初中數(shù)學最基本的數(shù)學思想方法

初中數(shù)學中的主要數(shù)學思想方法初中數(shù)學中蘊含的數(shù)學思想很多，其中最主要的數(shù)學思想方法包括轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、函數(shù)與方程思想等.(1)轉(zhuǎn)化思想.轉(zhuǎn)化思想就是人們將需要解決的問題，通過演繹、歸納等轉(zhuǎn)化手段，歸結(jié)為另一種相對容易解決或已經(jīng)有解決方法的問題，從而使原來的問題得到解決.轉(zhuǎn)化思想體現(xiàn)在數(shù)學解題過程中就是將未知的、陌生的、復雜的問題通過演繹和歸納轉(zhuǎn)化為已知的、熟悉的、簡單的問題.初中數(shù)學中諸如化繁為簡、化難為易、化未知為已知等均是轉(zhuǎn)化思想的具體體現(xiàn).具體而言，代數(shù)式中加法與減法的轉(zhuǎn)化，乘法與除法的轉(zhuǎn)化，用換元法解方程，在幾何中添加輔助線，將四邊形的問題轉(zhuǎn)化為三角形的問題，將一些角轉(zhuǎn)化為圓周角并利用圓的知識解決問題等等都體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想.在初中數(shù)學中，轉(zhuǎn)化思想運用的最為廣泛.(2)數(shù)形結(jié)合思想.數(shù)學是研究現(xiàn)實世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學，因而，在某種程度上可以說數(shù)學研究是圍繞著數(shù)與形展開的.初中數(shù)學中的“數(shù)”就是代數(shù)式、方程、函數(shù)、不等式等符號表達式，初中數(shù)學中的“形”就是圖形、圖象、曲線等形象表達式.數(shù)形結(jié)合思想的實質(zhì)是將抽象的數(shù)學語言(“數(shù)”)與直觀的圖象(“形“)結(jié)合起來，數(shù)形結(jié)合思想的關(guān)鍵就是抓住“數(shù)”與“形”之間本質(zhì)上的聯(lián)系，以“形”直觀地表達“數(shù)”，以“數(shù)”精確地研究“形”，實現(xiàn)代數(shù)與幾何之間的相互轉(zhuǎn)化.數(shù)形結(jié)合思想包括“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化.“數(shù)無形時不直觀，形無數(shù)時難入微.”數(shù)形結(jié)合是研究數(shù)學、解決數(shù)學問題的重要思想，在初中數(shù)學中有著廣泛應(yīng)用.譬如，在初中數(shù)學中，通過數(shù)軸將數(shù)與點對應(yīng)，通過直角坐標系將函數(shù)與圖象對應(yīng)均體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.再比如，用數(shù)形結(jié)合的思想學習相反數(shù)、絕對值等概念，學習有理數(shù)大小比較的法則，研究函數(shù)的性質(zhì)等，從形象思維過渡到抽象思維，從而顯著降低了學習難度.(3)分類討論思想.分類討論思想就是根據(jù)數(shù)學對象本質(zhì)屬性的共同點和差異點，將數(shù)學對象區(qū)分為不同的種類.分類是以比較為基礎(chǔ)的，它有助于揭示數(shù)學對象之間的內(nèi)在聯(lián)系與規(guī)律，有助于學生總結(jié)歸納數(shù)學知識、解決數(shù)學問題.譬如，初中數(shù)學從整體上看分為代數(shù)、幾何、概率統(tǒng)計等幾大版塊，并分別采用不同方法進行研究，就是分類思想的體現(xiàn).具體而言，實數(shù)的分類，方程的分類、三角形的分類、函數(shù)的分類、統(tǒng)計量的分類等等，都是分類思想的具體體現(xiàn).分類思想在初中數(shù)學中有大量運用，從初中數(shù)學內(nèi)容的組織與展開到數(shù)學概念的界定與劃分再到數(shù)學問題的分析與解決都大量運用著分類思想.(4)函數(shù)與方程思想.函數(shù)與方程思想就是用函數(shù)的觀點和方法分析問題、解決問題.函數(shù)思想是客觀世界中事物運動變化、相互聯(lián)系、相互制約的普遍規(guī)律在數(shù)學中的具體反映.函數(shù)與方程思想的本質(zhì)是變量之間的對應(yīng)，即用變化的觀點和函數(shù)的形式將所研究的數(shù)量關(guān)系表示出來，然后用函數(shù)的性質(zhì)進行研究，從而使問題獲得解決.如果函數(shù)的形式用解析式的方式表示，那么就可以將函數(shù)解析式看作方程，并通過解方程和對方程的研究使問題得到解決，這就是方程思想.譬如初中數(shù)學中大量涉及一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等內(nèi)容的數(shù)學問題都要用到函數(shù)與方程思想來解決.由于函數(shù)思想與方程思想的內(nèi)容和形式相一致，因而往往將其并稱為函數(shù)與方程思想，并將二者結(jié)合學習與運用.除上述幾種主要的數(shù)學思想之外，初中數(shù)學中還有集合思想、對應(yīng)思想、符號化思想、公理化思想等.初中數(shù)學主要包括如下基本的數(shù)學方法：（1）幾種重要的科學思維方法：比較與分類、觀察與嘗試、分析與綜合、概括與抽象、特殊與一般、歸納與類比等；（2）幾種重要的推理方法：完全歸納法、綜合法、分析法、反證法、演繹法等；（3）幾種常用的求解方法：待定系數(shù)法、數(shù)學建模法、配方法、消元法、換元法、構(gòu)造法、坐標法、參數(shù)法等.1、配方法所謂配方，就是把一個解析式利用恒等變形的方法，把其中的某些項配成一個或幾個多項式正整數(shù)次冪的和形式。通過配方解決數(shù)學問題的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是數(shù)學中一種重要的恒等變形的方法，它的應(yīng)用十分非常廣泛，在因式分解、化簡根式、解方程、證明等式和不等式、求函數(shù)的極值和解析式等方面都經(jīng)常用到它。2、因式分解法因式分解，就是把一個多項式化成幾個整式乘積的形式。因式分解是恒等變形的基礎(chǔ)，它作為數(shù)學的一個有力工具、一種數(shù)學方法在代數(shù)、幾何、三角等的解題中起著重要的作用。因式分解的方法有許多，除中學課本上介紹的提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等外，還有如利用拆項添項、求根分解、換元、待定系數(shù)等等。3、換元法換元法是數(shù)學中一個非常重要而且應(yīng)用十分廣泛的解題方法。我們通常把未知數(shù)或變數(shù)稱為元，所謂換元法，就是在一個比較復雜的數(shù)學式子中，用新的變元去代替原式的一個部分或改造原來的式子，使它簡化，使問題易于解決。4、判別式法與韋達定理一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c屬于R，a于0根的判別，△=b2-4ac，不僅用來判定根的性質(zhì)，而且作為一種解題方法，在代數(shù)式變形，解方程（組），解不等式，研究函數(shù)乃至幾何、三角運算中都有非常廣泛的應(yīng)用。韋達定理除了已知一元二次方程的一個根，求另一根；已知兩個數(shù)的和與積，求這兩個數(shù)等簡單應(yīng)用外，還可以求根的對稱函數(shù)，計論二次方程根的符號，解對稱方程組，以及解一些有關(guān)二次曲線的問題等，都有非常廣泛的應(yīng)用。5、待定系數(shù)法在解數(shù)學問題時，若先判斷所求的結(jié)果具有某種確定的形式，其中含有某些待定的系數(shù)，而后根據(jù)題設(shè)條件列出關(guān)于待定系數(shù)的等式，最后解出這些待定系數(shù)的值或找到這些待定系數(shù)間的某種關(guān)系，從而解答數(shù)學問題，這種解題方法稱為待定系數(shù)法。它是中學數(shù)學中常用的方法之一。6、構(gòu)造法在解題時，我們常常會采用這樣的方法，通過對條件和結(jié)論的分析，構(gòu)造輔助元素，它可以是一個圖形、一個方程（組）、一個等式、一個函數(shù)、一個等價命題等，架起一座連接條件和結(jié)論的橋梁，從而使問題得以解決，這種解題的數(shù)學方法，我們稱為構(gòu)造法。運用構(gòu)造法解題，可以使代數(shù)、三角、幾何等各種數(shù)學知識互相滲透，有利于問題的解決。7、反證法反證法是一種間接證法，它是先提出一個與命題的結(jié)論相反的假設(shè)，然后，從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過正確的推理，導致矛盾，從而否定相反的假設(shè)，達到肯定原命題正確的一種方法。反證法可以分為歸謬反證法（結(jié)論的反面只有一種）與窮舉反證法（結(jié)論的反而不只一種）。用反證法證明一個命題的步驟，大體上分為：（1）反設(shè)；（2）歸謬；（3）結(jié)論。反設(shè)是反證法的基礎(chǔ)，為了正確地作出反設(shè)，掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的，例如：是、不是；存在、不存在；平行于、不平行于；垂直于、不垂直于；等于、不等于；大（?。┯?、不大（小）于；都是、不都是；至少有一個、一個也沒有；至少有n個、至多有（n—1）個；至多有一個、至少有兩個；唯一、至少有兩個。歸謬是反證法的關(guān)鍵，導出矛盾的過程沒有固定的模式，但必須從反設(shè)出發(fā)，否則推導將成為無源之水，無本之木。推理必須嚴謹。導出的矛盾有如下幾種類型：與已知條件矛盾；與已知的公理、定義、定理、公式矛盾；與反設(shè)矛盾；自相矛盾。8、面積法平面幾何中講的面積公式以及由面積公式推出的與面積計算有關(guān)的性質(zhì)定理，不僅可用于計算面積，而且用它來證明平面幾何題有時會收到事半功倍的效果。運用面積關(guān)系來證明或計算平面幾何題的方法，稱為面積方法，它是幾何中的一種常用方法。用歸納法或分析法證明平面幾何題，其困難在添置輔助線。面積法的特點是把已知和未知各量用面積公式聯(lián)系起來，通過運算達到求證的結(jié)果。所以用面積法來解幾何題，幾何元素之間關(guān)系變成數(shù)量之間的關(guān)系，只需要計算，有時可以不添置補助線，即使需要添置輔助線，也很容易考慮到。9、幾何變換法在數(shù)學問題的研究中，常常運用變換法，把復雜性問題轉(zhuǎn)化為簡單性的問題而得到解決。所謂變換是一個集合的任一元素到同一集合的元素的一個一一映射。中學數(shù)學中所涉及的變換主要是初等變換。有一些看來很難甚至于無法下手的習題，可以借助幾何變換法，化繁為簡，化難為易。另一方面，也可將變換的觀點滲透到中學數(shù)學教學中。將圖形從相等靜止條件下的研究和運動中的研究結(jié)合起來，有利于對圖形本質(zhì)的認識。幾何變換包括：（1）平移；（2）旋轉(zhuǎn)；（3）軸對稱。10、客觀性題的解題方法選擇題是給出條件和結(jié)論，要求根據(jù)一定的關(guān)系找出正確答案的一類題型。選擇題的題型構(gòu)思精巧，形式靈活，可以比較全面地考察學生的基礎(chǔ)知識和基本技能，從而增大了試卷的容量和知識覆蓋面。填空題是標準化考試的重要題型之一，它同選擇題一樣具有考查目標明確，知識復蓋面廣，評卷準確迅速，有利于考查學生的分析判斷能力和計算能力等優(yōu)點，不同的是填空題未給出答案，可以防止學生猜估答案的情況。要想迅速、正確地解選擇題、填空題，除了具有準確的計算、嚴密的推理外，還要有解選擇題、填空題的方法與技巧。下面通過實例介紹常用方法。（1）直接推演法，直接從命題給出的條件出發(fā)，運用概念、公式、定理等進行推理或運算，得出結(jié)論，選擇正確答案，這就是傳統(tǒng)的解題方法，這種解法叫直接推演法。（2）驗證法：由題設(shè)找出合適的驗證條件，再通過驗證，找出正確答案，亦可將供選擇的答案代入條件中去驗證，找出正確答案，此法稱為驗證法（也稱代入法）。當遇到定量命題時，常用此法。（3）特殊元素法：用合適的特殊元素（如數(shù)或圖形）代入題設(shè)條件或結(jié)論中去，從而獲得解答。這種方法叫特殊元素法。（4）排除、篩選法：對于正確答案有且只有一個的選擇題，根據(jù)數(shù)學知識或推理、演算，把不正確的結(jié)論排除，余下的結(jié)論再經(jīng)篩選，從而作出正確的結(jié)論的解法叫排除、篩選法。（5）圖解法：：借助于符合題設(shè)條件的圖形或圖象的性質(zhì)、特點來判斷，作出正確的選擇稱為圖解法。圖解法是解選擇題常用方法之一。（6）分析法：直接通過對選擇題的條件和結(jié)論，作詳盡的分析、歸納和判斷，從而選出正確的結(jié)果，稱為分析法。喬治?波利亞（GPolya,1887-1985年）出生于匈牙利布達佩斯。上中學時，他就是一個很有上進心的學生。但每當遇到較難的數(shù)學題時，他也時常感到困惑:“這個解答好像還行，它看起來是正確的，但怎樣才能想到這樣的解答呢？這個結(jié)論好像還行，它看起來是個事實，但別人是怎樣發(fā)現(xiàn)這個事實的？我自己怎樣才能想出或發(fā)現(xiàn)他們呢？”波利亞帶著一連串的困惑與1905年走進了布達佩斯大學，并在那里獲得博士學位。之后，波利亞先后到哥廷根大學、巴黎大學、瑞士聯(lián)邦工學院進行數(shù)學研究或任教。1940年移居美國，并在斯坦福大學任教，直到退休。無論在學習期間或任教期間，波利亞始終不忘研究少年時學數(shù)學所遇到的困惑。1944年8月，波利亞終于將他的研究成果公布于世，這就是名著《怎樣解題表》。該書出版后，不脛而走，迅速傳遍全世界。直到今天，該書仍被各國數(shù)學教育界奉為經(jīng)典。波利亞在《HowToSolveIt》中另外還舉了下面這個例子:一個原始人站在一條小溪前，他想要越過這條小溪，但溪水經(jīng)過昨天一夜，已經(jīng)漲了上來；因此他面臨一個問題：如何越過這條小溪。他聯(lián)想起以前曾經(jīng)從一棵倒下并橫在河上的樹木上走過去，于是他的問題變成了如何找到這樣一顆倒下并橫在溪流上的樹木。他環(huán)顧四周，發(fā)現(xiàn)溪流上沒有這樣的橫著的樹木,但他發(fā)現(xiàn)周圍倒是有不少生長著的樹木；于是問題再次變成了：如何使這些樹木躺到溪流上。在這個想像的故事中我們看到了一個問題是如何被一步步歸約的：首先，原始人通過對一個已知的類似問題的聯(lián)想認識到一個重要的性質(zhì):如果有一棵樹橫在河上，我就可以借助這棵樹過河。這就將一個無法直接解決的問題轉(zhuǎn)化為了一個新的、已知的、并容易解決的問題。反過來推導。反過來推導是一種極其重要的啟發(fā)法，正如前面提到的，Pappus在他的宏篇巨著中將這種手法總結(jié)為解題的最重要手法。實際上，反向解題隱含了解題中至為深刻的思想：歸約。歸約是一種極為重要的手法，一個著名的關(guān)于歸約的笑話這樣說：有一位數(shù)學家失業(yè)了，去當消防員。經(jīng)過了一些培訓之后，正式上任之前，訓練的人考他：如果房子失火了怎么辦？數(shù)學家答出了所有的正確步驟。訓練人又問他：如果房子沒失火呢？數(shù)學家答：那我就把房子點燃，這樣我就把它歸約為了一個已知問題。人類思維本質(zhì)上善于“順著”推導，從一組條件出發(fā)，運用必然的邏輯關(guān)系，得出推論。然而，如果要求的未知量與已知量看上去相隔甚遠，這個時候順著推實際上就是運用另一個啟發(fā)式方法一一試錯一一了。雖然試錯是最常用，又是也是最有效的啟發(fā)法，然而試錯卻并不是最高效的。對于許多題目而言，其要求的結(jié)論本身就隱藏了推論，不管這個推論是充分的還是必要的，都很可能對解題有幫助。如果從結(jié)論能夠推導出一個充要推論，那么實際上我們就將問題進行了一次“雙向”歸約，如果原問題不容易解決，那么歸約后的問題也許就容易解決了，通過一層層的歸約，讓邏輯的枝蔓從結(jié)論上一節(jié)節(jié)的生長，我們往往會發(fā)現(xiàn)，離已知量越來越近。此外，即便是從結(jié)論推導出的必要非充分推論（“單向”歸約），對問題也是有幫助的一一任何不滿足這個推論的方案都不是問題的解：“怎樣解題表”就是《怎樣解題》一書的精華，該表被波利亞排在該書的正文之前，并且在書中再三提到該表。實際上，該書就是“怎樣解題表”的詳細解釋。波利亞的“怎樣解題表”將解題過程分成了四個步驟，只要解題時按這四個步驟去做，必能成功。同學們?nèi)绻茉谄綍r的做題中不斷實踐和體會該表，必能很快就會發(fā)出和波利亞一樣的感嘆:“學數(shù)學是一種樂趣！”第一，你必須弄清問題弄清問題未知數(shù)是什么?已知數(shù)據(jù)（指已知數(shù)、已知圖形和已知事項等的統(tǒng)稱）是什么？條件是什么？滿足條件是否可能？要確定未知數(shù)，條件是否充分?或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的?畫張圖。（線段圖、幾何圖形、示意圖、表格、語言化等式、等。）（“規(guī)范”有助于我們的思考。如果你畫的圖讓你自己都看不清，解決問題時恐怕也要自找麻煩。）引入適當?shù)姆?。（?shù)學符號是數(shù)學建模的基礎(chǔ)）（“能用數(shù)學符號表示”你離“做出題目”的目標就只差一半了。）把條件的各個部分分開。你能否把它們寫下來？（“熟悉條件”是做題的必要前提條件）第二，找出已知數(shù)與求知數(shù)之間的聯(lián)系。如果找不出直接的聯(lián)系，你可能不得不考慮輔助問題你應(yīng)該最終得出一個求解的計劃。擬定計劃你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道與此有關(guān)的問題？你是否知道一個可能用得上的定理？看著未知數(shù)！試想出一個具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問題。這里有一個與你現(xiàn)在的問題有關(guān)，且早已解決的問題，你能應(yīng)用它嗎？（轉(zhuǎn)化成做過的、或熟悉的問題。）你能不能利用它？你能利用它的結(jié)果嗎？為了能利用它，你是否應(yīng)該引入某些輔助元素？（用做過的、熟悉的，為模型，其實就是化未知為己知、化陌生為熟悉。）你能不能重新敘述這個問題？你能不能用不同的方法重新敘述它？（換一種方法就是，換一種思路。做題時，愛一條道走到黑！這是一種錯誤。）回到定義去。（注意基本方法，對處理問題的方法要認真總結(jié)。應(yīng)試教育的題目經(jīng)常是要回歸課本與基礎(chǔ)。）如果你不能解決所提出的問題，可先解決一個與此有關(guān)的問題。你能不能想出一個更容易著手的有關(guān)問題？一個更普遍的問題？一個更特殊的問題？一個類比的問題？你能否解決這個問題的一部分？僅僅保持條件的一部分而舍去其余部分，這樣對于未知能確定到什么程度？它會怎樣變化？（釜底抽薪、挖墻腳！傷其十指不如斷其一指。再難的題目只要不超過我們所掌握的知識系統(tǒng)，我們總是可以解決其中的容易之處的。滴水石穿！不要怕難題?。┠隳懿荒軓囊阎獢?shù)據(jù)導出某些有用的東