廣東省江門市2023年高考第一次模擬考試數學理

廣東省江門市2023屆高三第一次模擬測試數學（理科）本試卷共4頁，21題，滿分150分，測試用時120分鐘．參考公式：錐體的體積公式，其中是錐體的底面積，是錐體的高．用最小二乘法求線性回歸方程系數公式，．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．⒈已知集合，，則集合的元素的個數是A．個B．個C．個D．個⒉已知復數的共軛復數（其中是虛數單位），則A．B．C．D．⒊已知函數是定義在上的奇函數，當時，．則當時，A．B．C．D．⒋數列的前項和為，已知，則A．B．C．D．⒌給定下列四個命題：①、是兩異面直線，那么經過直線可以作無數個與直線平行的平面。②、是任意兩個平面，那么一定存在平面，滿足且。③、是長方體互相平行的兩條棱，將長方體展開，那么在展開圖中，、對應的線段所在直線互相平行。④已知任意直線和平面，那么一定存在平面，滿足且。其中，為真命題的是A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④⒍在平面直角坐標系中，點，，則A．B．C．D．⒎防疫站有A、B、C、D四名內科醫(yī)生和E、F兩名兒科醫(yī)生，現(xiàn)將他們分成兩個3人小組分別派往甲、乙兩地指導疾病防控。兩地都需要既有內科醫(yī)生又有兒科醫(yī)生，而且A只能去乙地。則不同的選派方案共有A．種B．種C．種D．種⒏在平面直角坐標系中，不等式組確定的平面區(qū)域為，在中任取一點，則點滿足的概率為A．B．C．D．二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分．開始是否①開始是否①②輸出結束輸入、、…、圖1⒐平面向量、中，，，則向量．⒑在陽光體育活動中，全校學生積極參加室外跑步。高三⑴班每個學生上一個月跑步的路程從大到小排列依次是、、、…、（任意、、…、，），圖1是統(tǒng)計該班上一個月跑步長度前10名學生平均跑步路程的程序框圖。則圖中判斷框①應填，處理框（執(zhí)行框）②應填．⒒從圓外一點作這個圓的切線，設兩條切線之間所夾的角為，則．⒓對于具有線性相關關系的一組數據：用最小二乘法求得關于的線性回歸方程經過一點（樣本中心點）是．⒔不等式的解集是．㈡選做題（14、15題，考生只能從中選做一題）·圖2⒕（坐標系與參數方程選做題）在以為極點的極坐標系中，直線的極坐標方程是，直線與極軸相交于點，以·圖2為直徑的圓的極坐標方程是。⒖（幾何證明選講選做題）如圖2，是圓的內接三角形，圓的半徑，，，是圓的切線，則．三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．⒗（本小題滿分12分）已知（是常數，），的圖象經過點．⑴求的值；⑵在等腰中，，，求．⒘（本小題滿分12分）某個猜答案游戲，組織者將提出相互獨立的三個選擇題，每題有四個選項，其中只有一個是正確的，游戲規(guī)定前兩個選擇題至少答對一個才有資格答第三題。甲將回答的(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)三題的分值分別是10、15、15，根據自己的知識經驗，甲可以排除(Ⅰ)題的2個錯誤選項、排除(Ⅱ)題的1個錯誤選項，不能排除(Ⅲ)題的錯誤選項。假設甲在每題剩下選項中隨機選擇，三題所得總分為。⑴若組織者按(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)的順序出題，求的分布列和數學期望；⑵若組織者不按(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)的順序出題，的數學期望是否都相等？（第⑵問共1分，直接寫出“是”或“否”即可，不必具體計算）⒙（本小題滿分14分）如圖3，是邊長為的等邊三角形，、分別是、邊上一點，。將沿折成直二面角，連接、，得到四棱錐（如圖4），其中平面與平面相交于直線．⑴求證：；⑵若，求二面角的大??；圖4圖3⑶若，求四棱錐的體積．圖4圖3⒚（本小題滿分14分）已知橢圓：的離心率為，過坐標原點且斜率為的直線與相交于、，．⑴求、的值；⑵若動圓與橢圓和直線都沒有公共點，試求的取值范圍．⒛（本小題滿分14分）已知函數，是常數．⑴若，曲線上點處的切線與直線平行，求點的坐標；⑵試證明，對任意常數，函數在區(qū)間存在零點．21（本小題滿分14分）已知數列，，對任意，．⑴求數列的通項公式；⑵設數列的前項和為，試證明：時，．理科數學評分參考一、選擇題BCADDCAB二、填空題⒐；⒑，；⒒；⒓；⒔；⒕；⒖．三、解答題⒗⑴依題意……2分，，因為，，所以……3分，，……4分．⑵，即……6分，，，所以，……8分，是等腰三角形，……9分，由正弦定理……11分，得…12分．⒘⑴甲答對(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)三題的概率分別是、、……1分，的取值為、、、、、……2分，，，，，，……8分，所以的分布列為……9分所以的數學期望……10分，……11分⑵否……12分．⒙⑴，，，所以……2分，因為，，所以……3分，所以……4分．⑵取、的中點、，連接、、……5分，因為是邊長為的等邊三角形，，所以，，，從而，……6分，所以，，二面角的平面角……8分，在中，因為是直二面角，，所以，……9分，又因為，所以，即二面角的大小為……10分．⑶，……11分，四棱錐的底面積……12分，四棱錐的體積……14分．⒚⑴依題意，：……1分，不妨設設、（）……2分，由得，……3分，所以……5分，解得，……6分．⑵由消去得……7分，動圓與橢圓沒有公共點，當且僅當或……9分，解得或……10分。動圓與直線沒有公共點當且僅當，即……12分。解或……13分，得的取值范圍為……14分．⒛⑴設，時，……1分，直線的斜率……2分，依題意，即……3分，解得或……4分，所求點為或……6分．⑵，在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，，……7分，……8分，解得，……9分，，。若，則，是在區(qū)間上的一個零點……10分。若，則，