gè)階段。第一階段：自頂向下的圖生成過程。（對(duì)于每一個(gè)已經(jīng)擴(kuò)展了的節(jié)點(diǎn)，算法都有一個(gè)指針，指向該節(jié)點(diǎn)的后繼節(jié)點(diǎn)中費(fèi)用值小的那個(gè)連接符。）從初始節(jié)點(diǎn)出發(fā)，先通過有指針標(biāo)記的連接符，向下搜索，一直到找到未擴(kuò)展的節(jié)點(diǎn)為止（找到目前為止費(fèi)用值最小的一個(gè)局部解圖）。然后對(duì)其中一個(gè)非終止節(jié)點(diǎn)進(jìn)行擴(kuò)展，并對(duì)其后繼節(jié)點(diǎn)賦費(fèi)用值和加能解標(biāo)記。2/2/202321AO*算法解析：第二階段：費(fèi)用值計(jì)算過程。

完成自下向上的費(fèi)用值修正計(jì)算、指針的標(biāo)記以及節(jié)點(diǎn)的能解標(biāo)記。2/2/202322AO*算法解析：兩個(gè)圖G：搜索圖G’：局部解圖（準(zhǔn)部分解圖）（可能變化的）兩個(gè)函數(shù)h(n)：?jiǎn)l(fā)函數(shù)（靜態(tài)）對(duì)h*(n)的估計(jì)q(n)：費(fèi)用函數(shù)（動(dòng)態(tài)變化）兩重循環(huán)外層：從上向下擴(kuò)展內(nèi)層：從下向上修改費(fèi)用q值、標(biāo)記指針2/2/202323AO*算法解析：兩種標(biāo)記SOLVED：標(biāo)記能解節(jié)點(diǎn)—表明此節(jié)點(diǎn)的解圖已找到指針：標(biāo)記連接符，用于計(jì)算G’2/2/2023241與/或圖搜索……算法AO*ProcedureAO*1．建立一個(gè)只由根節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的搜索圖G．s的費(fèi)用q(s):=h(s),G’:=G．如果s是目標(biāo)，標(biāo)記s為SOLVED.

2．Untils被標(biāo)記為SOLVED，do：2/2/202325

3．begin4．通過跟蹤從s出發(fā)的有標(biāo)記的連接符計(jì)算部分解圖G’（G的連接符將在以后的步驟中標(biāo)記）5．在G’中選一個(gè)非終止的葉節(jié)點(diǎn)n.

6．?dāng)U展節(jié)點(diǎn)n產(chǎn)生n的所有后繼，并把它們連到圖G上，對(duì)于每一個(gè)不曾在G中出現(xiàn)的后繼nj，q(nj):=h(nj)，如果這些后繼中某些節(jié)點(diǎn)是終止節(jié)點(diǎn)，則用SOLVED標(biāo)記。與/或圖搜索……算法AO*2/2/2023267．S:＝{n}；建立一個(gè)只由n構(gòu)成的單元素集合S。

8．UntilS變空，do：9．begin10．從S中刪除節(jié)點(diǎn)m，滿足m在G中的后裔不出現(xiàn)在S中

與/或圖搜索……算法AO*2/2/20232711．按以下步驟修改m的費(fèi)用q(m)：對(duì)于每一從m出發(fā)的指向節(jié)點(diǎn)集合{n1i，…，nki}的連接符，計(jì)算qi(m)=ci+q(n1i)+…+q(nki)，q(m):＝min{qi(m)}。(1)將指針標(biāo)記加到實(shí)現(xiàn)此最小值的連接符上。(2)如果本次標(biāo)記與以前的不同，抹去先前的標(biāo)記。(3)如果這個(gè)連接符指向的所有后繼節(jié)點(diǎn)都標(biāo)記了SOLVED，則把m標(biāo)上SOLVED．與/或圖搜索……算法AO*2/2/20232812．如果m標(biāo)記了SOLVED或者如果m的修改費(fèi)用與以前的費(fèi)用不同，則把m的通過指針標(biāo)記的連接的所有父節(jié)點(diǎn)加到S中．13．end14．end

與/或圖搜索……算法AO*2/2/2023292AO*算法應(yīng)用舉例設(shè)某個(gè)問題的狀態(tài)空間如圖所示。

h

(n0)＝0，h(n1)＝2，h(n2)＝4，h(n3)＝4，h(n4)＝1，h(n5)＝1，h(n6)＝2，h(n7)＝h(n8)＝0（目標(biāo)節(jié)點(diǎn)）。

假設(shè)k-連接符的費(fèi)用值為k。2/2/202330圖4.3(a)一次循環(huán)后2/2/202331圖4.3(b)兩次循環(huán)后2/2/202332圖4.3(c)三次循環(huán)后02/2/202333圖4.3(d)四次循環(huán)后2/2/202334從n0開始，沿指向連接符的指針找到的解圖即為搜索的結(jié)果。n0給出的修正費(fèi)用值q(n0)＝5就是解圖的費(fèi)用值。圖4.3(e)搜索得到的解圖2/2/202335Note（1）在第6步擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)n時(shí)，若不存在后繼節(jié)點(diǎn)（即陷入死胡同），則可在第11步中對(duì)m（即n）賦一個(gè)高的q值，這個(gè)高的q值會(huì)依次傳遞到s，使得含有節(jié)點(diǎn)n的子圖具有高的q（s），從而排除了被當(dāng)作候選局部解圖的可能性。2/2/202336(2)如果一個(gè)與／或圖存在解圖，如果對(duì)于圖中所有的節(jié)點(diǎn)n都有h（n）≤h*（n），并且啟發(fā)函數(shù)h滿足單調(diào)限制，則AO*算法必然終止于找出最佳解圖。2/2/202337練習(xí)1’：假定我們有一個(gè)產(chǎn)生式系統(tǒng)，基于如下重寫規(guī)則：R1：n0→n1,n2R5：n2→n6,n7R2：n0→n2,n3R6：n3→n5,n6R3：n1→n2R7：n4→n2R4：n1→n4R8：n5→n7（1）用與/或圖表示此產(chǎn)生式系統(tǒng)。（2）若h(n0)=0,h(n1)=2,h(n2)=4,h(n3)=4,h(n4)=3,h(n5)=1,h(n6)=0,h(n7)=0,為啟發(fā)函數(shù)，k-連接符的費(fèi)用為k，求n0到{n6,n7}的最佳解圖。（要求：使用AO*算法，畫出各次循環(huán)圖，標(biāo)明各點(diǎn)費(fèi)用q(n)，畫出最后的最佳解圖，并指明最佳解圖的費(fèi)用）

2/2/202338練習(xí)2’：一個(gè)產(chǎn)生式系統(tǒng)使用下面一組重寫規(guī)則，這些重寫規(guī)則把左面的數(shù)字轉(zhuǎn)換成右邊的數(shù)字串。6→3,34→3,16→4,23→2,14→2,22→1,1使用這些規(guī)則把6轉(zhuǎn)換成由1組成的數(shù)字串。假設(shè)k-連接符的費(fèi)用是k，用數(shù)字1標(biāo)記的節(jié)點(diǎn)的h函數(shù)值是0，用數(shù)字n(n≠1)標(biāo)記的節(jié)點(diǎn)的h函數(shù)值是n。請(qǐng)用AO*算法描述解題過程（要求：畫出各次循環(huán)圖，標(biāo)明各點(diǎn)費(fèi)用q(n)，畫出最后的最佳解圖，并指明最佳解圖的費(fèi)用）。2/2/2023394.4博弈樹搜索

博弈具有競(jìng)爭(zhēng)或?qū)剐再|(zhì)的行為稱為博弈行為。比如日常生活中的下棋，打牌等。在這類行為中，參加斗爭(zhēng)或競(jìng)爭(zhēng)的各方各自具有不同的目標(biāo)或利益。為了達(dá)到各自的目標(biāo)和利益，各方必須考慮對(duì)手的各種可能的行動(dòng)方案，并力圖選取對(duì)自己最為有利或最為合理的方案。博弈論GameTheory

博弈論就是研究博弈行為中斗爭(zhēng)各方是否存在著最合理的行為方案，以及如何找到這個(gè)合理的行為方案的數(shù)學(xué)理論和方法。博弈論亦名“對(duì)策論”、“賽局理論”，屬應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個(gè)分支,目前在生物學(xué)，經(jīng)濟(jì)學(xué)，國(guó)際關(guān)系，計(jì)算機(jī)科學(xué),政治學(xué)，軍事戰(zhàn)略和其他很多學(xué)科都有廣泛的應(yīng)用。2/2/202340博弈論歷史博弈論思想古已有之，我國(guó)古代的《孫子兵法》就不僅是一部軍事著作，而且算是最早的一部博弈論專著。博弈論最初主要研究象棋、橋牌、賭博中的勝負(fù)問題，人們對(duì)博弈局勢(shì)的把握只停留在經(jīng)驗(yàn)上，沒有向理論化發(fā)展。近代對(duì)于博弈論的研究，開始于策墨洛（Zermelo），波雷爾（Borel）及馮·諾伊曼（vonNeumann）。1928年，馮·諾依曼證明了博弈論的基本原理，從而宣告了博弈論的正式誕生。1944年，馮·諾依曼和摩根斯坦共著的劃時(shí)代巨著《博弈論與經(jīng)濟(jì)行為》將雙人博弈推廣到n人博弈結(jié)構(gòu)并將博弈論系統(tǒng)地應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域，從而奠定了這一學(xué)科的基礎(chǔ)和理論體系。1950～1951年，約翰·福布斯·納什（JohnForbesNashJr）利用不動(dòng)點(diǎn)定理證明了均衡點(diǎn)的存在，為博弈論的一般化奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。納什的開創(chuàng)性論文《n人博弈的均衡點(diǎn)》（1950），《非合作博弈》（1951）等等，給出了納什均衡的概念和均衡存在定理。此外，塞爾頓、哈桑尼的研究也對(duì)博弈論發(fā)展起到推動(dòng)作用。今天博弈論已發(fā)展成一門較完善的學(xué)科。2/2/202341博弈分類-根據(jù)不同的基準(zhǔn)有不同的分類合作博弈和非合作博弈。它們的區(qū)別在于相互發(fā)生作用的當(dāng)事人之間有沒有一個(gè)具有約束力的協(xié)議，如果有，就是合作博弈，如果沒有，就是非合作博弈。從行為的時(shí)間序列性，分為靜態(tài)博弈和動(dòng)態(tài)博弈靜態(tài)博弈是指在博弈中，參與人同時(shí)選擇或雖非同時(shí)選擇但后行動(dòng)者并不知道先行動(dòng)者采取了什么具體行動(dòng)；動(dòng)態(tài)博弈是指在博弈中，參與人的行動(dòng)有先后順序，且后行動(dòng)者能夠觀察到先行動(dòng)者所選擇的行動(dòng)?！扒敉嚼Ь场本褪峭瑫r(shí)決策的，屬于靜態(tài)博弈；而棋牌類游戲等決策或行動(dòng)有先后次序的，屬于動(dòng)態(tài)博弈。按照參與人對(duì)其他參與人的了解程度分為完全信息博弈和不完全信息博弈。完全博弈是指在博弈過程中，每一位參與人對(duì)其他參與人的特征、策略空間及收益函數(shù)有準(zhǔn)確的信息。如果參與人對(duì)其他參與人的特征、策略空間及收益函數(shù)信息了解的不夠準(zhǔn)確、或者不是對(duì)所有參與人的特征、策略空間及收益函數(shù)都有準(zhǔn)確的信息，在這種情況下進(jìn)行的博弈就是不完全信息博弈。

2/2/202342囚徒困境警方逮捕甲、乙兩名嫌疑犯，但沒有足夠證據(jù)指控二人入罪。于是警方分開囚禁嫌疑犯，分別和二人見面，并向雙方提供以下相同的選擇：若一人認(rèn)罪并作證檢舉對(duì)方（稱“背叛”對(duì)方），而對(duì)方保持沉默，此人將即時(shí)獲釋，沉默者將判監(jiān)10年。若二人都保持沉默（稱互相“合作”），則二人同樣判監(jiān)半年。若二人都互相檢舉（互相“背叛”），則二人同樣判監(jiān)2年。假定：每個(gè)參與者（即“囚徒”）都是利己的，即都尋求最大自身利益，而不關(guān)心另一參與者的利益。參與者某一策略所得利益，如果在任何情況下都比其他策略要低的話，此策略稱為“嚴(yán)格劣勢(shì)”，理性的參與者絕不會(huì)選擇。沒有任何其它力量干預(yù)個(gè)人決策，參與者可完全按照自己意愿選擇策略。2/2/202343試設(shè)想困境中兩名理性囚徒會(huì)如何作出選擇：若對(duì)方沉默，背叛會(huì)讓我獲釋，所以會(huì)選擇背叛。若對(duì)方背叛指控我，我也要指控對(duì)方才能得到較低的刑期，所以也是會(huì)選擇背叛。二人面對(duì)的情況一樣，所以二人的理性思考都會(huì)得出相同的結(jié)論——選擇背叛，結(jié)果二人同樣服刑2年。這顯然不是顧及團(tuán)體利益的最優(yōu)解決方案。以全體利益而言，如果兩個(gè)參與者都合作保持沉默，兩人都只會(huì)被判刑半年，總體利益更高，結(jié)果也比兩人背叛對(duì)方、判刑2年的情況較佳。但根據(jù)以上假設(shè)，二人均為理性的個(gè)人，且只追求自己個(gè)人利益。均衡狀況會(huì)是兩個(gè)囚徒都選擇背叛，結(jié)果二人判決均比合作為高，總體利益較合作為低。這就是“困境”所在。2/2/2023444.4博弈樹搜索對(duì)于單人博弈的一些問題，可用一般的搜索技術(shù)進(jìn)行求解，本節(jié)著重討論雙人完備信息這一類博弈問題的搜索策略。雙人、具有完備信息博弈問題的特點(diǎn)：（1）雙人對(duì)弈，對(duì)壘的雙方輪流走步。（2）信息完備，對(duì)壘雙方所得到的信息是一樣的，不存在一方能看到，而另一方看不到的情況。（3）零和。即對(duì)一方有利的棋，對(duì)另一方肯定不利，不存在對(duì)雙方均有利、或均無利的棋。對(duì)弈的結(jié)果是一方贏，另一方輸，或者雙方和棋。2/2/202345零和博弈（zero-sumgame）：是指博弈的參與者中,一方之所得是它方之所失,總量上看,支付水平不起變化或者為零。非零和博弈是一種非合作下的博弈，博弈中各方的收益或損失的總和不是零值。在經(jīng)濟(jì)學(xué)研究中很有用。

在這種狀況時(shí)，自己的所得并不與他人的所失的大小相等，連自己的幸福也未必建立在他人的痛苦之上，即使傷害他人也可能“損人不利己”，所以博弈雙方存在“雙贏”的可能，進(jìn)而合作。譬如，在戀愛中一方受傷的時(shí)候，對(duì)方并不是一定得到滿足。也有可能雙方一起能得到精神的滿足。也有可能雙方一起受傷。通常，彼此精神的損益不是零和的。比如目前的中美關(guān)系，就并非“非此即彼”，而是可以合作雙贏。2/2/202346無處不在的博弈日常生活中的一切，均可從博弈得到解釋，大到美日貿(mào)易戰(zhàn)，小到今天早上你突然生病?！白匀弧笔茄芯繂稳瞬┺牡闹匾俣?。農(nóng)夫種莊稼也是同自然進(jìn)行博弈的一個(gè)過程。自然的策略可以是：天旱、多雨、風(fēng)調(diào)雨順。農(nóng)夫?qū)?yīng)的策略分別是：防旱、防澇、放心地休息。當(dāng)然，“自然”究竟采用哪種策略并不確定，于是農(nóng)夫只有根據(jù)經(jīng)驗(yàn)判斷或氣象預(yù)報(bào)來確定自己的行動(dòng)。如果估計(jì)今年的旱情較重，就可早做防旱準(zhǔn)備；如果估計(jì)水情嚴(yán)重，就早做防澇準(zhǔn)備；如果估計(jì)是風(fēng)調(diào)雨順，農(nóng)夫就可以悠哉悠哉了。2/2/202347雙人博弈：夫妻吵架夫妻雙方都有兩種策略，強(qiáng)硬或軟弱。博弈的可能結(jié)果有四種組合：夫強(qiáng)硬妻強(qiáng)硬、夫強(qiáng)硬妻軟弱、夫軟弱妻強(qiáng)硬、夫軟弱妻軟弱。商業(yè)界常見，如兩個(gè)空調(diào)廠家的價(jià)格戰(zhàn)2/2/202348智豬博弈（Pigs’payoffs）智豬博弈講的是：豬圈里有兩頭豬，一頭大豬，一頭小豬。豬圈的一邊有個(gè)踏板，每踩一下踏板，在遠(yuǎn)離踏板的豬圈的另一邊的投食口就會(huì)落下少量的食物。如果有一只豬去踩踏板，另一只豬就有機(jī)會(huì)搶先吃到另一邊落下的食物。當(dāng)小豬踩動(dòng)踏板時(shí)，大豬會(huì)在小豬跑到食槽之前剛好吃光所有的食物；若是大豬踩動(dòng)了踏板，則還有機(jī)會(huì)在小豬吃完落下的食物之前跑到食槽，爭(zhēng)吃到另一半殘羹。

2/2/202349兩只豬各會(huì)采取什么策略？小豬將選擇“搭便車”策略，也就是舒舒服服地等在食槽邊；而大豬則為一點(diǎn)殘羹不知疲倦地奔忙于踏板和食槽之間?！靶∝i躺著大豬跑”的現(xiàn)象是由于故事中的游戲規(guī)則所導(dǎo)致的。規(guī)則的核心指標(biāo)是：每次落下的食物數(shù)量和踏板與投食口之間的距離。

2/2/202350如果改變一下核心指標(biāo)，豬圈里還會(huì)出現(xiàn)同樣的“小豬躺著大豬跑”的景象嗎？試試看。

改變方案一：減量方案。投食僅原來的一半分量。結(jié)果：是小豬大豬都不去踩踏板了。如果目的是想讓豬們?nèi)ザ嗖忍ぐ?，這個(gè)游戲規(guī)則的設(shè)計(jì)顯然是失敗的。

2/2/202351改變方案二：增量方案。投食為原來的2倍分量。結(jié)果：小豬、大豬都會(huì)去踩踏板。誰想吃，誰就會(huì)去踩踏板。反正對(duì)方不會(huì)一次把食物吃完。小豬和大豬相當(dāng)于生活在物質(zhì)相對(duì)豐富的“共產(chǎn)主義”社會(huì)，所以競(jìng)爭(zhēng)意識(shí)卻不會(huì)很強(qiáng)。

對(duì)于游戲規(guī)則的設(shè)計(jì)者來說，這個(gè)規(guī)則的成本相當(dāng)高（每次提供雙份的食物）；而且因?yàn)楦?jìng)爭(zhēng)不強(qiáng)烈，想讓豬們?nèi)ザ嗖忍ぐ宓男Ч⒉缓谩?/p>

2/2/202352改變方案三：減量加移位方案。投食僅原來的一半分量，但同時(shí)將投食口移到踏板附近。結(jié)果：小豬和大豬都在拼命地?fù)屩忍ぐ?。等待者不得食，而多勞者多得。每次的收獲剛好消費(fèi)完。

對(duì)于游戲設(shè)計(jì)者，這是一個(gè)最好的方案。成本不高，但收獲最大。

2/2/202353原版的“智豬博弈”故事給了競(jìng)爭(zhēng)中的弱者（小豬）以等待為最佳策略的啟發(fā)。但是對(duì)于社會(huì)而言，因?yàn)樾∝i未能參與競(jìng)爭(zhēng)，小豬搭便車時(shí)的社會(huì)資源配置的并不是最佳狀態(tài)。為使資源最有效配置，規(guī)則的設(shè)計(jì)者是不愿看見有人搭便車的，政府如此，公司的老板也是如此。而能否完全杜絕“搭便車”現(xiàn)象，就要看游戲規(guī)則的核心指標(biāo)設(shè)置是否合適了。許多人并未讀過“智豬博弈”的故事，但是卻在自覺地使用小豬的策略。股市上等待莊家抬轎的散戶；等待產(chǎn)業(yè)市場(chǎng)中出現(xiàn)具有贏利能力新產(chǎn)品、繼而大舉仿制牟取暴利的游資；公司里不創(chuàng)造效益但分享成果的人，等等。因此，對(duì)于制訂各種經(jīng)濟(jì)管理的游戲規(guī)則的人，必須深諳“智豬博弈”指標(biāo)改變的個(gè)中道理。2/2/2023544.4博弈樹搜索雙人、具有完備信息博弈的實(shí)例有：一字棋、余一棋、西洋跳棋、國(guó)際象棋、中國(guó)象棋、圍棋等。對(duì)于帶機(jī)遇性的任何博弈，因不具有完備信息，不屬這里討論范圍，但有些論述可推廣到某些機(jī)遇博弈中應(yīng)用。2/2/202355一、博弈樹博弈問題可以用產(chǎn)生式系統(tǒng)的形式來描述。例如中國(guó)象棋，狀態(tài)描述：棋盤上棋子各種位置布局產(chǎn)生式規(guī)則：各類棋子的合法走步目標(biāo)：將（帥）被吃掉規(guī)則作用于初始狀態(tài)描述及其所有的后裔狀態(tài)描述，就產(chǎn)生了博弈圖或博弈樹．

2/2/202356？？博弈問題為什么可以用與/或圖表示可以這樣來看待這個(gè)問題：當(dāng)輪到我方走棋時(shí)，只需從若干個(gè)可以走的棋中，選擇一個(gè)棋走就可以了。從這個(gè)意義上說，若干個(gè)可以走的棋是“或”的關(guān)系。而對(duì)于輪到對(duì)方走棋時(shí)，對(duì)于我方來說，必須能夠應(yīng)付對(duì)手的每一種走棋。這就相當(dāng)于這些棋是“與"的關(guān)系。因此，博弈問題可以看成是一個(gè)與/或圖，但是與一般的與/或圖并不一樣，是一種特殊的與/或圖。2/2/202357Grundy博弈Grundy博弈是一個(gè)分錢幣的游戲。分錢幣問題是一種簡(jiǎn)單的博弈問題。有一堆數(shù)目為N的錢幣，由兩位選手輪流進(jìn)行分堆，要求每個(gè)選手每次只把其中某一堆分成數(shù)目不等的兩小堆。例如選手甲把N分成兩堆后，輪到選手乙就可以挑其中一堆來分，如此進(jìn)行下去直到有一位選手先無法把錢幣再分成不相等的兩堆時(shí)就得認(rèn)輸（直到桌子上的每堆硬幣都是一個(gè)或兩個(gè)為止，誰先遇到這種情況誰就算是輸了）。以下用MIN代表對(duì)方，MAX代表我方。2/2/202358Grundy博弈狀態(tài)空間圖2/2/202359實(shí)現(xiàn)一種取勝的策略就是搜索一個(gè)解圖的問題，解圖就代表一種完整的博弈策略。問題：對(duì)于簡(jiǎn)單的游戲，采用與尋找AND／OR圖解圖相類似的技術(shù)是可以解決的．但是，對(duì)于復(fù)雜的游戲，這種方法是根本行不通的．中國(guó)象棋，每個(gè)勢(shì)態(tài)有40種不同的走法，如果一盤棋雙方平均走50步，則總節(jié)點(diǎn)數(shù)約為10161個(gè)。要考慮完整的搜索策略，就是用億次機(jī)來處理，花的時(shí)間也得比宇宙的年齡還長(zhǎng)。2/2/202360

對(duì)于西洋跳棋、國(guó)際象棋大致也如此，博弈樹大約有1040個(gè)節(jié)點(diǎn)，象棋博弈樹大約有10120個(gè)節(jié)點(diǎn)．假設(shè)每1／3毫微秒產(chǎn)生一個(gè)節(jié)點(diǎn)，產(chǎn)生整個(gè)跳棋的博弈樹也需要1021個(gè)世紀(jì)。而圍棋更復(fù)雜了。因此，對(duì)于實(shí)際的博弈問題，無論是從空間，還是從時(shí)間上來說，要想通過生成其所有狀態(tài)空間圖的方法來得到取勝策略，都是不可能的。2/2/202361思考：對(duì)于一個(gè)優(yōu)秀的博弈者來說，應(yīng)考慮的不只是對(duì)方一步的走法，而是若干步的走法。而且這一過程一般來說是動(dòng)態(tài)進(jìn)行的，也就是說，在考慮若干步走法以后，下了一步棋，而在對(duì)方走棋之后，還要再次考慮若干步走法，決定下一步的走法，而不是一勞永逸，搜索一次就決定了所有的走法。2/2/202362二、極小極大過程極小極大過程模擬的就是人的一種思維過程。是考慮雙方對(duì)弈若干步之后，從可能的走步中選一步相對(duì)好棋的著法來走，即在有限的搜索深度范圍內(nèi)進(jìn)行求解。下面的討論規(guī)定：頂節(jié)點(diǎn)深度d＝0，MAX代表程序方，MIN代表對(duì)手方，且MAX先走。2/2/202363靜態(tài)估值函數(shù)e(p)：建立在該棋的各種知識(shí)和特征上。對(duì)在一定深度處的節(jié)點(diǎn)所代表的局面進(jìn)行評(píng)價(jià)優(yōu)劣的估計(jì)值．靜態(tài)估值函數(shù)因游戲而異．

如果對(duì)自己（MAX）有利，則取正值，越大，表示對(duì)我方越有利。等于正無窮大時(shí)，表示我方必勝。如果對(duì)自己不利，則取負(fù)值．越小，表示對(duì)我方越不利。等于負(fù)無窮大時(shí)，表示對(duì)方必勝。2/2/202364極小極大過程基本思想：當(dāng)輪到我方走棋時(shí)，首先按照一定的搜索深度生成出給定深度以內(nèi)的所有狀態(tài)，計(jì)算所有葉節(jié)點(diǎn)的靜態(tài)估值函數(shù)值。然后逆向計(jì)算：對(duì)于我方要走的節(jié)點(diǎn)（MAX節(jié)點(diǎn)）取其子節(jié)點(diǎn)中的最大值為該節(jié)點(diǎn)的值（因?yàn)槲曳娇偸沁x擇對(duì)我方有利的棋）；對(duì)于對(duì)方要走的節(jié)點(diǎn)（MIN節(jié)點(diǎn)）取其子節(jié)點(diǎn)中的最小值為該節(jié)點(diǎn)的值（對(duì)方總是選擇對(duì)我方不利的棋）。一直到計(jì)算出根節(jié)點(diǎn)的值為止。獲得根節(jié)點(diǎn)取值的那一分枝，即為所選擇的最佳走步。2/2/202365極小極大原則MAX節(jié)點(diǎn)在其MIN子節(jié)點(diǎn)的倒推值中選max；MIN節(jié)點(diǎn)在其MAX子節(jié)點(diǎn)的倒推值中選min倒推值在極小極大過程中，第i層節(jié)點(diǎn)根據(jù)第i+1層節(jié)點(diǎn)的值使用極小極大原則而獲得的值。極小極大過程1.按寬度優(yōu)先生成0至L層所有節(jié)點(diǎn)。2.使用靜態(tài)估值函數(shù)計(jì)算第L層節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值。3.按極小極大原則計(jì)算各層節(jié)點(diǎn)的倒推值，直到求出初始節(jié)點(diǎn)的倒推值為止。實(shí)現(xiàn)該倒推值的走步就是相對(duì)好的走步。2/2/202366例2/2/202367MINIMAX過程①T:＝（s，MAX），OPEN:＝（s），CLOSED:＝（）；開始時(shí)樹由初始節(jié)點(diǎn)構(gòu)成，OPEN表只含有s。②LOOP1:IFOPEN＝（），THENGOLOOP2；③n:＝FIRST（OPEN），REMOVE（n，OPEN），ADD（n，CLOSED）；④IFn可直接判定為贏、輸或平局THENe(n):＝∞∨－∞∨0，GOLOOP1ELSEEXPAND（n）→{ni}，ADD（{ni}，T）

IFd（ni）＜L,THENADD（{ni}，OPEN），GOLOOP1

ELSE計(jì)算e(ni)，GOLOOP1；ni達(dá)到深度L，計(jì)算各端節(jié)點(diǎn)e值。

2/2/202368⑤LOOP2：IFCLOSED＝NILTHENGOLOOP3

ELSEnp:＝FIRST（CLOSED）；⑥IFnp∈MAX，且對(duì)np的任意子節(jié)點(diǎn)nci，e（nci）都有值THENe（np）:＝max{e（nci）}，REMOVE（np，CLOSED）；若MAX所有子節(jié)點(diǎn)均有值，則該MAX取其極大值。

IFnp∈MIN，且對(duì)np的任意子節(jié)點(diǎn)nci，e（nci）都有值THENe（np）:＝min{e（nci）}，REMOVE（np，CLOSED）；若MIN所有子節(jié)點(diǎn)均有值，則該MIN取其極小值。⑦GOLOOP2；⑧LOOP3：IFe（s）有值,THENEXIT（END∨M（Move，T））；若s有值，則結(jié)束或標(biāo)記走步。2/2/202369在九宮格棋盤上，兩位選手輪流在棋盤上擺各自的棋子（每次一枚），誰先取得三子一線的結(jié)果就取勝。設(shè)程序方MAX的棋子用（×）表示對(duì)手MIN的棋子用（○）表示MAX先走。靜態(tài)估計(jì)函數(shù)e(p)：(1)若p是MAX獲勝的格局，則e(p)＝∞；(2)若p是MIN獲勝的格局，則e(p)＝－∞。(3)若p對(duì)任何一方來說都不是獲勝的格局，則

e(p)＝（所有空格都放上MAX的棋子之后，MAX的三子成線（行、列、對(duì)角線）的總數(shù)－（所有空格都放上MIN的棋子之后，MIN的三子成線（行、列、對(duì)角線）的總數(shù)）一字棋游戲2/2/202370例如，當(dāng)p的格局如上圖時(shí)，則可得e(p)＝6－4＝2；設(shè)考慮走兩步的搜索過程。利用棋盤對(duì)稱性的條件，則第一次調(diào)用算法產(chǎn)生的搜索樹如圖4.8所示.2/2/202371圖4.8一字棋第一階段搜索樹

2/2/202372圖4.9一字棋第二階段搜索樹

2/2/202373圖4.10一字棋第三階段搜索樹

2/2/202374極小極大過程的問題把搜索的產(chǎn)生過程與尖端節(jié)點(diǎn)的靜態(tài)估值過程完全分開．在搜索樹完全產(chǎn)生之后，才開始對(duì)尖端節(jié)點(diǎn)的估值．這種分開進(jìn)行的方式導(dǎo)致博弈樹搜索的低效率：節(jié)點(diǎn)數(shù)將隨著搜索深度的增加呈指數(shù)增長(zhǎng)。這極大地限制了極小極大搜索方法的使用。解決方法：讓搜索樹的產(chǎn)生過程與靜態(tài)估值與返回值的過程同時(shí)進(jìn)行，在搜索深度不變的情況下，利用已有的搜索信息減少生成的節(jié)點(diǎn)數(shù)，從而使搜索效率大為提高。----α-β過程2/2/202375三、博弈搜索的α-β過程最早在1956年JohnMcCarthy構(gòu)思了α-β搜索，但他并沒有發(fā)表。1958年Newell等人開發(fā)的國(guó)際象棋程序NSS使用了一個(gè)簡(jiǎn)化版本的α-β搜索，它是第一個(gè)使用α-β搜索的國(guó)際象棋程序。根據(jù)Nilsson,1971所述，(Samuel,1959,1967)的西洋跳棋程序也使用了α-β搜索。描述α-β搜索的論文最早發(fā)表于20世紀(jì)60年代（Hart和Edwards,1961;Brudno,1963;Slagle,1963b)。Slagle和Dixon于1969年在他們的玩Kalah游戲的程序中第一次實(shí)現(xiàn)了完整的α-β搜索。α-β搜索也被用于JohnMcCarthy的一個(gè)學(xué)生寫的Kotok國(guó)際象棋程序中。Knuth和Moore(1975)提供了α-β搜索的歷史，及其正確性證明與時(shí)間復(fù)雜性分析。1982年P(guān)earl證明了α-β搜索在所有固定深度的博弈樹搜索算法中是漸進(jìn)最優(yōu)的。IBM研制的“深藍(lán)”國(guó)際象棋程序采用的就是這種搜索算法，該程序戰(zhàn)勝了卡斯帕羅夫。2/2/202376某博弈問題示意圖2/2/202377圖4.10一字棋第三階段搜索樹

2/2/202378圖一字棋第一階段α-β剪枝方法

2/2/202379（1）α剪枝：如果一個(gè)MIN節(jié)點(diǎn)的β值小于或等于它的某一個(gè)MAX祖先節(jié)點(diǎn)的α值，則剪枝發(fā)生在該MIN節(jié)點(diǎn)之下：終止這個(gè)MIN節(jié)點(diǎn)以下的搜索過程。這個(gè)MIN節(jié)點(diǎn)最終的倒推值就確定為這個(gè)β值。

（2）β剪枝：如果一個(gè)MAX節(jié)點(diǎn)的α值大于或者等于它的某一個(gè)MIN祖先節(jié)點(diǎn)的β值，則剪枝發(fā)生在該MAX節(jié)點(diǎn)之下．終止這個(gè)MAX節(jié)點(diǎn)以下的搜索過程。該MAX節(jié)點(diǎn)的最終返回值可以置成它的α值．剪枝規(guī)則2/2/202380圖4.11α-β搜索過程的博弈樹2/2/202381（1）比較都是在極小節(jié)點(diǎn)和極大節(jié)點(diǎn)間進(jìn)行的，極大節(jié)點(diǎn)和極大節(jié)點(diǎn)的比較，或者極小節(jié)點(diǎn)和極小節(jié)點(diǎn)間的比較是無意義的。（2）在比較時(shí)注意是與“祖先層"節(jié)點(diǎn)比較，不只是與父輩節(jié)點(diǎn)比較。當(dāng)然，這里的"祖先層"節(jié)點(diǎn)，指的是那些已經(jīng)有了值的節(jié)點(diǎn)。

（3）當(dāng)只有一個(gè)節(jié)點(diǎn)的"固定"以后，其值才能夠向其父節(jié)點(diǎn)傳遞。

（4）α-β剪枝方法搜索得到的最佳走步與極小極大方法得到的結(jié)果是一致的，α-β剪枝并沒有因?yàn)樘岣咝?，而降低得到最佳走步的可能性?/p>

（5）在實(shí)際搜索時(shí)，并不是先生成指定深度的搜索圖，再在搜索圖上進(jìn)行剪枝。如果這樣，就失去了α-β剪枝方法的意義。在實(shí)際程序?qū)崿F(xiàn)時(shí)，首先規(guī)定一個(gè)搜索深度，然后按照類似于深度優(yōu)先搜索的方式，生成節(jié)點(diǎn)。在節(jié)點(diǎn)的生成過程中，如果在某一個(gè)節(jié)點(diǎn)處發(fā)生了剪枝，則該節(jié)點(diǎn)其余未生成的節(jié)點(diǎn)就不再生成了。進(jìn)行α-β剪枝注意的問題：2/2/202382若以最理想的情況進(jìn)行搜索，即對(duì)MIN節(jié)點(diǎn)先擴(kuò)展最低估值的節(jié)點(diǎn)（若從左向右順序進(jìn)行，則設(shè)節(jié)點(diǎn)估計(jì)值從左向右遞增排序），MAX先擴(kuò)展最高估值的節(jié)點(diǎn)（設(shè)估計(jì)值從左向右遞減排序），則當(dāng)搜索樹深度為D，分枝因數(shù)為B時(shí)，若不使用α-β剪枝技術(shù)，搜索樹的端節(jié)點(diǎn)數(shù)BD；若使用α-β剪枝技術(shù)．可以證明理想條件下生成的端節(jié)點(diǎn)數(shù)最少，有ND=2BD/2-1（D為偶數(shù)）ND=B(D+1)/2+B(D-1)/2-1（D為奇數(shù)）

比較后得出最佳α-β搜索技術(shù)所生成深度為D處的端節(jié)點(diǎn)數(shù)約等于不用α-β搜索技術(shù)所生成深度為D／2處的端節(jié)點(diǎn)數(shù)。因此，在使用相同存儲(chǔ)空間的條件下，α-β過程能把搜索深度擴(kuò)大一倍．α-β剪枝的效率2/2/202383以上介紹的各種博弈搜索技術(shù)可用于求解所提到的一些雙人博弈問題。但是這些方法還不能全面反映人們弈棋過程實(shí)際所使用的一切推理技術(shù)，也未涉及棋局的表示和啟發(fā)函數(shù)問題。例如一些高明的棋手，對(duì)棋局的表示有獨(dú)特的模式，他們往往記住的是一個(gè)可識(shí)別的模式集合，而不是單獨(dú)棋子的具體位置。此外有些博弈過程，在一個(gè)短時(shí)期內(nèi)短兵相接，進(jìn)攻和防御的戰(zhàn)術(shù)變化劇烈，這些情況如何在搜索策略中加以考慮。還有基于極小極大過程的一些方法都設(shè)想對(duì)手總是走的最優(yōu)走步，即我方總應(yīng)考慮最壞的情況，實(shí)際上再好的選手也會(huì)有失誤，如何利用失誤加強(qiáng)攻勢(shì)，也值得考慮。再一點(diǎn)就是選手的棋風(fēng)問題?？傊嬲鉀Q具體的博弈搜索技術(shù)，有許多更深入的問題需要作進(jìn)一步的研究和探討。2/2/2023841．用可