圖形的相似復(fù)習(xí)課

圖形的相似1、了解比例的基本性質(zhì)，黃金分割2、通過具體實(shí)例認(rèn)識(shí)圖形的相似，探索相似圖形的性質(zhì)，知道相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，面積的比等于對(duì)應(yīng)邊比的平方3、了解兩個(gè)三角形相似的概念，探索兩個(gè)三角形相似的條件4、了解圖形的位似，能夠利用位似將一個(gè)圖形放大或縮小5、通過典型實(shí)例觀察和認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)生活中物體的相似，利用圖形的相似解決一些實(shí)際問題6、從微觀的角度去研究相似，用坐標(biāo)來說明這種基本變換知識(shí)要點(diǎn)：相似圖形定義性質(zhì)相似三角形定義判定性質(zhì)應(yīng)用畫法坐標(biāo)AASASSSS定義對(duì)應(yīng)邊成比例對(duì)應(yīng)角相等中位線重心相似比影子平面鏡位似圖形平移旋轉(zhuǎn)軸對(duì)稱相似等基本變換在坐標(biāo)的反映生活中我們會(huì)碰到許多這樣形狀相同的．大小不一定相同的圖形，在數(shù)學(xué)上，我們把具有相同形狀的圖形稱為：相似形相似多邊形的特征:對(duì)于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的長(zhǎng)度的比與另兩條線段的長(zhǎng)度的比相，即=

，那么這四條線段叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段（proportionalsegments）abcd(1)比例基本性質(zhì)...APB點(diǎn)B把線段AC分成兩部分,如果那么稱線段AC被點(diǎn)B

黃金分割,點(diǎn)P為線段AB的

黃金分割點(diǎn),

AP與AB的比值約為0.618,這個(gè)比值稱為

黃金比.PBAPAPAB=思考:如何應(yīng)用二次方程的知識(shí)求出黃金比的數(shù)值?試一試身手1．若a:3=b:7,則(a+3b):2b=

；2．若a=2，b=6，c=4，且a，b，c，d成比例，則d=

；34若x:4=y:5=z:6,且3x+2y+z=56,則x為（）

A8B10C12D16

相似三角形的判定（1）如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似。（2）如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。（3）如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似。相似三角形的性質(zhì)（1）對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等（2）相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比（3）相似三角形的面積比等于相似比的平方（4）相似三角形的對(duì)應(yīng)邊上的高、中線、角平分線的比等于相似比一.填空、選擇題:1、如圖，DE∥BC,AD:DB=2:3,

則△AED和△ABC

的相似比為＿＿＿.2:552cm2、已知三角形甲各邊的比為3:4:6，和它相似的三角形乙的最大邊為10cm，則三角形乙的最短邊為______cm.3、等腰三角形ABC的腰長(zhǎng)為18cm，底邊長(zhǎng)為6cm,在腰AC上取點(diǎn)D,使△ABC∽△BDC,則DC=______.4.

如圖，△ADE∽△ACB,

則DE:BC=_____。5.

如圖，D是△ABC一邊BC

上一點(diǎn)，連接AD,使△ABC∽△DBA的條件是（）.A.AC:BC=AD:BDB.AC:BC=AB:ADC.AB2=CD·BCD.AB2=BD·BC6.D、E分別為△ABC的AB、AC上的點(diǎn)，且DE∥BC，∠DCB=∠A，把每?jī)蓚€(gè)相似的三角形稱為一組，那么圖中共有相似三角形_______組。1:3D4ABEDC7.下列命題正確的是（

D

）A.有一角相等且有兩邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似。B.△ABC的三邊長(zhǎng)為3，4，5.△A’B’C’的三邊為a+3,a+4,a+5.則△ABC∽△A’B’C’。C.若兩個(gè)三角形相似，且有一對(duì)邊相等，則它們的相似比為1.D.都有一內(nèi)角為100°的兩個(gè)等腰三角形相似。二、證明題：1.

D為△ABC中AB邊上一點(diǎn)，∠ACD=∠ABC.

求證：AC2=AD·AB.2.△ABC中,∠BAC是直角，過斜邊中點(diǎn)M而垂直于斜邊BC的直線交CA的延長(zhǎng)線于E，交AB于D，連AM.求證：①△MAD∽

△MEA②AM2=MD·MEEABCDMABCD定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。ABCDE重心：三角形三條邊上的中線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)就是三角形的重心，重心與一邊中點(diǎn)的連線的長(zhǎng)是對(duì)應(yīng)中線長(zhǎng)的三分之一梯形的中位線：梯形兩腰中點(diǎn)連線叫做梯形的中位線ABCDEF求梯形的比例問題時(shí)，可以利用化歸思想，把梯形化歸到三角形問題去解決2、已知:△ABC三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,它的三條中位線組成△DEF,△DEF的三條中位線又組成△HPN,則△HPN的周長(zhǎng)等于——————,為△ABC周長(zhǎng)的——,

面積為△ABC面積的——,1、已知:三角形的各邊分別為6cm,8cm,10cm，則連結(jié)各邊中點(diǎn)所成三角形的周長(zhǎng)為——cm,面積為——cm2,為原三角形面積的——。6108354BCADEFHPN相似三角形的應(yīng)用：１、利用三角形相似，可證明角相等；線段成比例（或等積式）；２、利用三角形相似，求線段的長(zhǎng)等3、利用三角形相似，可以解決一些不能直接測(cè)量的物體的長(zhǎng)度。如求河的寬度、求建筑物的高度等。做一做3、如圖，王華在晚上由路燈A走向路燈B，當(dāng)他走到點(diǎn)

P時(shí)，發(fā)現(xiàn)身后他影子的頂部剛好接觸到路燈A的底部，當(dāng)他向前再行12m到達(dá)點(diǎn)Q時(shí)，發(fā)現(xiàn)身前他影子的頂部剛好接觸到路燈B的底部。已知王華的身高是1.6m，兩個(gè)路燈的高度都是9.6m，且AP=QB=xm。（1）求兩個(gè)路燈之間的距離；（2）當(dāng)王華走到路燈B時(shí)，他在路燈A下的影長(zhǎng)是多少？APQB解：xx121.69.6（1）由題得：x2x+12=1.69.6解得：x=3m∴兩個(gè)路燈之間的距離是18m做一做（2）當(dāng)王華走到路燈B時(shí)，他在路燈A下的影長(zhǎng)是多少？解：1.69.618x設(shè)他的影子長(zhǎng)為xm，則由題得：x18+x=1.69.6解得x=3.6m∴他的影子長(zhǎng)為3.6m？AB做一做用實(shí)戰(zhàn)來證明自己4、教學(xué)樓旁邊有一顆樹，學(xué)習(xí)了相似三角形后，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們想利用樹影測(cè)量樹高。課外活動(dòng)時(shí)在陽(yáng)光下他們測(cè)得一根長(zhǎng)為1m的竹竿的影長(zhǎng)是0.9m，但當(dāng)他們馬上測(cè)量樹高時(shí)，發(fā)現(xiàn)樹的影子不全落在地面上，有一部分落在教學(xué)樓的墻壁上（如圖），經(jīng)過一番爭(zhēng)論，小組同學(xué)認(rèn)為繼續(xù)測(cè)量也可以求出樹高。他們測(cè)得落在地面的影長(zhǎng)2.7m，落在墻壁上的影長(zhǎng)1.2m，請(qǐng)你和他們一起算一下，樹高為多少？DBACEHFG解：首先在圖上標(biāo)上字母，過點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為E根據(jù)題意，可得：△AEC∽△FGH2.7m2.7m1.2m1.2m1m0.9AEFG=CEHGAE1=2.70.9AE=3m∴樹高AB=3+1.2=4.2m5、如圖，已知：AB⊥DB于點(diǎn)B，CD⊥DB于點(diǎn)D，AB=6，CD=4，BD=14.問：在DB上是否存在P點(diǎn)，使以C、D、P為頂點(diǎn)的三角形與以P、B、A為頂點(diǎn)的三角形相似？如果存在，計(jì)算出點(diǎn)P的位置；如果不存在，請(qǐng)說明理由。4614ADCB解（1）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P，使△ABP∽△CDP設(shè)PD=x，則PB=14―x，∴6：4=（14―x）:x則有AB:CD=PB:PD∴x=5.6P6x14―x4ADCBP（2）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P,使△ABP∽△PDC,則則有AB:PD=PB:CD設(shè)PD=x，則PB=14―x，∴6：x=（14―x）:4∴x=2或x=12∴x=2或x=12或x=5.6時(shí)，以C、D、P為頂點(diǎn)的三角形與以P、B、A為頂點(diǎn)的三角形相似46x14―xDBCAp鞏固提高：在?ABC中，AB=8cm,BC=16cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向B點(diǎn)以2cm/秒的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC向點(diǎn)C以4cm/秒的速度移動(dòng)，如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，經(jīng)幾秒鐘?BPQ與?BAC相似？分析：由于?PBQ與?ABC有公共角∠B；所以若?PBQ與?ABC相似，則有兩種可能一種情況為,即PQ∥AC;另一種情況為

BCAQP8162cm/秒4cm/秒如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且是每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形。這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心.這時(shí)的相似比又稱為位似比.性質(zhì)：位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比二、位似圖形知識(shí)回顧兩圖形中對(duì)應(yīng)邊有何關(guān)系？對(duì)應(yīng)角呢?

這兩個(gè)多邊形相似嗎？相似比是多少？1．任取一點(diǎn)O；2．以點(diǎn)O為端點(diǎn)作射線OA、OB、OC、…；3．分別在射線OA、OB、OC、…上取點(diǎn)A’、

B’、C’、…，使：

OA’:OA=OB’:OB=OC’:OC=…=1.5;4．連接A’B’、B’C’、…，得到所要畫的多邊形A’B’C’D’E’.要畫四邊形ABCD的位似圖形，還可以任取一點(diǎn)O，如圖18.4.2，作直線OA、OB、OC、OD，在點(diǎn)O的另一側(cè)取點(diǎn)A′、B′、C′、D′，使OA′∶OA＝OB′∶OB＝OC′∶OC＝OD′∶OD＝2，也可以得到放大到2倍的四邊形A′B′C′D′．觀察觀察下面三組圖形，看看哪兩個(gè)圖形是位似圖形，并指出位似圖形的位似中心．1、已知：如圖，三角形ABC中，D是AC的中點(diǎn)，AE‖B