初中數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)全等三角形

初中數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)一全等三角形一.知識(shí)點(diǎn)結(jié)構(gòu)梳理及解讀.全等形：能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形。.全等三角形性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.三角形全等的判定：（1）邊邊邊（SAS）:三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（2）角邊角（SAS）：兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（3）角邊角（ASA）：兩邊和他們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。角角邊（AAS）：兩個(gè)角和其中的一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（4）斜邊，直角邊（HL）：斜邊和直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。.角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。2.角平分線的判定：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。三角形三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)，且這一點(diǎn)到三角形三邊的距離相等。二、找全等三角形的方法（1）從結(jié)論出發(fā)，看要證明相等的線段（或角）分別在哪兩個(gè)可能全等的三角形中；（2）從已知出發(fā)，看可以確定哪兩個(gè)三角形全等；（3）從條件和結(jié)論綜合考慮，看能一同確定哪兩個(gè)三角形全等；（4）考慮輔助線，構(gòu)造全等三角形。三.全等三角形中幾個(gè)重要結(jié)論（1）全等三角形對(duì)應(yīng)角的平分線、中線、高分別相等（對(duì)應(yīng)元素都分別相等）（2）在一個(gè)三角形中，等邊對(duì)等角，反過來，等角對(duì)等邊；等腰三角形三線合一；等腰三角形頂角的外角等于底角的2倍；等腰三角形兩腰上的中線、高分別相等；等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一腰上的高；等腰三角形底邊延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之差等于一腰上的高。（3）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么，這條邊的對(duì)角等于90°；Rt030°角的對(duì)邊等于斜邊的一半，反之，Rt力中如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊的對(duì)角是30°。（4）三角形三內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)（這點(diǎn)叫三角形的內(nèi)心，這點(diǎn)到三角形三邊的距離相等）三角形兩外角平分線與第三內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)（這點(diǎn)叫三角形的旁心，這點(diǎn)到三角形三邊所在直線的距離相等），到三角形三邊所在直線等距離的點(diǎn)有四個(gè)例1.如圖：BE、CF相交于點(diǎn)D,DE，AC,DF，AB,垂足分別為E、F,且DE二DF。求證：AB二AC。例2.【變式1】如圖：BELAC,例2.【變式1】如圖：BELAC,CF±AB,BM=AC,CN=AB。求證：(1)AM=AN；(2)AM±ANO例3.【變式2】如圖：NBAC=90°,CE，BE,AB=AC,NABE二NCBE,求證：BD=2EC。例4.(24例4.(24題)在4ABC中，NACB=90°,AC=BC,分線交BD于點(diǎn)Eo(1)求證：BC=CD；(2)求證:BC+CE=AB過C作CD〃AB交NABC的平分線于點(diǎn)D,ZACB的平,E為AB中點(diǎn)，例5(2015級(jí)一中七下).已知兩個(gè)全等的等腰直角△ABC、^DEF,,E為AB中點(diǎn)，線段DE，EF分別交線段CA，CB(或它們所在直線)于M、N.(1)如圖l所示放置，當(dāng)線段EF經(jīng)過4ABC的頂點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)N與點(diǎn)C重合，線段DE交AC于M,求證：AM=MC；(2)如圖2所示放置，當(dāng)線段EF與線段BC邊交于N點(diǎn)，線段DE與線段AC交于M點(diǎn)，連MN,EC,請(qǐng)?zhí)骄緼M,MN,CN之間的等量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖3所示放置，當(dāng)線段EF與BC延長(zhǎng)線交于N點(diǎn)，線段DE與線段AC交于M點(diǎn)，連MN,EC,請(qǐng)猜想AM,MN,CN之間的等量關(guān)系，不必說明理由.例6(2016級(jí)南開七下)。已知，在等腰RtAABC中，ZABC=90。,AB=CB,D為直線AB上一點(diǎn)，連接CD,過C作CE±CD，且CE=CD，連接DE,交AC于F。(1)如圖1,當(dāng)D、B重合時(shí)，求證：EF=BF。(2)如圖2,當(dāng)D在線段AB上，且/DCB=30。時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄緿F、EF、CF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由。(3)如圖3,在(2)的條件下，在FC上任取一點(diǎn)G,連接DG,作射線GP使/DGP=60。，交/DFG的角平分線于點(diǎn)Q，求證：FD+FG=FQ。圖1 圖圖1 圖2 圖3三角形中常見輔助線的作法1、延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形例1：如圖1,已知448（3中，AD是^ABC的中線，AB=8,AC=6,求AD的取值范圍.易得△ADB04ADB，，4B’DC是等腰三角第5易得△ADB04ADB，，4B’DC是等腰三角第5題形，于是結(jié)論可證.例5：如圖5,已知四邊形ABCD中，AB=CD,E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，BA、CD的延長(zhǎng)線交EF的延長(zhǎng)第1題 第2題 第3題2、引平行線構(gòu)造全等三角形例2：如圖2,已知△ABC中，AB=AC,D在AB上，E是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BD=CE,DE與BC交于點(diǎn)F.求證：DF=EF.（提示：此題輔助線作法較多，如：①作DG〃AE交BC于G； ②作EH〃BA交BC的延長(zhǎng)線于H；再通過證三角形全等得DF=EF.）3、作連線構(gòu)造等腰三角形例3：如圖3,已知RTAACB中，ZC=90°,AC=BC,AD=AC,DELAB,垂足為D,交BC于E.求證：BD=DE=CE.（提示：連結(jié)DC,證4ECD是等腰三角形.）4、利用翻折，構(gòu)造全等三角形.例4：如圖4,已知△ABC中，NB=2NC,AD平分NBAC交BC于D.求證：AC=AB+BD.提示：將4ADB沿AD翻折，使B點(diǎn)落在AC上點(diǎn)B'處，再證BD=BZD=BZC,第4題5、作三角形的中位線貝UOE〃AB,OF〃CD,線于點(diǎn)M、N.求證：NBME=NCNE.提示：連結(jié)AC并取中點(diǎn)O,貝UOE〃AB,OF〃CD,故N1=NBME,N2=NCNE.、 且OE=OF,故N1=N2,可得證.

綜合練習(xí)題1：（2014中考）如圖，已知448（3和4ABD均為等腰直角三角形，NACB=NBAD=90邊AC上任意一點(diǎn)（點(diǎn)P不與A、C兩點(diǎn)重合），作PEXPB交AD于點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)F.(1)求證：NAEP:NABP.（2）猜想線段PB、PE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.（3）若P為AC延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)（如圖②），PE交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,其他條件不變，（2）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)證明你的結(jié)論.否成立？請(qǐng)證明你的結(jié)論.綜合練習(xí)題2：如圖，點(diǎn)E在AD上,AABC和^BDE都是等邊三角形.猜想：BD、CD、AD三條線段之間的關(guān)系，并說明理由.綜合練習(xí)題3：點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)，分別過線段AB的端點(diǎn)A、B作直線l的垂線，垂足分別為點(diǎn)C、D,連接PC、PD.（1）當(dāng)直線l過線段AB的中點(diǎn)P,如圖1,猜想PC、PD的數(shù)量關(guān)系（直接寫出你的猜想）；（2）當(dāng)直線l過線段AB上的任一點(diǎn)，如圖2,猜想PC、PD的數(shù)量關(guān)系并加以證明；（3）當(dāng)直線l過線段AB的延長(zhǎng)線上的任一點(diǎn)，按照題意畫出圖形，并判斷4PCD的形狀（不必證明）.

綜合練習(xí)題4：（2014?宿遷）如圖，已知4840和ABCE均為等腰直角三角形，NBAD=NBCE=90°,點(diǎn)M為DE的中點(diǎn)，過點(diǎn)E與AD平行的直線交射線AM