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2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè),滿足約束條件,則的最大值是()A. B. C. D.2.函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.3.設(shè),,則()A. B.C. D.4.某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的體積為A. B. C.2 D.5.已知,則()A. B. C. D.6.已知是平面內(nèi)互不相等的兩個(gè)非零向量,且與的夾角為,則的取值范圍是()A. B. C. D.7.已知,,分別為內(nèi)角,,的對(duì)邊,,,的面積為,則()A. B.4 C.5 D.8.已知雙曲線C:=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,過原點(diǎn)O作斜率為的直線交C的右支于點(diǎn)A,若|OA|=|OF|,則雙曲線的離心率為()A. B. C.2 D.+19.若函數(shù)f(x)=x3+x2-在區(qū)間(a,a+5)上存在最小值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.[-5,0) B.(-5,0) C.[-3,0) D.(-3,0)10.的展開式中的系數(shù)是()A.160 B.240 C.280 D.32011.在條件下,目標(biāo)函數(shù)的最大值為40,則的最小值是()A. B. C. D.212.已知,是橢圓的左、右焦點(diǎn),過的直線交橢圓于兩點(diǎn).若依次構(gòu)成等差數(shù)列,且,則橢圓的離心率為A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在直角坐標(biāo)系中,某等腰直角三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為,函數(shù)的圖象經(jīng)過該三角形的三個(gè)頂點(diǎn),則的解析式為___________.14.已知雙曲線的一條漸近線為,且經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn),則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為______.15.若,則____.16.已知函數(shù)為上的奇函數(shù),滿足.則不等式的解集為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知,,,,證明:(1);(2).18.(12分)某學(xué)校為了解全校學(xué)生的體重情況,從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人的體重?cái)?shù)據(jù),得到如下頻率分布直方圖,以樣本的頻率作為總體的概率.(1)估計(jì)這100人體重?cái)?shù)據(jù)的平均值和樣本方差;(結(jié)果取整數(shù),同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)(2)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生,記為體重在的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(3)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為,該校學(xué)生的體重近似服從正態(tài)分布.若,則認(rèn)為該校學(xué)生的體重是正常的.試判斷該校學(xué)生的體重是否正常?并說明理由.19.(12分)已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離比到軸的距離多.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;(2)設(shè),是軌跡在上異于原點(diǎn)的兩個(gè)不同點(diǎn),直線和的傾斜角分別為和,當(dāng),變化且時(shí),證明:直線恒過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).20.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)=ax2–a–lnx,g(x)=,其中a∈R,e=2.718…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性;(Ⅱ)證明:當(dāng)x>1時(shí),g(x)>0;(Ⅲ)確定a的所有可能取值,使得f(x)>g(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)恒成立.21.(12分)已知正實(shí)數(shù)滿足.(1)求的最小值.(2)證明:22.(10分)如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ABC=90°,AB=AA1,M,N分別是AC,B1C1的中點(diǎn).求證:(1)MN∥平面ABB1A1;(2)AN⊥A1B.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,由目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,通過平移即可求z的最大值.【詳解】作出不等式組的可行域,如圖陰影部分,作直線:在可行域內(nèi)平移當(dāng)過點(diǎn)時(shí),取得最大值.由得:,故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法,屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】
由計(jì)算出的取值范圍,利用正弦函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)的值域.【詳解】,,,因此,函數(shù)的值域?yàn)?故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)在區(qū)間上的值域的求解,解答的關(guān)鍵就是求出對(duì)象角的取值范圍,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】
由不等式的性質(zhì)及換底公式即可得解.【詳解】解:因?yàn)?,,則,且,所以,,又,即,則,即,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)及換底公式,屬基礎(chǔ)題.4、A【解析】由給定的三視圖可知,該幾何體表示一個(gè)底面為一個(gè)直角三角形,且兩直角邊分別為和,所以底面面積為高為的三棱錐,所以三棱錐的體積為,故選A.5、D【解析】
根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,即當(dāng)?shù)讛?shù)大于1時(shí)單調(diào)遞增,當(dāng)?shù)讛?shù)大于零小于1時(shí)單調(diào)遞減,對(duì)選項(xiàng)逐一驗(yàn)證即可得到正確答案.【詳解】因?yàn)?,所以,所以是減函數(shù),又因?yàn)椋?,,所以,,所以A,B兩項(xiàng)均錯(cuò);又,所以,所以C錯(cuò);對(duì)于D,,所以,故選D.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查的是應(yīng)用不等式的性質(zhì)和指對(duì)函數(shù)的單調(diào)性比較大小,兩個(gè)式子比較大小的常用方法有:做差和0比,作商和1比,或者直接利用不等式的性質(zhì)得到大小關(guān)系,有時(shí)可以代入一些特殊的數(shù)據(jù)得到具體值,進(jìn)而得到大小關(guān)系.6、C【解析】試題分析:如下圖所示,則,因?yàn)榕c的夾角為,即,所以,設(shè),則,在三角形中,由正弦定理得,所以,所以,故選C.考點(diǎn):1.向量加減法的幾何意義;2.正弦定理;3.正弦函數(shù)性質(zhì).7、D【解析】
由正弦定理可知,從而可求出.通過可求出,結(jié)合余弦定理即可求出的值.【詳解】解:,即,即.,則.,解得.,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理,考查了余弦定理,考查了三角形的面積公式,考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.本題的關(guān)鍵是通過正弦定理結(jié)合已知條件,得到角的正弦值余弦值.8、B【解析】
以為圓心,以為半徑的圓的方程為,聯(lián)立,可求出點(diǎn),則,整理計(jì)算可得離心率.【詳解】解:以為圓心,以為半徑的圓的方程為,聯(lián)立,取第一象限的解得,即,則,整理得,則(舍去),,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的求解,考查學(xué)生的計(jì)算能力,是中檔題.9、C【解析】
求函數(shù)導(dǎo)數(shù),分析函數(shù)單調(diào)性得到函數(shù)的簡(jiǎn)圖,得到a滿足的不等式組,從而得解.【詳解】由題意,f′(x)=x2+2x=x(x+2),故f(x)在(-∞,-2),(0,+∞)上是增函數(shù),在(-2,0)上是減函數(shù),作出其圖象如圖所示.令x3+x2-=-,得x=0或x=-3,則結(jié)合圖象可知,解得a∈[-3,0),故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而研究函數(shù)的最值,屬于??碱}型.10、C【解析】
首先把看作為一個(gè)整體,進(jìn)而利用二項(xiàng)展開式求得的系數(shù),再求的展開式中的系數(shù),二者相乘即可求解.【詳解】由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式可得的第項(xiàng)為,令,則,又的第為,令,則,所以的系數(shù)是.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開式指定項(xiàng)的系數(shù),掌握二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】
畫出可行域和目標(biāo)函數(shù),根據(jù)平移得到最值點(diǎn),再利用均值不等式得到答案.【詳解】如圖所示,畫出可行域和目標(biāo)函數(shù),根據(jù)圖像知:當(dāng)時(shí),有最大值為,即,故..當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃中根據(jù)最值求參數(shù),均值不等式,意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.12、D【解析】
如圖所示,設(shè)依次構(gòu)成等差數(shù)列,其公差為.根據(jù)橢圓定義得,又,則,解得,.所以,,,.在和中,由余弦定理得,整理解得.故選D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
結(jié)合題意先畫出直角坐標(biāo)系,點(diǎn)出所有可能組成等腰直角三角形的點(diǎn),采用排除法最終可確定為點(diǎn),再由函數(shù)性質(zhì)進(jìn)一步求解參數(shù)即可【詳解】等腰直角三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)可能的位置如下圖中的點(diǎn),其中點(diǎn)與已有的兩個(gè)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)重復(fù),舍去;若為點(diǎn)則點(diǎn)與點(diǎn)的中間位置的點(diǎn)的縱坐標(biāo)必然大于或小于,不可能為,因此點(diǎn)也舍去,只有點(diǎn)滿足題意.此時(shí)點(diǎn)為最大值點(diǎn),所以,又,則,所以點(diǎn),之間的圖像單調(diào),將,代入的表達(dá)式有由知,因此.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查由三角函數(shù)圖像求解解析式,數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題14、【解析】
設(shè)以直線為漸近線的雙曲線的方程為,再由雙曲線經(jīng)過拋物線焦點(diǎn),能求出雙曲線方程.【詳解】解:設(shè)以直線為漸近線的雙曲線的方程為,∵雙曲線經(jīng)過拋物線焦點(diǎn),∴,∴雙曲線方程為,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線方程的求法,考查拋物線、雙曲線簡(jiǎn)單性質(zhì)的合理運(yùn)用,屬于中檔題.15、【解析】
由,得出,根據(jù)兩角和與差的正弦公式和余弦公式化簡(jiǎn),再利用齊次式即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,所以,所?故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值,利用二倍角正切公式、兩角和與差的正弦公式和余弦公式,以及運(yùn)用齊次式求值,屬于對(duì)公式的考查以及對(duì)計(jì)算能力的考查.16、【解析】
構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性,再將所求不等式變形為,利用函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】設(shè),則,設(shè),則.當(dāng)時(shí),,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增.所以,函數(shù)在處取得極小值,也是最小值,即,,,,即,所以,函數(shù)在上為增函數(shù),函數(shù)為上的奇函數(shù),則,,則不等式等價(jià)于,又,解得.因此,不等式的解集為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的求解,構(gòu)造函數(shù),求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強(qiáng).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】
(1)先由基本不等式可得,而,即得證;(2)首先推導(dǎo)出,再利用,展開即可得證.【詳解】證明:(1),,,(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)).(2),,,,,,,.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的證明,考查基本不等式的運(yùn)用,考查邏輯推理能力,屬于中檔題.18、(1)60;25(2)見解析,2.1(3)可以認(rèn)為該校學(xué)生的體重是正常的.見解析【解析】
(1)根據(jù)頻率分布直方圖可求出平均值和樣本方差;(2)由題意知服從二項(xiàng)分布,分別求出,,,,進(jìn)而可求出分布列以及數(shù)學(xué)期望;(3)由第一問可知服從正態(tài)分布,繼而可求出的值,從而可判斷.【詳解】解:(1)(2)由已知可得從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,體重在的概率為0.7.隨機(jī)拍取3人,相當(dāng)于3次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn),隨機(jī)交量服從二項(xiàng)分布,則,,,,所以的分布列為:01230.0270.1890.4410.343數(shù)學(xué)期望(3)由題意知服從正態(tài)分布,則,所以可以認(rèn)為該校學(xué)生的體重是正常的.【點(diǎn)睛】本題考查了由頻率分布直方圖求進(jìn)行數(shù)據(jù)估計(jì),考查了二項(xiàng)分布,考查了正態(tài)分布.注意,統(tǒng)計(jì)類問題,如果題目中沒有特殊說明,則求出數(shù)據(jù)的精度和題目中數(shù)據(jù)的小數(shù)后位數(shù)相同.19、(1)或;(2)證明見解析,定點(diǎn)【解析】
(1)設(shè),由題意可知,對(duì)的正負(fù)分情況討論,從而求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;(2)設(shè)其方程為,與拋物線方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理得到,所以,所以直線的方程可表示為,即,所以直線恒過定點(diǎn).【詳解】(1)設(shè),動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比到軸的距離多,,時(shí),解得,時(shí),解得.動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為或(2)證明:如圖,設(shè),,由題意得(否則)且,所以直線的斜率存在,設(shè)其方程為,將與聯(lián)立消去,得,由韋達(dá)定理知,,①顯然,,,,將①式代入上式整理化簡(jiǎn)可得:,所以,此時(shí),直線的方程可表示為,即,所以直線恒過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題主要考查了動(dòng)點(diǎn)軌跡,考查了直線與拋物線的綜合,是中檔題.20、(Ⅰ)當(dāng)時(shí),<0,單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),>0,單調(diào)遞增;(Ⅱ)詳見解析;(Ⅲ).【解析】試題分析:本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性,解決恒成立問題,考查學(xué)生的分析問題、解決問題的能力和計(jì)算能力.第(Ⅰ)問,對(duì)求導(dǎo),再對(duì)a進(jìn)行討論,判斷函數(shù)的單調(diào)性;第(Ⅱ)問,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,從而證明結(jié)論,第(Ⅲ)問,構(gòu)造函數(shù)=(),利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,從而求解a的值.試題解析:(Ⅰ)<0,在內(nèi)單調(diào)遞減.由=0有.當(dāng)時(shí),<0,單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),>0,單調(diào)遞增.(Ⅱ)令=,則=.當(dāng)時(shí),>0,所以,從而=>0.(Ⅲ)由(Ⅱ),當(dāng)時(shí),>0.當(dāng),時(shí),=.故當(dāng)>在區(qū)間內(nèi)恒成立時(shí),必有.當(dāng)時(shí),>1.由(Ⅰ)有,而,所以此時(shí)>在區(qū)間內(nèi)不恒成立.當(dāng)時(shí),令=().當(dāng)時(shí),=.因此,在區(qū)間單調(diào)遞增.又因?yàn)?0,所以當(dāng)時(shí),=>0,即>恒成立.綜上,.【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的計(jì)算,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性,解決恒成立問題【名師點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性,解決恒成立問題,考查學(xué)生的分析問題、解決問題的能力和計(jì)算能力.求函數(shù)的單調(diào)性,基本方法是求,解方程,再通過的正負(fù)確定的單調(diào)性;要證明不等式,一般證明的最小值大于0,為此要研究函數(shù)的單調(diào)性.本題中注意由于函數(shù)的極小值沒法確定,因此要利用已經(jīng)求得的結(jié)論縮小參數(shù)取值范圍.比較新穎,學(xué)生不易想到,有一定的難度.21、(1);(2)見解析【解析】
(1)利用乘“1”法,結(jié)合基本不等式求得結(jié)果.(2)直接利用基本不等式及乘“1”法,證明即可.【詳解】(1)因?yàn)?,所以因?yàn)椋裕ó?dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立),所以(2)證明:因?yàn)?,所以故(?dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)
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