湖南省岳陽(yáng)縣一中、湘陰縣一中2023屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知等比數(shù)列滿足,,則()A. B. C. D.2.有一圓柱狀有蓋鐵皮桶(鐵皮厚度忽略不計(jì)),底面直徑為cm,高度為cm,現(xiàn)往里面裝直徑為cm的球,在能蓋住蓋子的情況下,最多能裝()(附:)A.個(gè) B.個(gè) C.個(gè) D.個(gè)3.若的二項(xiàng)式展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)的和為32,則正整數(shù)的值為()A.7 B.6 C.5 D.44.三棱錐中,側(cè)棱底面,,,,,則該三棱錐的外接球的表面積為()A. B. C. D.5.某學(xué)校組織學(xué)生參加英語(yǔ)測(cè)試,成績(jī)的頻率分布直方圖如圖,數(shù)據(jù)的分組依次為,若低于60分的人數(shù)是18人,則該班的學(xué)生人數(shù)是()A.45 B.50 C.55 D.606.在等差數(shù)列中,若,則()A.8 B.12 C.14 D.107.已知,,,若,則正數(shù)可以為()A.4 B.23 C.8 D.178.已知函數(shù),給出下列四個(gè)結(jié)論:①函數(shù)的值域是;②函數(shù)為奇函數(shù);③函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減;④若對(duì)任意,都有成立,則的最小值為;其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A. B. C. D.9.的展開(kāi)式中有理項(xiàng)有()A.項(xiàng) B.項(xiàng) C.項(xiàng) D.項(xiàng)10.閱讀如圖所示的程序框圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序,則輸出的結(jié)果為()A. B.6 C. D.11.設(shè),滿足,則的取值范圍是()A. B. C. D.12.已知是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形,點(diǎn),分別是邊,的中點(diǎn),連接并延長(zhǎng)到點(diǎn),使得,則的值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,,是平面向量,是單位向量.若,,且,則的取值范圍是________.14.正方體中,是棱的中點(diǎn),是側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn),且平面,記與的軌跡構(gòu)成的平面為.①,使得;②直線與直線所成角的正切值的取值范圍是;③與平面所成銳二面角的正切值為;④正方體的各個(gè)側(cè)面中,與所成的銳二面角相等的側(cè)面共四個(gè).其中正確命題的序號(hào)是________.(寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào))15.在中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別是.若,,則__,面積的最大值為_(kāi)__.16.已知函數(shù),若恒成立,則的取值范圍是___________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)某校為了解校園安全教育系列活動(dòng)的成效,對(duì)全校學(xué)生進(jìn)行了一次安全意識(shí)測(cè)試,根據(jù)測(cè)試成績(jī)?cè)u(píng)定“合格”“不合格”兩個(gè)等級(jí),同時(shí)對(duì)相應(yīng)等級(jí)進(jìn)行量化:“合格”記5分,“不合格”記0分.現(xiàn)隨機(jī)抽取部分學(xué)生的答卷,統(tǒng)計(jì)結(jié)果及對(duì)應(yīng)的頻率分布直方圖如下:等級(jí)不合格合格得分頻數(shù)624(1)由該題中頻率分布直方圖求測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)和中位數(shù);(2)其他條件不變,在評(píng)定等級(jí)為“合格”的學(xué)生中依次抽取2人進(jìn)行座談,每次抽取1人,求在第1次抽取的測(cè)試得分低于80分的前提下,第2次抽取的測(cè)試得分仍低于80分的概率;(3)用分層抽樣的方法,從評(píng)定等級(jí)為“合格”和“不合格”的學(xué)生中抽取10人進(jìn)行座談.現(xiàn)再?gòu)倪@10人中任選4人,記所選4人的量化總分為,求的數(shù)學(xué)期望.18.(12分)已知都是大于零的實(shí)數(shù).(1)證明;(2)若,證明.19.(12分)已知橢圓:的離心率為,左、右頂點(diǎn)分別為、,過(guò)左焦點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)(異于、兩點(diǎn)),當(dāng)直線垂直于軸時(shí),四邊形的面積為1.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)直線、的交點(diǎn)為;試問(wèn)的橫坐標(biāo)是否為定值?若是,求出定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.20.(12分)如圖,在等腰梯形中,AD∥BC,,,,,分別為,,的中點(diǎn),以為折痕將折起,使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)位置(平面).(1)若為直線上任意一點(diǎn),證明:MH∥平面;(2)若直線與直線所成角為,求二面角的余弦值.21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.(Ⅰ)求直線的直角坐標(biāo)方程與曲線的普通方程;(Ⅱ)已知點(diǎn)設(shè)直線與曲線相交于兩點(diǎn),求的值.22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的普通方程及直線的直角坐標(biāo)方程;(2)求曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最大值與最小值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】由a1+a3+a5=21得a3+a5+a7=,選B.2、C【解析】

計(jì)算球心連線形成的正四面體相對(duì)棱的距離為cm,得到最上層球面上的點(diǎn)距離桶底最遠(yuǎn)為cm,得到不等式,計(jì)算得到答案.【詳解】由題意,若要裝更多的球,需要讓球和鐵皮桶側(cè)面相切,且相鄰四個(gè)球兩兩相切,這樣,相鄰的四個(gè)球的球心連線構(gòu)成棱長(zhǎng)為cm的正面體,易求正四面體相對(duì)棱的距離為cm,每裝兩個(gè)球稱(chēng)為“一層”,這樣裝層球,則最上層球面上的點(diǎn)距離桶底最遠(yuǎn)為cm,若想要蓋上蓋子,則需要滿足,解得,所以最多可以裝層球,即最多可以裝個(gè)球.故選:【點(diǎn)睛】本題考查了圓柱和球的綜合問(wèn)題,意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.3、C【解析】

由二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì),的展開(kāi)式中所有二項(xiàng)式系數(shù)和為計(jì)算.【詳解】的二項(xiàng)展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)和為,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),掌握二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.4、B【解析】由題,側(cè)棱底面,,,,則根據(jù)余弦定理可得,的外接圓圓心三棱錐的外接球的球心到面的距離則外接球的半徑,則該三棱錐的外接球的表面積為點(diǎn)睛:本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球內(nèi)接多面體,熟練掌握球的半徑公式是解答的關(guān)鍵.5、D【解析】

根據(jù)頻率分布直方圖中頻率=小矩形的高×組距計(jì)算成績(jī)低于60分的頻率,再根據(jù)樣本容量求出班級(jí)人數(shù).【詳解】根據(jù)頻率分布直方圖,得:低于60分的頻率是(0.005+0.010)×20=0.30,∴樣本容量(即該班的學(xué)生人數(shù))是60(人).故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問(wèn)題,也考查了頻率的應(yīng)用問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題6、C【解析】

將,分別用和的形式表示,然后求解出和的值即可表示.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為,公差為,則由,,得解得,,所以.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的基本量的求解,難度較易.已知等差數(shù)列的任意兩項(xiàng)的值,可通過(guò)構(gòu)建和的方程組求通項(xiàng)公式.7、C【解析】

首先根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出的取值范圍,再代入驗(yàn)證即可;【詳解】解:∵,∴當(dāng)時(shí),滿足,∴實(shí)數(shù)可以為8.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

化的解析式為可判斷①,求出的解析式可判斷②,由得,結(jié)合正弦函數(shù)得圖象即可判斷③,由得可判斷④.【詳解】由題意,,所以,故①正確;為偶函數(shù),故②錯(cuò)誤;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,故③正確;若對(duì)任意,都有成立,則為最小值點(diǎn),為最大值點(diǎn),則的最小值為,故④正確.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的綜合運(yùn)用,涉及到函數(shù)的值域、函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)奇偶性及函數(shù)最值等內(nèi)容,是一道較為綜合的問(wèn)題.9、B【解析】

由二項(xiàng)展開(kāi)式定理求出通項(xiàng),求出的指數(shù)為整數(shù)時(shí)的個(gè)數(shù),即可求解.【詳解】,,當(dāng),,,時(shí),為有理項(xiàng),共項(xiàng).故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開(kāi)式項(xiàng)的特征,熟練掌握二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

用列舉法,通過(guò)循環(huán)過(guò)程直接得出與的值,得到時(shí)退出循環(huán),即可求得.【詳解】執(zhí)行程序框圖,可得,,滿足條件,,,滿足條件,,,滿足條件,,,由題意,此時(shí)應(yīng)該不滿足條件,退出循環(huán),輸出S的值為.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的應(yīng)用,正確依次寫(xiě)出每次循環(huán)得到的與的值是解題的關(guān)鍵,難度較易.11、C【解析】

首先繪制出可行域,再繪制出目標(biāo)函數(shù),根據(jù)可行域范圍求出目標(biāo)函數(shù)中的取值范圍.【詳解】由題知,滿足,可行域如下圖所示,可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最小值,故目標(biāo)函數(shù)的最小值為,故的取值范圍是.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線性規(guī)劃中目標(biāo)函數(shù)的取值范圍的問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】

設(shè),,作為一個(gè)基底,表示向量,,,然后再用數(shù)量積公式求解.【詳解】設(shè),,所以,,,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的基本運(yùn)算,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

先由題意設(shè)向量的坐標(biāo),再結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算及不等式可得解.【詳解】由是單位向量.若,,設(shè),則,,又,則,則,則,又,所以,(當(dāng)或時(shí)取等)即的取值范圍是,,故答案為:,.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.14、①②③④【解析】

取中點(diǎn),中點(diǎn),中點(diǎn),先利用中位線的性質(zhì)判斷點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段,平面即為平面,畫(huà)出圖形,再依次判斷:①利用等腰三角形的性質(zhì)即可判斷;②直線與直線所成角即為直線與直線所成角,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,進(jìn)而求解;③由,取為中點(diǎn),則,則即為與平面所成的銳二面角,進(jìn)而求解;④由平行的性質(zhì)及圖形判斷即可.【詳解】取中點(diǎn),連接,則,所以,所以平面即為平面,取中點(diǎn),中點(diǎn),連接,則易證得,所以平面平面,所以點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段,平面即為平面.①取為中點(diǎn),因?yàn)槭堑妊切?所以,又因?yàn)?所以,故①正確;②直線與直線所成角即為直線與直線所成角,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí),直線與直線所成角最小,此時(shí),;當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)或點(diǎn)重合時(shí),直線與直線所成角最大,此時(shí),所以直線與直線所成角的正切值的取值范圍是,②正確;③與平面的交線為,且,取為中點(diǎn),則即為與平面所成的銳二面角,,所以③正確;④正方體的各個(gè)側(cè)面中,平面,平面,平面,平面與平面所成的角相等,所以④正確.故答案為:①②③④【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面的空間位置關(guān)系,考查異面直線成角,二面角,考查空間想象能力與轉(zhuǎn)化思想.15、1【解析】

由正弦定理,結(jié)合,,可求出;由三角形面積公式以及角A的范圍,即可求出面積的最大值.【詳解】因?yàn)?,所以由正弦定理可得,所?所以,當(dāng),即時(shí),三角形面積最大.故答案為(1).1(2).【點(diǎn)睛】本題主要考查解三角形的問(wèn)題,熟記正弦定理以及三角形面積公式即可求解,屬于基礎(chǔ)題型.16、【解析】

求導(dǎo)得到,討論和兩種情況,計(jì)算時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,故,不符合,排除,得到答案?!驹斀狻恳?yàn)?,所以,因?yàn)?,所?當(dāng),即時(shí),,則在上單調(diào)遞增,從而,故符合題意;當(dāng),即時(shí),因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,且,所以存在唯一的,使得.令,得,則在上單調(diào)遞減,從而,故不符合題意.綜上,的取值范圍是.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式恒成立問(wèn)題,轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)64,65;(2);(3).【解析】

(1)根據(jù)頻率分布直方圖及其性質(zhì)可求出,平均數(shù),中位數(shù);(2)設(shè)“第1次抽取的測(cè)試得分低于80分”為事件,“第2次抽取的測(cè)試得分低于80分”為事件,由條件概率公式可求出;(3)從評(píng)定等級(jí)為“合格”和“不合格”的學(xué)生中隨機(jī)抽取10人進(jìn)行座談,其中“不合格”的學(xué)生數(shù)為,“合格”的學(xué)生數(shù)為6;由題意可得,5,10,15,1,利用“超幾何分布”的計(jì)算公式即可得出概率,進(jìn)而得出分布列與數(shù)學(xué)期望.【詳解】由題意知,樣本容量為,.(1)平均數(shù)為,設(shè)中位數(shù)為,因?yàn)?,所以,則,解得.(2)由題意可知,分?jǐn)?shù)在內(nèi)的學(xué)生有24人,分?jǐn)?shù)在內(nèi)的學(xué)生有12人.設(shè)“第1次抽取的測(cè)試得分低于80分”為事件,“第2次抽取的測(cè)試得分低于80分”為事件,則,所以.(3)在評(píng)定等級(jí)為“合格”和“不合格”的學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取10人,則“不合格”的學(xué)生人數(shù)為,“合格”的學(xué)生人數(shù)為.由題意可得的所有可能取值為0,5,10,15,1.,.所以的分布列為0510151.【點(diǎn)睛】本題主要考查了頻率分布直方圖的性質(zhì)、分層抽樣、超幾何分布列及其數(shù)學(xué)期望,考查了計(jì)算能力,屬于中檔題.18、(1)答案見(jiàn)解析.(2)答案見(jiàn)解析【解析】

(1)利用基本不等式可得,兩式相加即可求解.(2)由(1)知,代入不等式,利用基本不等式即可求解.【詳解】(1)兩式相加得(2)由(1)知于是,.【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.19、(1)(2)是為定值,的橫坐標(biāo)為定值【解析】

(1)根據(jù)“直線垂直于軸時(shí),四邊形的面積為1”列方程,由此求得,結(jié)合橢圓離心率以及,求得,由此求得橢圓方程.(2)設(shè)出直線的方程,聯(lián)立直線的方程和橢圓方程,化簡(jiǎn)后寫(xiě)出根與系數(shù)關(guān)系.求得直線的方程,并求得兩直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo),結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn),求得的橫坐標(biāo)為定值.【詳解】(1)依題意可知,解得,即;而,即,結(jié)合解得,,因此橢圓方程為(2)由題意得,左焦點(diǎn),設(shè)直線的方程為:,,.由消去并整理得,∴,.直線的方程為:,直線的方程為:.聯(lián)系方程,解得,又因?yàn)椋裕缘臋M坐標(biāo)為定值.【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)橢圓離心率求橢圓方程,考查直線和橢圓的位置關(guān)系,考查直線和直線交點(diǎn)坐標(biāo)的求法,考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.20、(1)見(jiàn)解析(2)【解析】

(1)根據(jù)中位線證明平面平面,即可證明MH∥平面;(2)以,,為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,找到點(diǎn)的坐標(biāo)代入公式即可計(jì)算二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:連接,∵,,分別為,,的中點(diǎn),∴,又∵平面,平面,∴平面,同理,平面,∵平面,平面,,∴平面平面,∵平面,∴平面.(2)連接,在和中,由余弦定理可得,,由與互補(bǔ),,,可解得,于是,∴,,∵,直線與直線所成角為,∴,又,∴,即,∴平面,∴平面平面,∵為中點(diǎn),,∴

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