第03講二維線性不變系統(tǒng)

光學(xué)信息技術(shù)原理及應(yīng)用線性系統(tǒng)與線性空不變系統(tǒng)線性系統(tǒng)的疊加性質(zhì)二維不變線性系統(tǒng)的定義

一個二維脈沖函數(shù)在輸入平面上位移時，線性系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)形式始終與在原點(diǎn)處輸入的二維脈沖函數(shù)的響應(yīng)函數(shù)形式相同，僅造成響應(yīng)函數(shù)相應(yīng)的位移，即

這樣的系統(tǒng)稱為二維不變線性系統(tǒng)。其脈沖響應(yīng)函數(shù)可表示為脈沖響應(yīng)函數(shù)僅僅依賴于觀察點(diǎn)與脈沖輸入點(diǎn)坐標(biāo)的相對間距二維線性不變系統(tǒng)還常常叫做空間不變（線性）系統(tǒng)

空間線性不變系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系示意圖

線性不變系統(tǒng)的“卷積積分”

物理的空間不變線性系統(tǒng)，輸入平面和輸出平面常常是不同的兩個平面，需要建立兩個坐標(biāo)

從研究輸入和輸出之間關(guān)系的角度來看，輸入和輸出兩種信號放在同一坐標(biāo)系中是方便的，因此對輸入平面和輸出平面的坐標(biāo)做歸一化（不管兩者是否表示同一種物理量），使得從數(shù)值上有

和脈沖響應(yīng)函數(shù)變?yōu)榀B加積分變?yōu)椤熬矸e積分”

光學(xué)成象系統(tǒng)可以把物平面劃分為若干個等暈區(qū)，把每個等暈區(qū)當(dāng)作空間不變線性系統(tǒng)處理

二維線性不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如果不變線性系統(tǒng)的輸入是空域函數(shù)，其傅里葉變換為

同時輸出函數(shù)和脈沖響應(yīng)函數(shù)的傅里葉變換分別為

根據(jù)卷積定理有

即稱做線性不變系統(tǒng)的的傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)的意義空間頻譜是基元函數(shù)的線性組合中對應(yīng)的權(quán)重因子

輸入和輸出空間頻譜之比表達(dá)了系統(tǒng)對于輸入函數(shù)中不同頻率的基元函數(shù)的作用，也就是系統(tǒng)在把輸入“傳遞”為輸出過程中的作用，因而稱為傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)一般是復(fù)函數(shù)，其模的作用是改變輸入函數(shù)各種頻率基元成分的幅值大小，其幅角的作用是改變這些基元成分的初相位傳遞函數(shù)的模稱作振幅傳遞函數(shù)，傳遞函數(shù)的幅角稱作相位傳遞函數(shù)空間頻率的兩種意義空間頻率類似于時域函數(shù)的時間頻率，時間倒數(shù)稱作頻率，長度倒數(shù)稱作空間頻率，即在單位長度內(nèi)周期函數(shù)變化的周數(shù)（單位為：周/mm，線對/mm，L/mm，等）信息光學(xué)中有兩種空間頻率，一種是對二維圖象進(jìn)行頻譜分析得到的圖象頻譜對應(yīng)的空間頻率，這是一種空間強(qiáng)度分布，單位為：周/mm，線對/mm，L/mm，等，其大小是沒有限制的，可以是無窮大另一種是對電磁波場進(jìn)行頻譜分析得到的平面波對應(yīng)的空間頻率，因為電磁波在均勻介質(zhì)中波長是常數(shù)，在其傳播方向上空間頻率是不變的。因而其對應(yīng)在三維空間坐標(biāo)上的每個方向的空間頻率（單位為：光波數(shù)/mm）表示出的意義實(shí)際上是電磁波的傳播方向，或其傳播方向與坐標(biāo)軸的夾角，而且大小受到光波長的限制，最大是波長的倒數(shù)。下章再詳細(xì)講這兩者區(qū)別不變線性系統(tǒng)的本征函數(shù)如果函數(shù)滿足以下條件

（式中為一復(fù)常數(shù)）則稱為算符所表征的系統(tǒng)的本征函數(shù)。這就是說，系統(tǒng)的本征函數(shù)是一個特定的輸入函數(shù)，它相應(yīng)的輸出函數(shù)與它之間的差別僅僅是一個復(fù)常系數(shù)。前面講的基元函數(shù)——復(fù)指數(shù)函數(shù)就是線性不變系統(tǒng)的本征函數(shù)即《工程光學(xué)》中已經(jīng)說明光波可以用復(fù)指數(shù)函數(shù)表示，光學(xué)系統(tǒng)傳播光波的數(shù)學(xué)模型，就是這樣一個用復(fù)指數(shù)函數(shù)表示的光輸入變?yōu)閺?fù)指數(shù)函數(shù)表示的光輸出的不變線性系統(tǒng)非相干成像系統(tǒng)的本征函數(shù)（1）下面再討論其脈沖響應(yīng)是實(shí)函數(shù)的一類特殊的空間不變線性系統(tǒng)，它把一個實(shí)值輸入變換為一個實(shí)值輸出。這種系統(tǒng)也是一種常見的線性系統(tǒng)，如一般的非相干成像系統(tǒng)。實(shí)函數(shù)的傅里葉變換是厄米型函數(shù)，即其傳遞函數(shù)有

由于

因而由此可見，這種系統(tǒng)振幅傳遞函數(shù)是偶函數(shù)，位相傳遞函數(shù)是奇函數(shù)

非相干成像系統(tǒng)的本征函數(shù)（2）余弦函數(shù)或正弦函數(shù)是這類系統(tǒng)的本征函數(shù)，輸入函數(shù)為余弦函數(shù)對應(yīng)的頻譜為該不變線性系統(tǒng)輸出函數(shù)頻譜則為系統(tǒng)輸出函數(shù)相應(yīng)為

非相干成像系統(tǒng)的本征函數(shù)（3）因而有：這表明，對于脈沖響應(yīng)是實(shí)函數(shù)的空間不變線性系統(tǒng)，余弦輸入將產(chǎn)生同頻率的余弦輸出。同時產(chǎn)生與頻率有關(guān)的振幅衰減和相位移動，其大小決定于傳遞函數(shù)的模和幅角。非相干光學(xué)成象系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)是實(shí)函數(shù)，對這一類空間不變線性系統(tǒng)的分析是建立光學(xué)傳遞函數(shù)理論的基礎(chǔ)。線性不變系統(tǒng)圖解法（1）

給定一個線性不變系統(tǒng)，輸入函數(shù)是有限延伸的三角波對下列傳遞函數(shù)用圖解法確定系統(tǒng)的輸出。（1）（2）計算計算方法，首先求出輸入函數(shù)的頻譜，再用圖解找出輸出函數(shù)的頻譜，最后用反變換計算出系統(tǒng)的輸出。不變線性系統(tǒng)圖解法（2）輸入函數(shù)的頻譜為不變線性系統(tǒng)圖解法（3）輸入函數(shù)的頻譜分以下幾個步驟來完成：1、畫出、和2、畫出卷積3、得到乘積畫出傳遞函數(shù)

畫出輸出函數(shù)版的頻譜（近似）通過簡單計算把剩下來的幾個SINC函數(shù)的反變換化簡，最后畫出輸出函數(shù)圖象級聯(lián)系統(tǒng)

下圖表示的是兩個級聯(lián)在一起的空間不變線性系統(tǒng)，前一系統(tǒng)的輸出恰是后一系統(tǒng)的輸入兩個系統(tǒng)級聯(lián)的傳遞函數(shù)對于總的系統(tǒng)和分別是其輸入和輸出，因為前式代入后式，并利用卷積的結(jié)合律，有總的脈沖響應(yīng)為總的傳遞函數(shù)為

n個空間不變線性系統(tǒng)的級聯(lián)n個空間不變線性系統(tǒng)級聯(lián)的情況，總的等效系統(tǒng)的脈沖響