第十一章3簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力和能量

3簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力和能量1.彈簧的彈力與形變量成_____,形變量越大,彈力_____,彈簧的彈性勢(shì)能_____。2.物體的加速度與其所受的合外力成_____,方向與合外力的方向_____。3.當(dāng)加速度方向與速度方向相同時(shí),物體做_____運(yùn)動(dòng),當(dāng)加速度方向與速度方向相反時(shí),物體做_____運(yùn)動(dòng)。4.振子經(jīng)過(guò)關(guān)于平衡位置對(duì)稱的兩點(diǎn)時(shí),速度大小_____,加速度大小_____。正比越大越大正比相同加速減速相同相同一、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力1.回復(fù)力:2.簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征:如果質(zhì)點(diǎn)所受的力與它偏離平衡位置位移的大小成_____,并且總是指向_________,質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)就是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。項(xiàng)目?jī)?nèi)容定義振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)受到的總能使其回到_________的力方向指向_________表達(dá)式F=____平衡位置平衡位置-kx正比平衡位置二、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量1.振動(dòng)系統(tǒng)(彈簧振子)的狀態(tài)與能量的對(duì)應(yīng)關(guān)系:彈簧振子運(yùn)動(dòng)的過(guò)程就是_____和_____互相轉(zhuǎn)化的過(guò)程。(1)在最大位移處,_____最大,_____為零。(2)在平衡位置處,_____最大,_____最小。2.簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量特點(diǎn):在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中,振動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)械能_____,而在實(shí)際運(yùn)動(dòng)中都有一定的能量損耗,因此簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是一種_______的模型。動(dòng)能勢(shì)能勢(shì)能動(dòng)能動(dòng)能勢(shì)能守恒理想化【思考辨析】1.判斷正誤:(1)回復(fù)力的方向總是與位移的方向相反。()(2)回復(fù)力的方向總是與速度的方向相反。()(3)回復(fù)力的方向總是與加速度的方向相反。()(4)水平彈簧振子運(yùn)動(dòng)到平衡位置時(shí),回復(fù)力為零,因此能量一定為零。()(5)回復(fù)力的大小與速度大小無(wú)關(guān),速度增大時(shí),回復(fù)力可能增大,也可能減小。()提示:(1)√。由F=-kx可知,回復(fù)力F的方向總是與位移x的方向相反。(2)×?；貜?fù)力的方向與速度方向可能相同,也可能相反,當(dāng)振子加速運(yùn)動(dòng)時(shí)相同,減速運(yùn)動(dòng)時(shí)相反。(3)×。由牛頓第二定律可知,加速度的方向總是與力的方向相同。(4)×。平衡位置處,回復(fù)力為零,但速度不為零,故振子能量不為零。(5)×。速度增大時(shí),位移減小,故回復(fù)力減小。2.問(wèn)題思考:在彈簧振子的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,彈性勢(shì)能最大的位置有幾個(gè)?動(dòng)能最大的位置有幾個(gè)?提示:在彈簧振子的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,彈性勢(shì)能最大的位置有兩個(gè),分別對(duì)應(yīng)于振子運(yùn)動(dòng)的最左端和最右端。動(dòng)能最大的位置只有一個(gè),就是彈簧振子運(yùn)動(dòng)到平衡位置的時(shí)候。一、對(duì)回復(fù)力和加速度的理解1.回復(fù)力的來(lái)源:(1)回復(fù)力是指將振動(dòng)的物體拉回到平衡位置的力,同向心力一樣是按照力的作用效果來(lái)命名的。(2)回復(fù)力可以由某一個(gè)力提供,如水平彈簧振子的回復(fù)力即為彈簧的彈力;也可能是幾個(gè)力的合力,如豎直懸掛的彈簧振子的回復(fù)力是彈簧彈力和重力的合力;還可能是某一力的分力。歸納起來(lái),回復(fù)力一定等于振動(dòng)物體在振動(dòng)方向上所受的合力。分析物體的受力時(shí)不能再加上回復(fù)力。2.關(guān)于k值：公式F=-kx中的k指的是回復(fù)力與位移的比例系數(shù)，而不一定是彈簧的勁度系數(shù)，系數(shù)k由振動(dòng)系統(tǒng)自身決定。3.加速度的特點(diǎn)：根據(jù)牛頓第二定律得表明彈簧振子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí),振子的加速度大小與位移大小成正比，加速度方向與位移方向相反。【學(xué)而后思】(1)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力的大小如何變化?何處為零何處最大?提示:向著平衡位置運(yùn)動(dòng)時(shí),回復(fù)力越來(lái)越小,遠(yuǎn)離平衡位置運(yùn)動(dòng)時(shí)回復(fù)力越來(lái)越大。平衡位置處,回復(fù)力為零,最大位移處回復(fù)力最大。(2)怎樣證明某一個(gè)振動(dòng)是否為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)?提示:只要機(jī)械振動(dòng)的回復(fù)力滿足F=-kx,此振動(dòng)即為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)?！镜淅?】如圖所示,掛在豎直彈簧下面的小球,用手向下拉一段距離,然后放手,小球上下振動(dòng)。試判斷小球的運(yùn)動(dòng)是否為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)?！窘忸}探究】(1)彈簧的彈力是否等于小球的回復(fù)力?提示:小球的回復(fù)力應(yīng)等于彈簧彈力和小球重力的合力。(2)小球的位移大小是否等于彈簧的伸縮量?提示:不相等,平衡位置是回復(fù)力為零的位置,不是彈簧彈力為零的位置,因此小球的位移大小不等于彈簧的伸縮量?！緲?biāo)準(zhǔn)解答】小球靜止時(shí)的位置為其運(yùn)動(dòng)時(shí)的平衡位置,設(shè)此時(shí)彈簧伸長(zhǎng)量為x0,由力的平衡條件可知kx0=mg,向下再拉長(zhǎng)x,釋放后小球受到指向平衡位置的合力大小為:F=k(x+x0)-mg=kx,考慮到力的方向和位移方向的關(guān)系,應(yīng)有:F=-kx。由此可見(jiàn),小球的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)?！净?dòng)探究】若將彈簧下端固定,上端連接一個(gè)小球由平衡的位置下壓彈簧一段距離后釋放,小球的運(yùn)動(dòng)是否為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)?【解析】小球靜止時(shí)的位置為其運(yùn)動(dòng)時(shí)的平衡位置,設(shè)此時(shí)彈簧壓縮量為x0,由力的平衡條件可知:kx0=mg,向下再壓縮x,釋放后小球受到指向平衡位置的合力大小為:F=k(x+x0)-mg=kx,考慮到力的方向和位移方向的關(guān)系,應(yīng)有:F=-kx。由此可見(jiàn),小球的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)?！究偨Y(jié)提升】判斷一個(gè)振動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的方法根據(jù)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特征進(jìn)行判斷，由此可總結(jié)為：(1)通過(guò)對(duì)位移的分析，列出位移—時(shí)間表達(dá)式，利用位移—時(shí)間圖像是否滿足正弦規(guī)律來(lái)判斷。(2)對(duì)物體進(jìn)行受力分析，求解物體所受力在振動(dòng)方向上的合力，利用物體所受到的回復(fù)力是否滿足F=-kx進(jìn)行判斷。(3)根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)，分析求解振動(dòng)物體的加速度，利用簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征進(jìn)行判斷。二、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中各個(gè)物理量的變化規(guī)律1.根據(jù)水平彈簧振子圖,可分析各個(gè)物理量的變化關(guān)系如下:振子的運(yùn)動(dòng)A→OO→A′A′→OO→A位移方向向右向左向左向右大小減小增大減小增大回復(fù)力方向向左向右向右向左大小減小增大減小增大加速度方向向左向右向右向左大小減小增大減小增大速度方向向左向左向右向右大小增大減小增大減小振子的動(dòng)能增大減小增大減小彈簧的勢(shì)能減小增大減小增大系統(tǒng)總能量不變不變不變不變2.各個(gè)物理量對(duì)應(yīng)關(guān)系不同:位置不同,位移不同,加速度、回復(fù)力不同,但是速度、動(dòng)能、勢(shì)能可能相同,也可能不同?！緦W(xué)而后思】(1)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中在最大位移處和平衡位置處各物理量的特點(diǎn)是什么?提示:在最大位移處,x、F、a、Ep最大,v=0,Ek=0;在平衡位置處,x=0,F=0,a=0,Ep最小但不一定為零,v、Ek最大。(2)對(duì)豎直彈簧振子來(lái)說(shuō),振動(dòng)能量包含哪幾種形式的能量?提示:動(dòng)能、彈性勢(shì)能、重力勢(shì)能。【典例2】如果表中給出的是做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體的位移x或速度v與時(shí)刻的對(duì)應(yīng)關(guān)系,T是振動(dòng)周期,則下列選項(xiàng)中正確的是()0T/4T/23T/4T甲零正向最大零負(fù)向最大零乙零負(fù)向最大零正向最大零丙正向最大零負(fù)向最大零正向最大丁負(fù)向最大零正向最大零負(fù)向最大時(shí)刻物理量狀態(tài)A.若甲表示位移x,則丙表示相應(yīng)的速度vB.若丁表示位移x,則甲表示相應(yīng)的速度vC.若丙表示位移x,則甲表示相應(yīng)的速度vD.若乙表示位移x,則丙表示相應(yīng)的速度v【解題探究】(1)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體運(yùn)動(dòng)到關(guān)于平衡位置對(duì)稱的兩點(diǎn)時(shí),描述運(yùn)動(dòng)的各物理量有什么特點(diǎn)?提示:關(guān)于平衡位置對(duì)稱的這兩點(diǎn)速度、加速度、回復(fù)力、位移的大小分別相等。(2)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體從平衡位置向最大位移處移動(dòng)時(shí),v、x、a、F的大小怎樣變化?提示:速度減小、位移增大、加速度和回復(fù)力增大。【標(biāo)準(zhǔn)解答】選A、B。本題可結(jié)合如圖所示的彈簧振子的振動(dòng)情況具體分析。在振子從平衡位置(t=0)向右(正方向)運(yùn)動(dòng)到正向最大位移的過(guò)程中,其速度為正且由最大值減小到零,A正確;在振子從負(fù)向最大位移處運(yùn)動(dòng),經(jīng)周期回到平衡位置時(shí),振子向右運(yùn)動(dòng),速度為正且增大,B正確;若振子從正向最大位移向平衡位置運(yùn)動(dòng)時(shí),振子的速度為負(fù)且逐漸增大,C錯(cuò)誤;若振子從平衡位置向負(fù)向最大位移處運(yùn)動(dòng),則振子的速度為負(fù)且逐漸減小,D錯(cuò)誤?！咀兪接?xùn)練】(2013·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ)如圖,一輕彈簧一端固定,另一端連接一物塊構(gòu)成彈簧振子,該物塊是由a、b兩個(gè)小物塊粘在一起組成的。物塊在光滑水平面上左右振動(dòng),振幅為A0,周期為T0。當(dāng)物塊向右通過(guò)平衡位置時(shí),a、b之間的粘膠脫開;以后小物塊a振動(dòng)的振幅和周期分別為A和T,則A

A0(選填“>”“<”或“=”),T

T0(選填“>”“<”或“=”)?！窘馕觥课飰K以一定的速度通過(guò)平衡位置時(shí),質(zhì)量減小,則振動(dòng)的動(dòng)能減小,也就是系統(tǒng)的機(jī)械能減小,所以能到達(dá)的最大位移減小,振幅減小;由于在這周期內(nèi),初速度和末速度不變,平均速度不變,而位移減小了,所以運(yùn)動(dòng)時(shí)間減小,即振動(dòng)周期減小。答案:<<【變式備選】彈簧振子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),下列說(shuō)法中正確的是()A.振子在平衡位置,動(dòng)能最大,勢(shì)能最小B.振子在最大位移處,勢(shì)能最大,動(dòng)能最小C.振子在向平衡位置振動(dòng)時(shí),由于振幅減小,故總機(jī)械能減小D.在任意時(shí)刻,動(dòng)能與勢(shì)能之和保持不變【解析】選A、B、D。振子在平衡位置兩側(cè)往復(fù)振動(dòng),在最大位移處速度為零,動(dòng)能為零,此時(shí)彈簧的形變量最大,勢(shì)能最大,所以B正確;在任意時(shí)刻只有彈簧的彈力做功,所以機(jī)械能守恒,D正確,到平衡位置處速度達(dá)到最大,動(dòng)能最大,勢(shì)能最小,所以A正確;振幅的大小與振子的位置無(wú)關(guān),所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤。三、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的三大特征1.瞬時(shí)性：做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體在不同時(shí)刻運(yùn)動(dòng)到不同的位置，對(duì)應(yīng)不同的位移，由F=-kx可知回復(fù)力不同。由牛頓第二定律得可知加速度a也不相同，也就是說(shuō)a、F、x具有瞬時(shí)對(duì)應(yīng)性。2.對(duì)稱性：物體通過(guò)關(guān)于平衡位置對(duì)稱的兩點(diǎn)時(shí)，加速度(回復(fù)力)大小相等，速度大小相等，動(dòng)能相等，勢(shì)能相等。對(duì)稱性還表現(xiàn)在時(shí)間的相等上，如從某點(diǎn)到達(dá)最大位置和從最大位置再到該點(diǎn)所需要的時(shí)間相等。質(zhì)點(diǎn)從某點(diǎn)向平衡位置運(yùn)動(dòng)時(shí),到達(dá)平衡位置的時(shí)間和它從平衡位置再運(yùn)動(dòng)到該點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)所用的時(shí)間相等。3.周期性：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是一種往復(fù)的周期性運(yùn)動(dòng)，按其周期性可作如下判斷：(1)若t2-t1=nT，則t1、t2兩時(shí)刻振動(dòng)物體在同一位置，運(yùn)動(dòng)情況完全相同。(2)若t2-t1=nT+，則t1、t2兩時(shí)刻描述運(yùn)動(dòng)的物理量(x、F、a、v)大小均相等、方向相反(或均為零)?！緦W(xué)而后思】(1)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體每次經(jīng)過(guò)同一位置時(shí),加速度和速度有什么特點(diǎn)?提示:物體經(jīng)過(guò)同一位置時(shí),位移相同,回復(fù)力相同,所以加速度相同;速度的大小一定相同,方向可能不同。(2)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體從某一位置出發(fā),經(jīng)過(guò)時(shí)間Δt又回到了初位置,則Δt是否等于周期T的整數(shù)倍,即Δt=nT?提示:不一定。即Δt=nT不一定成立,物體經(jīng)過(guò)nT一定回到初位置,但物體從出發(fā)到再回到初位置經(jīng)歷的時(shí)間不一定是nT?！镜淅?】如圖所示,A、B疊放在光滑水平地面上,B與自由長(zhǎng)度為L(zhǎng)0的輕彈簧相連,當(dāng)系統(tǒng)振動(dòng)時(shí),A、B始終無(wú)相對(duì)滑動(dòng),已知mA=3m,mB=m,當(dāng)振子距平衡位置的位移x的大小為時(shí),系統(tǒng)的加速度大小為a,求A、B間摩擦力Ff與位移x的函數(shù)關(guān)系。【解題探究】(1)系統(tǒng)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體A和物體B各自做什么運(yùn)動(dòng)？它們的加速度、回復(fù)力是否等于系統(tǒng)的加速度和回復(fù)力？提示：A、B兩個(gè)物體均做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，加速度和系統(tǒng)的加速度相同，回復(fù)力不同。(2)物體A的回復(fù)力由哪個(gè)力來(lái)提供？A、B間的摩擦力是否為恒力？提示：物體B對(duì)A的靜摩擦力提供A的回復(fù)力，摩擦力的大小滿足|Ff|=｜kx｜?！緲?biāo)準(zhǔn)解答】設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k，以A、B整體為研究對(duì)象，系統(tǒng)在水平方向上做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其中彈簧的彈力作為系統(tǒng)的回復(fù)力，所以對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)到距平衡位置時(shí)，有由此得當(dāng)系統(tǒng)的位移為x時(shí)，A、B間的靜摩擦力為Ff，此時(shí)A、B具有共同加速度a′，對(duì)系統(tǒng)有-kx=(mA+mB)a′,①②對(duì)A有Ff=mAa′，③結(jié)合①②③有答案：【變式訓(xùn)練】(2013·咸陽(yáng)高二檢測(cè))質(zhì)量為m1和m2兩物塊用輕彈簧相連，將它們豎立在水平面上，如圖所示?，F(xiàn)在用豎直向下的壓力壓m1，使它們處于靜止?fàn)顟B(tài)。突然撤去壓力，當(dāng)m1上升到最高點(diǎn)時(shí)，m2對(duì)地壓力恰好為零。則系統(tǒng)靜止時(shí)豎直向下壓力大小等于多少？(提示：撤去力后m1上下做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng))【解析】當(dāng)m1運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，m2對(duì)地壓力恰好為零，則此時(shí)彈簧彈力為m2g。所以m1簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)最大加速度根據(jù)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)對(duì)稱性可知，突然撤去壓力時(shí)m1向上加速度也是：則：壓力F=m1am=(m1+m2)g答案：(m1+m2)g【典例】一輕質(zhì)彈簧豎直立在地面上，其勁度系數(shù)k=400N/m,彈簧的上端與空心物體A連接，物體B置于A內(nèi)，B的上下表面恰好與A接觸，如圖所示。A和B的質(zhì)量均為1kg，先將A向上抬高，使彈簧伸長(zhǎng)5cm后從靜止釋放，A和B一起做豎直方向的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，已知彈簧的彈性勢(shì)能決定于彈簧形變的大小，求：(g取10m/s2,阻力不計(jì))(1)物體A的振幅。(2)B的最大速度?？疾閮?nèi)容對(duì)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)的理解【標(biāo)準(zhǔn)解答】(1)物體A在平衡位置時(shí)，所受合外力為零，設(shè)此時(shí)彈簧被壓縮Δx，則有(mA+mB)g=kΔx，得Δx=(mA+mB)g/k=0.05m=5cm。開始釋放時(shí)物體A處在最大位移處，故振幅h=5cm+5cm=10cm。(2)設(shè)物體B的最大速率為v，因?yàn)槌跏嘉恢门c平衡位置的彈性勢(shì)能相等，故從初始位置到平衡位置，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有