定量分析中的估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)

定量分析中的估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)摘要：本文闡述了定量分析的估計(jì)類型、置信區(qū)間與置信度，以及假設(shè)檢驗(yàn)，研究了區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)的內(nèi)在聯(lián)系及其區(qū)別，探討了這兩種方法的范圍及應(yīng)注意的問題。關(guān)鍵字：點(diǎn)估計(jì)；區(qū)間估計(jì)；假設(shè)檢驗(yàn)0引言數(shù)理統(tǒng)計(jì)是具有廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支，而區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)問題在其中占有很重要的地位。區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)作為兩種重要的統(tǒng)計(jì)推斷方法在農(nóng)林科學(xué)、經(jīng)濟(jì)管理、醫(yī)療衛(wèi)生、金融保險(xiǎn)、證券投資、科學(xué)研究、工程技術(shù)、質(zhì)量控制及國防研究、災(zāi)害防治等各方面應(yīng)用日益廣泛，其對(duì)決策的科學(xué)性的作用也為越來越多的人所認(rèn)識(shí)。這兩種方法都是通過對(duì)具體事物的隨機(jī)抽樣所得樣本數(shù)據(jù),用數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析并作出判斷的，掌握它們之間的關(guān)系、各自的適用范圍和應(yīng)用條件以及應(yīng)注意的問題對(duì)作出正確的統(tǒng)計(jì)推斷至關(guān)重要。在日常生活或工作中人們也不斷地做各種各樣的估計(jì)，例如一個(gè)違規(guī)亂穿馬路的人，要估計(jì)垂直車道上的汽車離開路口的距離、速度，判斷當(dāng)時(shí)穿過馬路有沒有被車撞的可能，然后決定是立即過馬路，還是等一等；如果立即過去，能不能慢慢走，還是要快快跑？管理工作中，需要事前做估計(jì)的事情也非常多，例如銀行在貸款給某個(gè)企業(yè)的時(shí)候，對(duì)其還貸能力做出估計(jì)，然后決定是否給予貸款，貸給多少，還款期限，等等。人們總是在分析“過去資料”對(duì)現(xiàn)實(shí)或未來影響的基礎(chǔ)上做出估計(jì)。簡單的估計(jì)可以靠生活常識(shí)或經(jīng)驗(yàn)，復(fù)雜的、受多因素影響的估計(jì)，特別是對(duì)那些信息不完全狀況下的估計(jì)要依賴“統(tǒng)計(jì)推斷”。1、估計(jì)類型有兩種類型的估計(jì)，分別是點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)。所謂點(diǎn)估計(jì)是估計(jì)某一個(gè)總體參數(shù)的具體值，例如：預(yù)計(jì)明年春運(yùn)高峰火車旅客將達(dá)到1.85億人次；今年八月份手機(jī)銷量會(huì)增長10%,等等。點(diǎn)估計(jì)看似很方便、很明確，但是，由于點(diǎn)估計(jì)要求精確，所以估計(jì)的結(jié)果只有兩種可能性：或者正確或者錯(cuò)誤，大多數(shù)情況下，要點(diǎn)估計(jì)絕對(duì)正確幾乎是不可能的，而如果使用區(qū)間估計(jì)，正確率就會(huì)大大提高。區(qū)間估計(jì)需要估計(jì)一個(gè)包含總體參數(shù)在內(nèi)的區(qū)間，通常用區(qū)間的大小或者實(shí)際參數(shù)落在某個(gè)區(qū)間的概率兩種方式表達(dá)區(qū)間估計(jì)的結(jié)果。如此把上面的例子改為：明年春運(yùn)高峰旅客數(shù)估計(jì)在1.6億人次到1.9億人次之間。當(dāng)旅客人次落在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，那么估計(jì)就是正確的；否則就是不正確的。顯然，區(qū)間估計(jì)的正確率比點(diǎn)估計(jì)要高。任何一個(gè)統(tǒng)計(jì)量不可能都是“好的”。評(píng)價(jià)用作估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)量好壞的標(biāo)準(zhǔn)有四條。（1）無偏性。即一個(gè)估計(jì)量在所估計(jì)的總體參數(shù)以上或以下的可能性（出現(xiàn)的頻率或取值范圍）相同。（2）有效性。無偏估計(jì)不是惟一的，許多個(gè)無偏估計(jì)中哪一個(gè)更好？應(yīng)該選用平均誤差或標(biāo)準(zhǔn)誤差較小的那個(gè)。（3）一致性。如果隨著容量增加，統(tǒng)計(jì)量的值越來越接近總體參數(shù)值，那么這樣的統(tǒng)計(jì)量就是與總體參數(shù)一致的估計(jì)量。樣本容量越大，估計(jì)量的一致性越可靠。（4）充分性。如果一個(gè)估計(jì)量能夠?yàn)榭傮w帶來大量的有用信息，而沒有其他的估計(jì)量能帶來比它更多的有用信息，就稱這個(gè)估計(jì)量是充分的。2、置信區(qū)間與置信度置信度是由置信區(qū)間給出的。如果由樣本X1，K，X0所確定的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量e.（x）=e.（x1，K，x0），i=i,2滿足P{e1（x）<e<e2（x）}=1-a，則隨機(jī)區(qū)間@（x））,e2（x））就是e的置信度為（i-a）的置信區(qū)間。置信區(qū)間@0））,e2（x））是一個(gè)隨機(jī)區(qū)間，對(duì)每次抽樣來說，它可能是不同的，有時(shí)包含參數(shù)e，有時(shí)不包含參數(shù)e。但對(duì)置信度為90%的置信區(qū)間而言，在ioo次抽樣得到的ioo個(gè)隨機(jī)區(qū)間中大約有90個(gè)包含參數(shù)e。由此可見，置信度是區(qū)間估計(jì)的可靠性度量。即置信度（1-a）表示該區(qū)間估計(jì)包含參數(shù)真值的可靠程度?？梢姡眯艆^(qū)間與置信度有密切相關(guān)。置信區(qū)間的長短，反映估計(jì)精度的高低。在實(shí)際問題中，通常是給定置信度，求盡可能短的置信區(qū)間。也可通過增加樣本容量來提高區(qū)間估計(jì)的精度，使區(qū)間長度控制在某一范圍之內(nèi)。3、假設(shè)檢驗(yàn)

假設(shè)檢驗(yàn)又稱統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，是統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)的簡稱。檢驗(yàn)的基本方法是：先假設(shè)總體具有某些統(tǒng)計(jì)特性，再根據(jù)樣本的統(tǒng)計(jì)特性，驗(yàn)證總體是否具有這些特征。最常用“假設(shè)檢驗(yàn)”驗(yàn)證一個(gè)均值的樣本是不是抽樣于均值為U的總體；也可以對(duì)兩個(gè)均值不同的樣本，判斷是否來源于同一個(gè)總體。假設(shè)檢驗(yàn)方法需要利用樣本提供的信息構(gòu)造適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，用來分析總體和樣本之間或樣本與樣本之間的相關(guān)統(tǒng)計(jì)量（統(tǒng)計(jì)值）是否存在顯著差異（這也是假設(shè)檢驗(yàn)又稱為顯著性檢驗(yàn)的原因），依此判斷是不是有足夠的理由相信原假設(shè)是可信的？檢驗(yàn)的基本原理是：經(jīng)過抽樣分析，如果小概率事件發(fā)生，原假設(shè)檢驗(yàn)的假設(shè)的正確性將受到懷疑。顯著水平。是一個(gè)很小的值（譬如0.05），是檢驗(yàn)者判斷小概率事件是否發(fā)生的標(biāo)準(zhǔn)。假設(shè)檢驗(yàn)分為三種情況：雙側(cè)檢驗(yàn)Hi聲=雙側(cè)檢驗(yàn)Hi聲=4.Hi*產(chǎn)尹單側(cè)檢驗(yàn)Hu: 4（或產(chǎn)=Q?Hm尸V奴假設(shè)檢驗(yàn)的步驟可以歸納如下：第一步，做出原假設(shè)H。的備擇假設(shè)H1，確定顯著水平。；王一〃第二步，建立統(tǒng)計(jì)量Z=第三步，根據(jù)是雙側(cè)檢驗(yàn)還是單側(cè)檢驗(yàn)，決定取Z還是取Z/2；在單側(cè)檢驗(yàn)時(shí)注意Z應(yīng)用于左側(cè)還是右側(cè)；第四步，計(jì)算置信區(qū)間的上下限；第五步，根據(jù)顯著水平，將計(jì)算得到的統(tǒng)計(jì)量與相應(yīng)的臨界值比較，做出接受還是拒絕H0的判斷。4、 兩類錯(cuò)誤事實(shí)上，由于采用拒絕“小概率事件”的“概率反證法”確定對(duì)“原假設(shè)”接受還是拒絕，所以無論對(duì)原假設(shè)做出接受或拒絕的判斷時(shí)，都不能保證百分之百正確。可能犯的錯(cuò)誤有兩類：第一類，“以真當(dāng)假”的錯(cuò)誤一一拒絕了原本為真的原假設(shè)。因?yàn)樵谠僭O(shè)為真的前提下，大量重復(fù)抽樣，出現(xiàn)個(gè)別的統(tǒng)計(jì)量落入拒絕區(qū)是可能發(fā)生的“小概率事件”。但是卻根據(jù)小概率原理將原假設(shè)拒絕。當(dāng)然出現(xiàn)小概率事件時(shí)，不可能知道這個(gè)拒絕是錯(cuò)誤的，所以，拒絕原假設(shè)要冒一定的風(fēng)險(xiǎn)。第二類，“以假當(dāng)真”的錯(cuò)誤一一接受了原本應(yīng)該拒絕的原假設(shè)。通常用P表示以假當(dāng)真的概率。犯第一類錯(cuò)誤的可能性與顯著水平。有關(guān)。減少a，響應(yīng)的拒絕域也隨之減小，就可以少犯“以真當(dāng)假”的錯(cuò)誤；但是在減小a時(shí)，p就會(huì)增大，犯“以假當(dāng)真”的第二類錯(cuò)誤的概率就增加了。反之亦然：在減小6時(shí)a就會(huì)變大。所以在樣本容量固定時(shí)，要同時(shí)減小犯第一和第二類錯(cuò)誤是比較困難的。避免犯錯(cuò)誤的方法通常選用經(jīng)驗(yàn)積累的結(jié)果作原假設(shè)，一旦原假設(shè)被拒絕，可以及時(shí)采取調(diào)換樣本再檢驗(yàn)；也可以采用不同的顯著水平做檢驗(yàn)，當(dāng)結(jié)果不相同時(shí)，增加樣本容量再檢驗(yàn)。常把增加樣本的容量作為避免犯錯(cuò)誤的主要方法。5、 參數(shù)的區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)的內(nèi)在聯(lián)系統(tǒng)計(jì)推斷的基本問題分為兩類:一類是參數(shù)估計(jì)問題，另一類是假設(shè)問題。參數(shù)區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)雖然提法不同，但解決問題的途徑是相通的，統(tǒng)計(jì)推斷的思想方法是一樣的，都是基于數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論的推斷方法，都是基于樣本信息來推斷總體的性質(zhì)，即用部分來推斷總體。它們都是選取一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，然后使這個(gè)統(tǒng)計(jì)量落在某個(gè)已知區(qū)間上的概率而由此得到結(jié)果。利用區(qū)間估計(jì)可以建立假設(shè)檢驗(yàn)，反之亦然。

例1設(shè)總體X~N(M,。2),。2已知，若求p的區(qū)間估計(jì)，應(yīng)選擇統(tǒng)計(jì)U=— ~N(O,1)按置信度1-a確定一個(gè)大概率事件戶｛|合T-口由此得到p的置信度為1-a的置信區(qū)間為:這個(gè)區(qū)間估計(jì)恰好是原假設(shè)H0：p=p。的一個(gè)接受域，顯著水平為。。問題如果是假設(shè)檢驗(yàn)H0：p=p0；H1：p尹p0選擇統(tǒng)計(jì)量對(duì)給定的顯性水平為。，得到一個(gè)小概率事件IX-UCf/a/m由實(shí)測(cè)值點(diǎn)是否成立，決定是否拒絕原假設(shè)。X拒絕域?yàn)榫芙^域?yàn)镮X-UCf/a/m由實(shí)測(cè)值點(diǎn)是否成立，決定是否拒絕原假設(shè)。X拒絕域?yàn)榫芙^域?yàn)榻邮苡驗(yàn)榻邮苡驗(yàn)閷0改為p，那么結(jié)果正是p的區(qū)間估計(jì)，置信度為1-a。6、參數(shù)的區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)之間的區(qū)別參數(shù)的區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)從不同的角度回答同一問題，它們的統(tǒng)計(jì)處理是相通的。但是它們之間又有區(qū)別，體現(xiàn)以下三點(diǎn)：第一，參數(shù)估計(jì)解決的是多少（或范圍）問題，假設(shè)檢驗(yàn)則判斷結(jié)論是否成立。前者解決的是定量問題，后者解決的是定性問題。第二，兩者的要求各不相同。區(qū)間估計(jì)確定在一定概率保證程度下給出未知參數(shù)的范圍。而假設(shè)檢驗(yàn)確定在一定的置信水平下，未知參數(shù)能否接受己給定的值。第三，兩者對(duì)問題的了解程度各不相同。進(jìn)行區(qū)間估計(jì)之前不了解未知參數(shù)的有關(guān)信息。而假設(shè)檢驗(yàn)對(duì)未知參數(shù)的信息有所了解，但作出某種判斷無確切把握。因而在實(shí)際應(yīng)用中，究竟選擇哪種方法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，需要根據(jù)實(shí)際問題的情況確定相應(yīng)的處理方法。否則將會(huì)產(chǎn)生不同的結(jié)論，做出錯(cuò)誤的統(tǒng)計(jì)推斷。綜上所述，在通常情況下參數(shù)的區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)這兩種統(tǒng)計(jì)推斷方法是相通的。參數(shù)的區(qū)間估計(jì)可通過利用假設(shè)檢驗(yàn)的方法來解決，同樣參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)問題可通過利用區(qū)間估計(jì)的方法來解決。但是，這兩種統(tǒng)計(jì)推斷方法的適用情況也有所不同。在實(shí)際應(yīng)用中假若我們對(duì)問題有很多的了解或掌握一些非樣本的信息，這時(shí)采用假設(shè)檢驗(yàn)的方法比較合適。如果我們對(duì)問題除樣本信息外再?zèng)]有其它要考慮的信息，則采用區(qū)間估計(jì)的方法較為穩(wěn)妥。參考文獻(xiàn):張靄珠，陳力君.定量分析方法[M].上海:復(fù)旦大學(xué)出版社.2003.樊明智，王芬