2021-2022年高中數(shù)學(xué)第二章點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系3.4平面與平面垂直的性質(zhì)3作業(yè)含解析新人教版必修220220226152

PAGEPAGE6平面與平面垂直的性質(zhì)（45分鐘100分）一、選擇題(每小題6分,共30分)1.過平面外兩點(diǎn)且垂直于該平面的平面()A.有且只有一個(gè)B.一個(gè)或兩個(gè)C.有且僅有兩個(gè)D.一個(gè)或無數(shù)個(gè)2.(2013·綿陽高一檢測)已知PA⊥正方形ABCD所在的平面,垂足為A,連接PB,PC,PD,AC,BD,則互相垂直的平面有()A.5對(duì)B.6對(duì)C.7對(duì)D.8對(duì)3.在直二面角α-l-β中,直線a?α,直線b?β,a,b與l斜交,則()A.a不能和b垂直,但可能a∥bB.a可能和b垂直,也可能a∥bC.a不能和b垂直,a也不能和b平行D.a不能和b平行,但可能a⊥b4.(2013·青島高一檢測)設(shè)α,β,γ為平面,l,m,n為直線,則能得到m⊥β的一個(gè)條件為()A.α⊥β,α∩β=l,m⊥lB.n⊥α,n⊥β,m⊥αC.α∩γ=m,α⊥γ,β⊥γD.α⊥γ,β⊥γ,m⊥α5.下列說法中,錯(cuò)誤的是()A.若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的任一直線,則α⊥βB.若平面α內(nèi)任一直線平行于平面β,則α∥βC.若平面α⊥平面β,任取直線l?α,則必有l(wèi)⊥βD.若平面α∥平面β,任取直線l?α,則必有l(wèi)∥β二、填空題(每小題8分,共24分)6.(2013·淮南高一檢測)已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,點(diǎn)E,F分別是棱PC,PD的中點(diǎn).①AB與PD所在的直線垂直;②平面PBC與平面ABCD垂直;③△PCD的面積大于△PAB的面積;④直線AE與直線BF是異面直線.則以上結(jié)論正確的是.(寫出所有正確結(jié)論的編號(hào))7.如圖,在三棱錐D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中點(diǎn),則下列命題中正確的有(填序號(hào)).①平面ABC⊥平面ABD;②平面ABD⊥平面BCD;③平面ABC⊥平面BDE,且平面ACD⊥平面BDE;④平面ABC⊥平面ACD,且平面ACD⊥平面BDE.8.α,β是兩個(gè)不同的平面,m,n是平面α及β外的兩條不同的直線,給出4個(gè)論斷：①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.以其中3個(gè)論斷為條件,余下一個(gè)論斷為結(jié)論,寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題：.三、解答題(9題,10題14分,11題18分)9.如圖,在矩形ABCD中,AB=3,BC=3,沿對(duì)角線BD把△BCD折起,使C移到C′,且C′在平面ABC內(nèi)的射影O恰好落在AB上.(1)求證：AC′⊥BC′.(2)求AB與平面BC′D所成的角的正弦值.10.(2013·宿州高一檢測)如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,△PAD為等邊三角形,底面ABCD為菱形,∠BAD=60°,Q為AD的中點(diǎn),PA=2.(1)求證：AD⊥平面PQB.(2)求四棱錐P-ABCD的體積.(3)在線段PC上是否存在點(diǎn)M,使PA∥平面MQB;若存在,求出PM∶PC的值.11.(能力挑戰(zhàn)題)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是∠DAB=60°且邊長為a的菱形,側(cè)面PAD為正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G為AD邊的中點(diǎn),求證：BG⊥平面PAD.(2)求證：AD⊥PB.(3)若E為BC邊的中點(diǎn),能否在PC上找出一點(diǎn)F,使平面DEF⊥平面ABCD?答案解析1.【解析】選D.若兩點(diǎn)所在的直線和平面垂直,任何過該直線的平面都和平面垂直,若不垂直,過一點(diǎn)作平面的垂線,這兩相交直線確定唯一的平面和平面垂直.2.【解析】選C.如圖,由已知PA⊥平面ABCD,則平面PAD⊥平面ABCD,平面PAB⊥平面ABCD,平面PAC⊥平面ABCD,3對(duì);又底面為正方形,BC⊥AB,則BC⊥平面PAB,故平面PBC⊥平面PAB,同理平面PDC⊥平面PAD,平面PAC⊥平面PBD,平面PAD⊥平面PAB,4對(duì).故共7對(duì).3.【解析】選C.因?yàn)閍,b與l斜交,若在平面β內(nèi)作交線的垂線,此直線與a垂直,故a不能和b垂直,否則可以得到a垂直于平面β,a垂直于l,與a與l斜交矛盾;a也不能和b平行,故選C.4.【解析】選B.如圖①知A錯(cuò);如圖②知C錯(cuò);如圖③,在正方體中,兩側(cè)面α與β相交于l,都與底面γ垂直,γ內(nèi)的直線m⊥α,但m與β不垂直,故D錯(cuò);由n⊥α,n⊥β知α∥β,又m⊥α,故m⊥β,因此B正確.5.【解析】選C.A中,直線l⊥β,lα,所以α⊥β,A為真命題;B中,在α內(nèi)取兩相交直線,則兩直線平行于β,則α∥β,B為真命題;D為兩平面平行的性質(zhì),為真命題;C為假命題,l只有在垂直于交線時(shí)才有l(wèi)⊥β,否則l不垂直于β.【變式訓(xùn)練】已知空間兩條不同的直線m,n和兩個(gè)不同的平面α,β,則下列命題中正確的是()A.若m∥α,n∥β,α∥β,則m∥nB.若m∥α,n⊥β,α⊥β,則m∥nC.若m⊥α,n∥β,α⊥β,則m⊥nD.若m⊥α,n⊥β,α⊥β,則m⊥n【解析】選D.選項(xiàng)A中,當(dāng)直線m,n都不在平面α,β內(nèi)時(shí),根據(jù)m∥α,n∥β,α∥β可以推證m,n都平行于平面α,β,但平行于同一個(gè)平面的兩條直線不一定平行;選項(xiàng)B中,根據(jù)n⊥β,α⊥β可以推證nα或者n∥α,同樣平行于同一個(gè)平面的兩條直線不一定平行;選項(xiàng)C中,同選項(xiàng)B;選項(xiàng)D中,根據(jù)m⊥α,α⊥β可以推證mβ或者m∥β,而n⊥β,故m⊥n.正確選項(xiàng)為D.6.【解析】由條件可得AB⊥平面PAD,所以AB⊥PD,故①正確;因?yàn)镻A⊥平面ABCD,所以平面PAB,平面PAD都與平面ABCD垂直,故平面PBC不可能與平面ABCD垂直,②錯(cuò);S△PCD=CD·PD,S△PAB=AB·PA,由AB=CD,PD>PA,知③正確;由E,F分別是棱PC,PD的中點(diǎn)可得EF∥CD,又AB∥CD,所以EF∥AB,故AE與BF共面,故④錯(cuò).答案：①③7.【解析】因?yàn)锳B=CB,E是AC的中點(diǎn),所以BE⊥AC,同理有DE⊥AC,又BE∩DE=E,所以AC⊥平面BDE.因?yàn)锳C平面ABC,所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE.故只有③正確.答案：③8.【解析】由題意可構(gòu)造出四個(gè)命題(1)①②③④;(2)①②④③;(3)①③④②;(4)②③④①.只有(3)(4)是正確的.答案：②③④①或①③④②9.【解析】(1)由題意,知C′O⊥平面ABD,因?yàn)镃′O平面ABC′,所以平面ABC′⊥平面ABD.又因?yàn)锳D⊥AB,平面ABC′∩平面ABD=AB,所以AD⊥平面ABC′.所以AD⊥BC′.因?yàn)锽C′⊥C′D,AD∩C′D=D,所以BC′⊥平面AC′D.所以BC′⊥AC′.(2)因?yàn)锽C′⊥平面AC′D,BC′平面BC′D,所以平面AC′D⊥平面BC′D.作AH⊥C′D于H,則AH⊥平面BC′D,連接BH,則BH為AB在平面BC′D內(nèi)的射影,所以∠ABH為AB與平面BC′D所成的角.又在Rt△AC′D中,C′D=3,AD=3,所以AC′=3.所以AH=.所以sin∠ABH=,即AB與平面BC′D所成的角的正弦值為.【舉一反三】本題其他條件不變,求二面角C′-BD-A的正切值.【解析】過O作OG⊥BD于G,連接C′G,則C′G⊥BD,則∠C′GO為二面角C′-BD-A的平面角.在Rt△AC′B中,C′O=,在Rt△BC′D中,C′G=.所以O(shè)G=.所以tan∠C′GO=,即二面角C′-BD-A的正切值為.10.【解析】(1)如圖,連接BD,因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形,所以AD=AB,又因?yàn)椤螧AD=60°,所以△ABD為正三角形.因?yàn)镼為AD的中點(diǎn),所以AD⊥BQ,因?yàn)镻A=PD,Q為AD的中點(diǎn),所以AD⊥PQ.又BQ∩PQ=Q,所以AD⊥平面PQB.(2)平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PQ平面PAD,PQ⊥AD,所以PQ⊥平面ABCD,即PQ是四棱錐P-ABCD的高,因?yàn)镻A=2,所以PQ=,所以VP-ABCD==2.(3)存在,當(dāng)時(shí),PA∥平面MQB,連接AC交BQ于N,由AQ∥BC可得,△ANQ∽△CNB,所以,因?yàn)?所以PA∥MN,又MN平面MQB,PA?平面MQB,所以PA∥平面MQB.11.【解題指南】(1)(2)對(duì)于面面垂直的條件,要利用面面垂直的性質(zhì)定理轉(zhuǎn)化為線面垂直,再轉(zhuǎn)化為線線垂直.(3)要確定是否存在平面DEF⊥平面ABCD,只需判斷平面DEF中有無直線平行于PG即可.【解析】(1)連接PG,BD,因?yàn)椤鱌AD是等邊三角形,G為AD邊的中點(diǎn),所以PG⊥AD,因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD,所以PG⊥平面ABCD,所以PG⊥BG,因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形,所以AB=AD,因?yàn)椤螧AD=60°,所以△ABD是等邊三角形,所以BG⊥AD,所以BG⊥平面PAD.(2)因?yàn)锳D⊥PG,AD⊥BG,PG∩BG=G,所以AD⊥平面BPG,又因?yàn)锽P平面BPG,所以AD⊥PB.(3)存在點(diǎn)F.只需取PC的中點(diǎn)F,連接DF,EF,則平面DEF⊥平面ABCD.證明：連接CG,DE交于M,連接FM,因?yàn)锳D∥BC且AD=BC,又E,G分別是BC,AD的中點(diǎn),連接EG,所以CE∥DG且CE=DG,所以