2021-2022年高中數(shù)學(xué)第二章點直線平面之間的位置關(guān)系3.1直線與平面垂直的判定5作業(yè)含解析新人教版必修220220226139

PAGEPAGE6直線與平面垂直的判定[基礎(chǔ)鞏固]1．如圖所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA與BD的位置關(guān)系是()A．平行 B．垂直相交C．垂直但不相交 D．相交但不垂直解析：因為ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，則BD⊥MC.因為AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA?平面AMC，所以MA⊥BD.顯然直線MA與直線BD不共面，因此直線MA與BD的位置關(guān)系是垂直但不相交．答案：C2．已知m和n是兩條不同的直線，α和β是兩個不重合的平面，那么下面給出的條件中，一定能推出m⊥β的是()A．α∥β，且m?α B．m∥n，且n⊥βC．m⊥n，且n?β D．m⊥n，且n∥β解析：A中，由α∥β，且m?α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β內(nèi)的任意直線，再由m∥n，知m也垂直于β內(nèi)的任意直線，所以m⊥β，B符合題意；C，D中，m?β或m∥β或m與β相交，不符合題意．故選B.答案：B3．正方體ABCD-A1B1C1D1中，求BB1與平面ACD1解：方法一：如圖，設(shè)正方體的棱長為1，上下底面的中心分別為O1，O，則OO1∥BB1，O1O與平面ACD1所成的角就是BB1與平面ACD1所成的角，即∠O1OD1，cos∠O1OD1＝eq\f(|O1O|,|OD1|)＝eq\f(1,\r(\f(3,2)))＝eq\f(\r(6),3).

方法二：畫出圖形，如圖，BB1與平面ACD1所成的角等于DD1與平面ACD1所成的角，在三棱錐D-ACD1中，由三條側(cè)棱兩兩垂直且相等得點D在底面ACD1內(nèi)的射影為等邊三角形ACD1的重心，即中心H，連接D1H，DH，則∠DD1H為DD1與平面ACD1所成的角，設(shè)正方體的棱長為a，則cos∠DD1H＝eq\f(\f(\r(6),3)a,a)＝eq\f(\r(6),3).[能力提升]1．下列四個命題中，正確的是()①若一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則這條直線與這個平面垂直；②若一條直線平行于一個平面，則垂直于這條直線的直線必垂直于這個平面；③若一條直線平行于一個平面，另一條直線垂直于這個平面，則這兩條直線互相垂直；④若兩條直線垂直，則過其中一條直線有唯一一個平面與另一條直線垂直．A．①② B．②③C．②④ D．③④解析：若一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條平行的直線，則這條直線與這個平面不一定垂直，所以①錯誤．若一條直線平行于一個平面，垂直于這條直線的直線也可能平行于這個平面，所以②錯誤．若一條直線平行于一個平面，則平面內(nèi)必有一條直線與之平行，另一條直線垂直于這個平面，則該直線與平面內(nèi)的那條直線垂直，從而這兩條直線互相垂直，所以③正確．顯然若兩條直線垂直，則過其中一條直線與另外一條直線垂直的平面只有一個，所以④正確．答案：D2．若直線l不垂直于平面α，那么在平面α內(nèi)()A．不存在與l垂直的直線B．只存在一條與l垂直的直線C．存在無數(shù)條直線與l垂直D．以上都不對解析：過斜足，容易在α內(nèi)找到一條直線與l垂直，則在α內(nèi)與此直線平行的無數(shù)條直線都與l垂直．答案：C

3．設(shè)α表示平面，a、b表示直線，給出下列四個說法，其中正確的是()①a∥α，a⊥b?b∥α②a∥b，a⊥α?b⊥α③a⊥α，a⊥b?b?α④a⊥b，b?α?a⊥αA．①② B．①④C．② D．②④解析：①中可能有b∥α，b?α或b與α相交；③中可能有b?α或b∥α；④中可能有a與α不垂直，或a⊥α；只有②正確．答案：C4.如圖，DA⊥平面ABC，ED⊥平面BCD，DE＝DA＝AB＝AC，∠BAC＝120°，M為BC的中點，則直線EM與平面BCD所成角的正弦值為()A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(2,3)C.eq\f(\r(5),3) D.eq\f(\r(2),2)解析：∵ED⊥平面BCD，∴DM為EM在平面BCD上的射影，∴∠EMD為EM與平面BCD所成的角．∵DA⊥平面ABC，∴DA⊥AB，DA⊥AC.設(shè)AB＝a，∵DA＝AB＝AC，∴DC＝DB＝eq\r(2)a.在△ABC中，∵∠BAC＝120°，∴BC＝eq\r(3)a.又∵M為BC的中點，∴DM⊥BC，BM＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(\r(3),2)a，∴DM＝eq\f(\r(5),2)a.在Rt△EDM中，EM＝eq\r(DE2＋DM2)＝eq\f(3,2)a，∴sin∠EMD＝eq\f(DE,EM)＝eq\f(a,\f(3,2)a)＝eq\f(2,3).答案：B5．如圖所示，PO⊥平面ABC，BO⊥AC，在圖中與AC垂直的線段有()

A．1條 B．2條C．3條 D．4條解析：∵PO⊥平面ABC，∴PO⊥AC.又∵AC⊥BO，∴AC⊥平面PBD，∴平面PBD中的4條線段PB、PD、PO、BD與AC垂直．答案：D6．如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的：①三角形的兩邊；②梯形的兩邊；③圓的兩條直徑；④正六邊形的兩條邊．則能保證該直線與平面垂直的是________．解析：②④中的兩邊有可能平行．答案：①③7．有下列四個說法：①如果直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則l⊥α；②如果直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直，則l⊥α；③如果直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)沒有與l垂直的直線；④如果直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)也可以有無數(shù)條直線與l垂直．其中正確說法的個數(shù)為________．解析：根據(jù)線面垂直的定義，易知①②是錯誤的；當(dāng)直線l與平面α斜交時，設(shè)l在平面α內(nèi)的射影為m，則在平面α內(nèi)可以作無數(shù)條直線與直線m垂直，這些平行線都與l垂直，所以③錯誤，④正確．答案：18．在正三棱錐P-ABC中，PA＝eq\r(3)，側(cè)棱PA與底面ABC所成的角為60°，則該三棱錐的底面邊長為________．解析：在正三棱錐P-ABC中，設(shè)點P在底面ABC的射影為點O，則點O為△ABC的中心，則AO＝eq\f(1,2)AP＝eq\f(\r(3),2)，設(shè)底面邊長為x，則eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)x＝eq\f(\r(3),2)，解得x＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)9．在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知AA1＝2AB，求CD與平面BDC1解：如圖，設(shè)AA1＝2AB＝2，連接AC交BD于點O，連接OC1，A1C1，過點C作CH⊥OC1∵BD⊥AC，BD⊥AA1，AC∩AA1＝A，∴BD⊥平面ACC1A1∵CH?平面ACC1A1，∴CH⊥又CH⊥OC1，OC1∩BD＝O，∴CH⊥平面BDC1，∴∠CDH即CD與平面BDC1所成的角．又OC1＝eq\r(CC\o\al(2,1)＋OC2)＝eq\r(4＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(3,\r(2))，由等面積法，得OC1·CH＝OC·CC1，解得CH＝eq\f(2,3)，∴sin∠CDH＝eq\f(CH,CD)＝eq\f(2,3).10．(2016·黃岡模擬)如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，AB＝eq\r(2)，O為對角線A1C的中點．(1)求證：AA1∥平面DOB；(2)求OD與底面ABCD所成的角的大?。猓?1)證明：如圖所示，連接AC，BD交于E，連接OE，則OE∥AA1.又因為AA1?平面DOB，且OE?平面DOB，所以AA1∥平面DOB.(2)∵AA1⊥平面AC，且