第五章留數(shù)定理

第五章留數(shù)定理§1留數(shù)定理§2留數(shù)在定積分計算上的應(yīng)用（一）§3留數(shù)在定積分計算上的應(yīng)用（二）學(xué)習(xí)要求1.掌握殘數(shù)的概念和殘數(shù)定理。2.熟練掌握殘數(shù)的計算方法；能熟練利用殘數(shù)定理求沿封閉曲線積分；掌握利用殘數(shù)定理計算定積分（主要是三種類型）的方法。

考核知識點1.殘數(shù)的定義。2.可去奇點殘數(shù)的計算。3.本性奇點殘數(shù)的計算。4.極點殘數(shù)的計算。5.殘數(shù)定理6.利用殘數(shù)計算定積分

如果函數(shù)f(z)在z0的鄰域內(nèi)解析,根據(jù)柯西積分定理

如果z0為f(z)的一個孤立奇點,則沿在z0的某個去心鄰域0<|z-z0|<R內(nèi)，包含z0的任意一條正向簡單閉曲線C的積分一般就不等于零。思考：積分等于多少?§1留數(shù)定理結(jié)論：從上面的討論可知,積分的計算可轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)的羅朗展開式中z-z0的負(fù)一次冪項的系數(shù)c-1。或[思路一]將f(z)在此鄰域內(nèi)展開為羅朗級數(shù)

f(z)=...+c-n(z-z0)-n+...+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+...

后,兩端沿C逐項積分,右端各項積分除留下

c-1(z-z0)-1的一項等于2ic-1外，其余各項積分都等于零，所以若令n=-1,

得[思路二]由羅朗級數(shù)系數(shù)公式為函數(shù)f(z)在z0的留數(shù)(Residue)，記作Res[f(z),z0]。一、留數(shù)的定義

定義

若f(z)在去心鄰域內(nèi)解析，z0是f(z)的孤立奇點，C是

內(nèi)包圍z0的任意一條正向簡單閉曲線，定義積分即留數(shù)定理：如果函數(shù)f(z)在一條正向簡單閉曲線C上連續(xù)，在C的內(nèi)部除有限個孤立奇點z1,z2,...,zn外處處解析。則二、留數(shù)定理[證]把在C內(nèi)的孤立奇點zk(k=1,2,...,n)用互不包含的正向簡單閉曲線Ck圍繞起來,則根據(jù)多連通域的柯西積分定理有根據(jù)留數(shù)的定義，有討論問題：柯西積分定理、柯西積分公式與留數(shù)定理的關(guān)系如何？意義：把計算沿路徑積分的整體問題化為計算各孤立奇點留數(shù)的局部問題。2、求羅朗級數(shù)中c-1(z-z0)-1項的系數(shù)c-1。

三、留數(shù)的計算1、留數(shù)只對孤立奇點而言才有意義。2）如果z0是f(z)本性奇點,將f(z)在其z0的去心鄰域中展開為羅朗級數(shù)，求c-1;

如果知道奇點的類型,對求留數(shù)可能更有利。

1）如z0是f(z)的可去奇點,則Res[f(z),z0]=0;3）如果z0是f(z)的極點,則可以利用以下的規(guī)則：（極點留數(shù)的計算規(guī)則）規(guī)則2

如果z0為f(z)的m級極點，則規(guī)則1

如果z0為f(z)的一級極點,則

規(guī)則3

設(shè),P(z)及Q(z)在z0都解析,如果P(z0)0,Q(z0)=0,Qˊ(z0)0,則z0為f(z)的一級極點,且注意規(guī)則3的應(yīng)用條件例2:計算z=0是本性奇點例1:

例3.z=i與z=-i為的一階極點,故從而例4.

計算

解以z=0為其三階極點,故由殘數(shù)定理得例5.

計算

解在單位圓周|z|=1內(nèi),以z=0為其孤立奇點,我們應(yīng)用羅朗展式求為此注意后面那個因式在z=0解析,且顯然可以展為常數(shù)項為1的冪級數(shù)因此在z=0的無心領(lǐng)域內(nèi)有由此即得故由規(guī)則1,得我們也可以用規(guī)則III來求留數(shù)：這比用規(guī)則1要簡單些，但要注意應(yīng)用的條件。[方法一]、首先應(yīng)定出極點z=0的級數(shù)。由于因此z=0是z-sinz的三級零點，也就是f(z)的三級極點。例9：計算在z=0處的留數(shù).

應(yīng)用公式得由此可見,二階導(dǎo)數(shù)的計算過程將十分繁雜。

如果函數(shù)f(z)的極點z0的級數(shù)不是m,它的實際級數(shù)要比m低,這時表達(dá)式的系數(shù)c-m，c-m+1，…中可能有一個或幾個等于零,顯然規(guī)則2的公式仍然有效。

一般說來,在應(yīng)用規(guī)則2時,為了計算方便不要將m取得比實際的級數(shù)高。注意：在應(yīng)用規(guī)則2時，為了計算方便，可以將m取得比實際的級數(shù)高。[方法三]用洛朗展開式求c-1就比較方便，因為所以考慮：多值函數(shù)的留數(shù)計算。

1.定義：

設(shè)函數(shù)f(z)在圓環(huán)域R<|z|<內(nèi)解析，C為圓環(huán)域內(nèi)繞原點的任何一條簡單閉曲線，則積分稱其為f(z)在點的留數(shù)，記作這里積分路徑的方向是順時針方向，這個方向很自然地可以看作是圍繞無窮遠(yuǎn)點的正向。四、無窮遠(yuǎn)點的留數(shù)及計算方法將f(z)在R<|z|<+∞內(nèi)的羅朗展式為則即f(z)在點的留數(shù)等于函數(shù)f(z)在點的羅朗級數(shù)中z-1項的系數(shù)c-1的變號。注意：有限可去奇點的留數(shù)為0，z=∞既便是f(z)的可去奇點，f(z)在z=∞的留數(shù)也未必是0，為什么？另：由于f(z)在R<|z|<+內(nèi)解析，所以在此圓環(huán)域內(nèi)可以展開成洛朗級數(shù)C為R<|z|<+內(nèi)繞原點任何一條簡單正向閉曲線?？紤]n=-1的情況因此Res[f(z),]=-c-1

方法1如果f(z)在的洛朗展開式為

則有Res[f(z),∞]=-C-12、無窮遠(yuǎn)點留數(shù)的計算方法方法2z=∞是f(z)的可去奇點，并且則f(z)在z=∞的留數(shù)方法3

此結(jié)論請同學(xué)們課后自行證明。例設(shè)f(z)=z5/(1+z6),求z=∞的留數(shù)解：（方法一）由于f(z)在1<|z|<+內(nèi)解析，所以z=∞是可去奇點，z=∞的留數(shù)為Res[f(z),∞]=-C-1=-1（0）（方法二）z=∞是可去奇點，并且則Res[f(z),∞]

[定理]：如果函數(shù)f(z)在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)只有有限個孤立奇點，那末f(z)在所有各奇點(包括點)的留數(shù)總和必等于零.[證]除點外,設(shè)f(z)的有限個奇點為zk(k=1,2,...,n)。又設(shè)C為一條繞原點的并將zk(k=1,2,...,n)包含在它內(nèi)部的正向簡單閉曲線，則根據(jù)留數(shù)定理與在無窮遠(yuǎn)點的留數(shù)定義，有§4.2應(yīng)用留數(shù)理論計算實變函數(shù)定積分(重點的重點)一、需解決的問題許多場合中需要計算實變函數(shù)的定積分，而這些定積分利用高等數(shù)學(xué)中的知識較難求得或無法求得。二、解決問題的基本思路把需求解的定積分與復(fù)變函數(shù)的圍道積分聯(lián)系起來，再利用復(fù)變函數(shù)的知識以便得到定積分的解。31三、具體解法試求：將實變函數(shù)的積分路徑與復(fù)平面上的一段路徑C等同起來。abxxyzazbCxyCabxzazb32若對應(yīng)的復(fù)變路徑C不構(gòu)成閉合圍道，則補(bǔ)上一段路徑C’使得C+C’構(gòu)成一閉合圍道。abxxyC’zazbCxyCabxC’zazb33利用留數(shù)定理求出在C+C’上的積分，再利用其它方法求出在C’上的積分，相減后得到問題的答案。34注意：一般來講在C’上的積分利用約當(dāng)引理，可證為零。1.形如的積分為cos與sin

的有理函數(shù)，且在[0，2]上連續(xù)。

從而，積分化為沿正向單位圓周的積分：令z=eiθ，那么dz=ieiθdθ,dθ=dz/iz其中zk(k=1,2,…,n)為包含在單位圓周內(nèi)的f(z)的孤立奇點。注意：1）f(z)為z的有理函數(shù)；2）R(cos,sin)在[0，2],則f(z)在單位圓周上無奇點；3）積分限可以為[-

，]。4）若R(cos,sin)為偶函數(shù)，則例1計算的值.解：令例2

計算積分解則例3

計算解令極點為:(在單位圓內(nèi))(在單位圓外)例4計算的值.[解]由于0<p<1,被積函數(shù)的分母在0q2p內(nèi)不為零,因而積分是有意義的.由于cos2q=(e2iq+e-2iq)/2=(z2+z-2)/2,因此

在被積函數(shù)的三個極點z=0,p,1/p中只有前兩個在圓周|z|=1內(nèi),其中z=0為二級極點,z=p為一級極點.例5解：

(1)Q(z)比P(z)至少高兩次；

(2)Q(z)在實軸上無零點；

若R(z)在上半平面Imz＞0內(nèi)的極點為zk(k=1,2,…,n)，則有

2.形如的積分

引理1（大圓弧引理）設(shè)f(z)在CR上連續(xù)，CR：，且在CR上，則。特別：則證明只需證明對>0，當(dāng)R充分大時，有即可。

因為分析：可先討論最后令即可.2.積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化:取一條輔助曲線,使與區(qū)間一起構(gòu)成一條封閉曲線,并使R(z)在其內(nèi)部除有限孤立奇點外處處解析.(此法常稱為“圍道積分法”)1.被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化:(當(dāng)z在實軸上的區(qū)間內(nèi)變動時,R(z)=R(x))可取f(z)=R(z).

如圖所示：1）取輔助路徑CR

，CR與[-R,R]一起構(gòu)成閉合路徑C，其中CR是以原點為中心,R為半徑的上半平面的半圓周.2）取R適當(dāng)大,使R(z)所有的在上半平面內(nèi)的極點zk都包在這積分路線內(nèi).R(z)在C及其內(nèi)部(除去有限孤立奇點zk

）處處解析.z1z2z3yCR-RROx例1例2計算積分解

在上半平面有二級極點一級極點例3解：

3.形如的積分(1)Q(z)比P(z)至少高一次；(2)R(z)在實軸上沒有奇點;(3)>0;其中zk為R(z)在復(fù)平面上半平面的奇點。則設(shè)z1z2z3yCR-RROx

引理2(Jordan引理)

設(shè)f(z)在CR上連續(xù)，CR：如果在CR上，則證明：設(shè)f(z)在CR上連續(xù)，，

且滿足也可寫為不等式,當(dāng)時的圖示yqOpy=sinq1例計算的值.[解]這里m=2,n=1,m-n=1.R(z)