第十四次文概率

29.兩個(gè)離散變量的函數(shù)的分布（1）P492.24（2）30.兩個(gè)離散變量的函數(shù)的分布計(jì)算9種情形，合并整理得到：若r.vX具有概率密度為常數(shù),則稱

X

服從參數(shù)為

的指數(shù)分布.指數(shù)分布λf(x)x

正態(tài)分布的定義

若r.vX的概率密度為記作

f(x)所確定的曲線叫作正態(tài)曲線.其中和都是常數(shù)，任意，>0，則稱X服從參數(shù)為和的正態(tài)分布.

P92當(dāng)x→∞時(shí)，f(x)→0,x=μσ故f(x)以μ為對(duì)稱軸，并在x=μ處達(dá)到最大值:

決定了圖形的中心位置，決定了圖形中峰的陡峭程度.正態(tài)分布的圖形特點(diǎn)

設(shè)X~,X的分布函數(shù)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.P93

一個(gè)服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量X的線性函數(shù)Y=aX+b仍然服從正態(tài)分布。,則

~N(0,1)

設(shè)定理P94正態(tài)分布表表中給的是x>0的值.當(dāng)x<0時(shí)P260若~(yú)N(0,1)

若

X～N(0,1),一般正態(tài)分布的計(jì)算：時(shí)，可以認(rèn)為，Y的取值幾乎全部集中在區(qū)間內(nèi).

這在統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱作“3準(zhǔn)則”

（三倍標(biāo)準(zhǔn)差原則）.自然界許多指標(biāo)都服從或近似服從正態(tài)分布

成年人的各種生理指標(biāo)：身高、體重、血壓、視力、智商等例一個(gè)班的某門課程的考試成績(jī)例海浪的高度例一個(gè)地區(qū)的日耗電量例各種測(cè)量的誤差例炮彈落點(diǎn)例一個(gè)地區(qū)的家庭年收入例正態(tài)分布的背景和應(yīng)用服從正態(tài)分布的指標(biāo)有什么特點(diǎn)一般說(shuō)，若影響某一數(shù)量指標(biāo)的隨機(jī)因素很多，而每個(gè)因素所起的作用都不太大，則這個(gè)指標(biāo)服從正態(tài)分布.為什么叫“正態(tài)”分布正態(tài)分布密度呈現(xiàn)“中間高，兩頭低”的形態(tài)，它描述了自然界大量存在的隨機(jī)現(xiàn)象，所以正態(tài)分布是自然界的一種“正常狀態(tài)

(normal)”的分布.問(wèn)題？問(wèn)題？Ox-8-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

12345678正態(tài)分布的密度曲線高爾頓釘板試驗(yàn)

例公共汽車車門的高度是按男子與車門頂頭碰頭機(jī)會(huì)在0.01以下來(lái)設(shè)計(jì)的.設(shè)男子身高X～N(170,62),問(wèn)車門高度應(yīng)如何確定?

解:設(shè)車門高度為hcm,按設(shè)計(jì)要求P(X≥h)≤0.01或

P(X<h)≥0.99，下面我們來(lái)求滿足上式的最小的

h.因?yàn)閄～N(170,62),故

P(X<h)=0.99查表得(2.33)=0.9901>0.99所以=2.33,即

h=170+13.98184設(shè)計(jì)車門高度為184厘米時(shí)，可使男子與車門碰頭機(jī)會(huì)不超過(guò)0.01.P(X<h)0.99求滿足的最小的

h.正態(tài)分布的和

服從正態(tài)分布的獨(dú)立變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布。例設(shè)并且相互獨(dú)立，則：

若二維隨機(jī)變量（X,Y）具有概率密度

則稱（X,Y）服從參數(shù)為

的二維正態(tài)分布.其中均為常數(shù),且記作（X,Y）～N().二元正態(tài)分布P97

二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布都是一維正態(tài)分布,并且不依賴于參數(shù)（相關(guān)系數(shù)）.

若（X，Y）服從二維正態(tài)分布，則邊緣分布X與Y獨(dú)立的充分必要條件是X與Y不相關(guān)。

P98，定理4.6定理4.5由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布.

也就是說(shuō),對(duì)于給定的

不同的

對(duì)應(yīng)不同的二維正態(tài)分布,但它們的邊緣分布卻都是一樣的.此例再次表明:兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)分布的聯(lián)合分布是一個(gè)二維正態(tài)分布（相關(guān)系數(shù)

）.

二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布都是一維正態(tài)分布,并且不依賴于參數(shù)（相關(guān)系數(shù)）.

若（X，Y）服從二維正態(tài)分布，則邊緣分布X與Y獨(dú)立的充分必要條件是X與Y不相關(guān)。

兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)分布的聯(lián)合分布是一個(gè)二維正態(tài)分布（相關(guān)系數(shù)

）.二元正態(tài)分布總結(jié)：

二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布都是一維正態(tài)分布,并且不依賴于參數(shù)（相關(guān)系數(shù)）.第五章大數(shù)定理與中心極限定理

研究大量的隨機(jī)現(xiàn)象，常常采用極限形式，由此導(dǎo)致對(duì)極限定理進(jìn)行研究.極限定理的內(nèi)容很廣泛，其中最重要的有兩種:

與大數(shù)定律中心極限定理大數(shù)定律切比雪夫不等式中心極限定理

切比雪夫不等式

設(shè)隨機(jī)變量X有期望E(X)和方差，則對(duì)于任給>0,或

若

越小，則事件{|X-E(X)|<}的概率越大，即隨機(jī)變量X集中在期望附近的可能性越大.P104

切比雪夫不等式對(duì)此作了精確的描述。當(dāng)方差已知時(shí)，切比雪夫不等式給出了r.v

X與它的期望的偏差不小于

的概率的估計(jì)式.如取

可見(jiàn)，對(duì)任給的分布，只要期望和方差

存在，則

r.vX取值偏離E(X)超過(guò)3的概率小于0.111.正態(tài)分布：例

已知正常男性成人血液中，每一毫升白細(xì)胞數(shù)平均是7300，均方差是700.利用切比雪夫不等式估計(jì)每毫升白細(xì)胞數(shù)在5200~9400之間的概率.解：設(shè)每毫升白細(xì)胞數(shù)為X依題意，E(X)=7300,D(X)=7002所求為

P(5200

X

9400)P(5200X9400)=P(5200-7300

X-7300

9400-7300)=P(-2100X-E(X)2100)=P{|X-E(X)|

2100}由切比雪夫不等式

P{|X-E(X)|2100}即估計(jì)每毫升白細(xì)胞數(shù)在5200~9400之間的概率不小于8/9.E(X)=7300,D(X)=7002大數(shù)定律大數(shù)定律的客觀背景幾個(gè)常見(jiàn)的大數(shù)定律大量的隨機(jī)現(xiàn)象下平均結(jié)果具有穩(wěn)定性

大數(shù)定律的客觀背景大量拋擲硬幣正面出現(xiàn)頻率字母使用頻率生產(chǎn)過(guò)程中的廢品率……幾個(gè)常見(jiàn)的大數(shù)定律貝努里大數(shù)定律辛欽大數(shù)定律切比雪夫大數(shù)定律問(wèn)題:伯努利

設(shè)nA是n重貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A發(fā)生的概率，是事件A發(fā)生的頻率.實(shí)踐證明：當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n增大時(shí)，fn(A)逐漸趨向一個(gè)穩(wěn)定值。可將此穩(wěn)定值記作P(A)，作為事件A的概率.P8如何從數(shù)學(xué)的角度描述這一極限？

已知事件的概率，事件的頻率是否確實(shí)（數(shù)學(xué)的證明）可以代替事件的概率？

P107

設(shè)Sn是n重貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A發(fā)生的概率，頻率事件A的概率記？

設(shè)Sn是n重貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A發(fā)生的概率，則對(duì)任給的ε>0，定理（貝努里大數(shù)定律）或P106伯努利

貝努里大數(shù)定律表明，當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)n充分大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率Sn/n與事件A的概率p有較大偏差的概率很小.

貝努里大數(shù)定律提供了通過(guò)試驗(yàn)來(lái)確定事件概率的方法（數(shù)學(xué)基礎(chǔ)）.任給ε>0，

這個(gè)定理說(shuō)明在試驗(yàn)條件不變的情況下,重復(fù)進(jìn)行多次試驗(yàn)時(shí),任何事件A發(fā)生的頻率將趨向（依概率收斂）于概率.頻率事件A的概率？

設(shè)Sn是n重貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A發(fā)生的概率，則對(duì)任給的ε>0，定理（貝努里大數(shù)定律）P106

設(shè)隨機(jī)變量序列X1,X2,…獨(dú)立同分布，具有有限的數(shù)學(xué)期望E(Xi)=μ,i=1,2,…，則對(duì)任給ε>0，定理（辛欽大數(shù)定律）辛欽注：貝努里大數(shù)定律是辛欽大數(shù)定律的特殊情況。P107

辛欽大數(shù)定律為尋找隨機(jī)變量的期望值提供了一條實(shí)際可行的途徑.辛欽定理說(shuō)明我們應(yīng)當(dāng)相信只要反復(fù)試驗(yàn),則一個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均值將趨向于常數(shù),通常就是數(shù)學(xué)期望.

設(shè)隨機(jī)變量序列X1,X2,…獨(dú)立同分布，具有有限的數(shù)學(xué)期E(Xi)=μ,i=1,2,…，則對(duì)任給ε>0，

設(shè)隨機(jī)變量序列X1,X2,…獨(dú)立同分布，具有有限的數(shù)學(xué)期望E(Xi)=μ,i=1,2,…，則對(duì)任給ε>0，定理（辛欽大數(shù)定律）P107定理（切比雪夫大數(shù)定律）

設(shè)

X1,X2,…是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，它們都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即

D(Xi)≤K，i=1,2,…，切比雪夫則對(duì)任意的ε>0，P105

證明切比雪夫大數(shù)定律主要的數(shù)學(xué)工具是切比雪夫不等式.

設(shè)隨機(jī)變量X有期望E(X)和方差，則對(duì)于任給>0,

設(shè)

X1,X2,…是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，它們都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即

D(Xi)≤K，i=1,2,…，則對(duì)任意的ε>0，證明:記:由切比雪夫不等式：