矩陣的初等變換與線性方程組的求解

矩陣的初等變換與線性方程組的求解－－高斯消去法

在本部分，我們將對(duì)中學(xué)所接觸過的消元法求解線性方程組的過程用矩陣的初等變換來表示，并且對(duì)方程組的解的情況給出相應(yīng)的判斷標(biāo)準(zhǔn)。1.線性方程組的矩陣形式表示引入如下三個(gè)矩陣

利用矩陣的乘法,線性方程組可以寫成如下的矩陣形式：AX=b定義

解向量與解集合

方程組的一組解稱為方程組的一個(gè)解向量，所有解向量的全體構(gòu)成的集合稱為方程組的解集合(解集)定義

方程組相容

方程組有解，我們稱這個(gè)方程組是相容的，否則，稱之為不相容的。定義

增廣矩陣定義齊次方程組

AX=0;定義非齊次方程組

AX=b,b0(b中至少有一分量不為零)2消元法與矩陣的初等變換對(duì)于如上所示的最一般形式的線性方程組：在初等數(shù)學(xué)中，常常用消元法求解。消元法的基本思想是通過消元變形把已知方程組化成容易求解的同解方程組。在解未知數(shù)較多的方程組時(shí)，需要使消元法步驟規(guī)范而又簡便。問題方程組何時(shí)有解？若有解，有多少解？如何求出其全部解？

例1解線性方程組解第一步使第一個(gè)方程中的系數(shù)為1．與第四個(gè)方程的位置，交換第一個(gè)方程可得

第二步

把第一個(gè)方程以下的各方程中的消去．第二個(gè)方程減去第一個(gè)方程,第三個(gè)方程減去第一個(gè)方程

，第四個(gè)方程減去第二個(gè)方程的２倍，可得

第三步

使第二方程中的系數(shù)為1．第二個(gè)方程加上第三方程后再乘以（－1），可得

第四步

把第二個(gè)方程以下的方程中的都消去．第三個(gè)方程加上第二個(gè)方程的4倍，第四個(gè)方程減去第二個(gè)方程的3倍，可得

第五步

把第三個(gè)方程以下的方程中的消去．第四個(gè)方程加上第三個(gè)方程，可得

(2.4)

第六步

用“回代”方法求解．經(jīng)第五步后得到的方程組(2.4)與原方程組等價(jià)．由方程組(2.4)的第三個(gè)方程得，代入第二個(gè)方程得；再把代入第一個(gè)方程可得．于是，方程組的解為

.類似上面形式的方程組稱為階梯形方程組．一般地，一個(gè)階梯形線性方程組應(yīng)該滿足如下兩個(gè)條件：

（1）如果方程組中某一方程的各項(xiàng)系數(shù)全為零，那么它下方的所有方程（如果存在）的各項(xiàng)系數(shù)全為零；

（2）如果方程組中某一方程中至少有一項(xiàng)的系數(shù)不為零，設(shè)第一個(gè)系數(shù)不為零的項(xiàng)是第項(xiàng)，那么此方程下方的所有方程（如果存在）的前項(xiàng)的系數(shù)全為零．例如線性方程組

與

上述的消元過程中，我們對(duì)線性方程組施行了下列三種變換：（1）交換兩個(gè)方程的位置；

（2）

以非零數(shù)k乘一個(gè)方程；（3）

把某一個(gè)方程的k倍加到另一個(gè)方程上．這三種變換稱為線性方程組的初等變換．

任意線性方程組若干次初等變換階梯方程組Gauss消元法：原方程組階梯方程組回代得解

在例1的消元過程中，我們對(duì)方程組進(jìn)行的初等變換實(shí)際上只對(duì)方程組中未知量的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算，未知量并未參與運(yùn)算．因而對(duì)方程組施行的初等變換可以用相應(yīng)的矩陣的變換來表示．

回顧前面的方程組

三、利用矩陣初等行變換解線性方程組原方程組增廣矩陣使第一個(gè)方程中的系數(shù)為1．與第四個(gè)方程的位置交換第一個(gè)方程使第一行第一個(gè)元素為1，交換的第一行與第行的位置

第一步

把(1)以下的各方程中的消去．(2)-(1),(3)-(1),(4)-2(2)

第二步在中，第二行減去第一行，第三行減去第一行，第四行減去第一行的2倍

使第二方程中的系數(shù)為1．第二個(gè)方程加上第三方程后再乘（－1）第三步在中，使第二行第一元素為1，第二行加上第三行后再乘以（）

把第二個(gè)方程以下的方程中的都消去．第三個(gè)方程加上第二個(gè)方程的4倍，第四個(gè)方程減去第二個(gè)方程的3倍

第四步在中，第三行加上第二行的4倍，第四行減去第二行的3倍

把第三個(gè)方程以下的方程中的消去．第四個(gè)方程加上第三個(gè)方程

在中，第四行加上第三行

第五步

第六步

用“回代”方法求解．階梯形方程組行階梯形矩陣（1）如果某一行元素全為零，那么它下方的所有行（如果存在)元素也全為零；（2）某一行元素不全為零，并且第一個(gè)不為零的元素位于第列，那么它下方的所有行（如果存在）的前個(gè)元素全為零．行階梯形矩陣一般地，一個(gè)行階梯形矩陣應(yīng)該滿足以下兩個(gè)條件：稱為矩陣的初等行變換

(1)交換兩行的位置(交換第兩行,記作)(2)以非零數(shù)乘某一行（以乘第行,記作）;(3)把某一行的倍加到另一行上（把第行的倍加到第行上，記作）例如矩陣與都是行階梯形矩陣．不是行階梯形矩陣．總結(jié)上述的矩陣變換過程，有以下三種變換：利用矩陣的初等行變換解線性方程組的一般方法．原方程組增廣矩陣對(duì)應(yīng)方程組行階梯矩陣回代求解任何線性方程組都可通過方程初等變換化為階梯方程組任何矩陣都可以通過矩陣初等變換化為階梯形矩陣

所以：

線性方程組可以通過其對(duì)應(yīng)的增廣矩陣來解例2解線性方程組

．

解

對(duì)方程組的增廣矩陣依次施行下列初等行變換，使它化為行階梯形矩陣．

．這個(gè)矩陣的最后一行除最后一個(gè)元素不為零外其余元素都為零，它對(duì)應(yīng)一個(gè)矛盾方程

原方程組無解例3解方程組

解

對(duì)方程組的增廣矩陣

依次施行下列初等行變換，使它化為行階梯形矩陣已是行階梯形矩陣從最后一個(gè)方程可得

其中可取任意實(shí)數(shù)．代入第二個(gè)方程，得到

．再把代入第一個(gè)方程，得到

最后一個(gè)矩陣它對(duì)應(yīng)的方程組是把令，得方程組的解為

方程組有無窮多個(gè)解．例4解線性方程組

．解對(duì)方程組的增廣矩陣依次施行以下初等行變換，使它化為行階梯形矩陣．它對(duì)應(yīng)的方程組是

,用回代方法得原方程組的解．方程組有唯一解最后一個(gè)矩陣是行階梯形矩陣方程組解的三種情況:無解無窮多解唯一解出現(xiàn)了矛盾方程方程個(gè)數(shù)比未知數(shù)的個(gè)數(shù)少方程個(gè)數(shù)和未知數(shù)的個(gè)數(shù)一樣多非零行個(gè)數(shù)比未知數(shù)個(gè)數(shù)少非零行個(gè)數(shù)和未知數(shù)個(gè)數(shù)一樣多生活中應(yīng)保持一份幽默感生活中應(yīng)保持一份幽默感生活中應(yīng)保持一份幽默感一般線性方程組的解也有：無解，無窮多解，唯一解三種不同情況．

．(2.5)對(duì)它的增廣矩陣施行若干次初等行變換，使它化為行階梯形矩陣

(2.6)設(shè)線性方程組如何判斷呢？其中根據(jù)方程求解的方法可得情形1若可得到矛盾方程方程無解方程有唯一解若情形2非零行個(gè)數(shù)等于未知數(shù)個(gè)數(shù)且情形3若非零行個(gè)數(shù)小于未知數(shù)個(gè)數(shù)方程有無窮解且無窮解的情形，我們作一討論階梯矩陣若且對(duì)應(yīng)的方程組為未知量任取一組值，例如可得未知量確定的一組值于是為方程組的一個(gè)解．由未知量取值的任意性，線性方程組未知量可以自由取值，所以稱為自由未知量的取值．有無窮多個(gè)解．的值依賴于未知量自由未知量的個(gè)數(shù)為

未知量的個(gè)數(shù)非零行的個(gè)數(shù)總是它的解（稱為方程組的零解）由于故齊次線性方程組總是相容的根據(jù)前面的討論，對(duì)于齊次線性方程組解的情況可得如下定理

對(duì)齊次方程組定理

對(duì)齊次線性方程組的系數(shù)矩陣施行有限次初等行變換，使它化為行階梯形矩陣．那么只有零解非零行的行數(shù)等于方程組未知量的個(gè)數(shù)；(2)

有非零解非零行的行數(shù)小于未知量的個(gè)數(shù)．從而原方程與下列方程組同解為階梯形矩陣解得方程最后求解回代的過程可以通過如下的方法來實(shí)現(xiàn)：看前面的例題對(duì)最后的行階梯矩陣?yán)^續(xù)進(jìn)行矩陣的初等變換于是，由最后一個(gè)矩陣直接寫出原方程組的解

．行最簡矩陣（1）非零行（元素不全為零的行）的第一非零元素都是1；（2）非零行的第一個(gè)非零元素所在列的其余元素全為零．一般地，一個(gè)行最簡形矩陣是滿足下列兩個(gè)條件的行階梯形矩陣：這個(gè)方法稱為線性方程組的高斯一若當(dāng)（Gauss--Jordan）消元法，它是一種改進(jìn)了的高斯消元法．任意矩陣行階梯形矩陣從左至右，從上至下從右至左，從下至上行最簡形矩陣解線性方程組的最終一般步驟原方程組增廣矩陣判斷解的情況行階梯矩陣化最簡形停止有解無解例5解線性方程組

解對(duì)增廣矩陣B施行初等行變換，使它化為行階梯形矩陣．

最后一個(gè)矩陣為行最簡形矩陣，由此可以直接寫出原方程組的唯一的解

最后一個(gè)矩陣為行階梯形矩陣，無矛盾方程，且非零行的個(gè)數(shù)和未知數(shù)的個(gè)數(shù)一樣多，故原方程組有唯一的解．繼續(xù)對(duì)施行下列初等行變換，使它化為行最簡形矩陣．

．

例7解齊次線性方程組

解對(duì)方程組的系數(shù)矩陣依次作下列初等行變換，使它化為行最簡形矩陣．最后一個(gè)矩陣是行最簡形矩陣，它對(duì)應(yīng)的方程組