導(dǎo)熱的計(jì)算與分析

導(dǎo)熱的計(jì)算與分析第一頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日１、重點(diǎn)內(nèi)容：

①非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的基本概念及特點(diǎn)；②集總參數(shù)法的基本原理及應(yīng)用。2、掌握內(nèi)容：

①確定瞬時(shí)溫度場(chǎng)的方法；②一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題。

3、了解內(nèi)容：

二維和三維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱第二頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日§3.3.1概述一、非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程及其特點(diǎn)導(dǎo)熱系統(tǒng)內(nèi)溫度場(chǎng)隨時(shí)間變化的導(dǎo)熱過(guò)程為非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。溫度隨時(shí)間變化，熱流也隨時(shí)間變化。自然界和工程上許多導(dǎo)熱過(guò)程為非穩(wěn)態(tài)，t=f()如：冶金、熱處理與熱加工中工件被加熱或冷卻；鍋爐、內(nèi)燃機(jī)等裝置起動(dòng)、停機(jī)、變工況；自然環(huán)境溫度；供暖或停暖過(guò)程中墻內(nèi)與室內(nèi)空氣溫度第三頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日1、非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的分類周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：物體的溫度隨時(shí)間而作周期性的變化

非周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱（瞬態(tài)導(dǎo)熱）：物體的溫度隨時(shí)間不斷地升高（加熱過(guò)程）或降低（冷卻過(guò)程），在經(jīng)歷相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)間后，物體溫度逐漸趨近于周圍介質(zhì)溫度，最終達(dá)到熱平衡，物體的溫度隨時(shí)間的推移逐漸趨近于恒定的值。第四頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日300℃的鐵塊在冷水中的冷卻第五頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日2、溫度分布（瞬態(tài)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱）：

一初始溫度場(chǎng)均勻并為t0的無(wú)限大平壁，突然投入到溫度為t∞的流體中加熱。分析溫度、熱流量隨時(shí)間變化

平壁剛投入到流體中時(shí)，表面溫度tw立即發(fā)生變化，而溫度隨時(shí)間的變化率逐漸減小，并趨近于t∞；表面溫度tw變化后，溫度變化逐漸深入物體內(nèi)部，但要到τ2時(shí)刻，其中心溫度tm才開始變化，tm隨時(shí)間的變化率開始較小，以后增大又減小，最后，tm→t∞第六頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日3、熱量變化

物體投入到流體中后，由于開始時(shí)表面的傳熱溫差最大，表面熱流量立即達(dá)到最大值，以后隨著tw的增大而減小，最后趨于0，陰影部分面積表示總的吸熱量Q。第七頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日4、學(xué)習(xí)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的目的：物體某一部分加熱（冷卻）到某一確定溫度所需的時(shí)間τ——(已知溫度求時(shí)間)物體在非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程中的溫度分布t，熱應(yīng)力、熱變形分析、溫度變化率——(已知時(shí)間求溫度)某一時(shí)刻物體表面的熱流量及經(jīng)過(guò)一段時(shí)間總的吸熱量Q——(已知時(shí)間求熱量)第八頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日5、求解方法：分析解法：分離變量法、積分變換、拉普拉斯變換近似分析法：

集總參數(shù)法、積分法數(shù)值解法：有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、分子動(dòng)力學(xué)模擬第九頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日3.3.2對(duì)流邊界條件下的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱一、無(wú)限大平板加熱（冷卻）過(guò)程分析（略講）厚度2

的無(wú)限大平壁，、a為已知常數(shù)；=0時(shí)溫度為t0;突然把兩側(cè)介質(zhì)溫度降低為t并保持不變；壁表面與介質(zhì)之間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為h。兩側(cè)冷卻情況相同、溫度分布對(duì)稱，中心為原點(diǎn)。第十頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日導(dǎo)熱微分方程：初始條件：邊界條件：(第三類)由于是軸對(duì)稱問(wèn)題，可以取平板一般分析：一維、非穩(wěn)態(tài)、無(wú)內(nèi)熱源、常物性導(dǎo)熱問(wèn)題第十一頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日引入過(guò)余溫度第十二頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)上述模型采用分離變量法求解，得：傅里葉準(zhǔn)則令μn稱為特征值，是以下超越方程的根：第十三頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日—

無(wú)量綱距離可見(jiàn)，大平壁中離中心平面任一距離x處的無(wú)量綱過(guò)余溫度是Bi，F(xiàn)o和無(wú)量綱距離x/的函數(shù)。第十四頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日由于式中含有無(wú)窮級(jí)數(shù)，計(jì)算工作量很大計(jì)算表明，式中的指數(shù)項(xiàng)衰減很快當(dāng)Fo>0.2時(shí)，取無(wú)窮級(jí)數(shù)的首項(xiàng)而舍棄其他項(xiàng)，所得結(jié)果的誤差小于1％第十五頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)Fo>0.2時(shí)，取無(wú)窮級(jí)數(shù)的首項(xiàng)而舍棄其他項(xiàng)，相當(dāng)于將無(wú)窮級(jí)數(shù)中的Cn（n≥2）取為零于是在Fo>0.2后，有工程上常采用兩種簡(jiǎn)化的計(jì)算方法，由海斯勒(Heisler)提出的諾模圖(nomogram)方法和由Campo提出的近似擬合公式關(guān)于海斯勒?qǐng)D的使用方法以及擬合公式的具體表達(dá)式可參閱文獻(xiàn)第十六頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日根據(jù)溫度分布，可以計(jì)算出一段時(shí)間內(nèi)平壁在非穩(wěn)態(tài)過(guò)程中所傳遞的熱量對(duì)雙面對(duì)稱加熱的平壁而言，平壁從流體中吸收的熱量完全被平壁用來(lái)升高其自身溫度顯然，從平壁放入流體的時(shí)刻起到平壁與流體處于熱平衡狀態(tài)，平壁所吸收熱量為吸熱量

第十七頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日這是該非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程所吸收的總熱量

從初始時(shí)刻起到某一時(shí)刻τ的這段時(shí)間內(nèi)，平壁所吸收的熱量為：第十八頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日平壁內(nèi)溫度分布表達(dá)式中含有Fo數(shù)和Bi數(shù)，這說(shuō)明非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的物理過(guò)程和特征要受到這兩個(gè)量綱一的量的影響傳熱學(xué)中，通常將表示某一物理現(xiàn)象或物理過(guò)程特征的量綱一的量，稱為特征數(shù)或準(zhǔn)則數(shù)Fo數(shù)和Bi數(shù)的意義及對(duì)非穩(wěn)態(tài)過(guò)程的影響

第十九頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日出現(xiàn)在特征數(shù)中的幾何尺度稱為特征長(zhǎng)度，用符號(hào)l表示，characteristiclength對(duì)兩邊對(duì)稱加熱的厚為2δ的平壁非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題，用平壁的半厚度δ作為其特征長(zhǎng)度掌握特征數(shù)的定義及其物理意義是傳熱學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容Fo數(shù)和Bi數(shù)的意義及對(duì)非穩(wěn)態(tài)過(guò)程的影響

第二十頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日Fo數(shù)和Bi數(shù)的意義及對(duì)非穩(wěn)態(tài)過(guò)程的影響

將Fo數(shù)的定義式改寫為：式中，τ和δ2/a都具有時(shí)間的量綱——分子τ表示：邊界上發(fā)生熱擾動(dòng)時(shí)刻算起到計(jì)算時(shí)刻為止的時(shí)間——分母δ2/a表示：熱擾動(dòng)經(jīng)過(guò)一定厚度的固體層傳播到面積δ2上所需要的時(shí)間第二十一頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日Fo數(shù)可以看成是反映非穩(wěn)態(tài)進(jìn)程的無(wú)量綱時(shí)間。Fo數(shù)越大，邊界上的熱擾動(dòng)就能更深入地傳播到物體內(nèi)部，非穩(wěn)態(tài)過(guò)程進(jìn)行得越充分無(wú)量綱時(shí)間第二十二頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日1）畢渥數(shù)的定義：畢渥數(shù)屬特征數(shù)（準(zhǔn)則數(shù)）。

2）Bi物理意義：

Bi特征數(shù)反映了內(nèi)部導(dǎo)熱熱阻與外部(表面)對(duì)流傳熱熱阻的相對(duì)大小。3）特征長(zhǎng)度：是指特征數(shù)定義式中的幾何尺度。第二十三頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)解的討論1.Fo準(zhǔn)則對(duì)溫度分布的影響Fo0.2時(shí)，進(jìn)入正規(guī)狀況階段，平壁內(nèi)所有各點(diǎn)過(guò)余溫度的對(duì)數(shù)都隨時(shí)間按線性規(guī)律變化，變化曲線的斜率都相等。θm/θ0隨Fo增大而減小Fo<0.2時(shí)是瞬態(tài)溫度變化的初始階段，各點(diǎn)溫度變化速率不同初始階段第二十四頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日2.Bi準(zhǔn)則對(duì)溫度分布的影響B(tài)i表征了給定導(dǎo)熱系統(tǒng)內(nèi)的導(dǎo)熱熱阻與其和環(huán)境之間的換熱熱阻的對(duì)比關(guān)系。當(dāng)Bi時(shí)，意味著表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h，對(duì)流換熱熱阻趨于0。平壁的表面溫度幾乎從冷卻過(guò)程一開始，就立刻降到流體溫度t。第二十五頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日二、討論在第三類邊界條件下，確定非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱物體中的溫度變化特征與邊界條件參數(shù)的關(guān)系。

已知：平板厚2δ、初溫t0、表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h、平板導(dǎo)熱系數(shù)λ，將其突然置于溫度為t∞的流體中冷卻。由于單位面積導(dǎo)熱熱阻與外部對(duì)流熱阻的相對(duì)大小不同，平板中溫度場(chǎng)的變化會(huì)出現(xiàn)以下三種情形：

第二十六頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日由于表面對(duì)流換熱熱阻1/h幾乎可以忽略，因而過(guò)程一開始平板的表面溫度就被冷卻到t∞。并隨著時(shí)間的推移，整體地下降，逐漸趨近于t∞。（1）第二十七頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日

這時(shí)，平板中不同時(shí)刻的溫度分布介于上述兩種極端情況之間。（3）與的數(shù)值比較接近

這時(shí)，平板內(nèi)部導(dǎo)熱熱阻δ/λ幾乎可以忽略，因而任一時(shí)刻平板中各點(diǎn)的溫度接近均勻，并隨著時(shí)間的推移，整體地下降，逐漸趨近于t∞。（2）第二十八頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日§3.4集總參數(shù)法的簡(jiǎn)化分析

忽略物體內(nèi)部導(dǎo)熱熱阻、認(rèn)為物體溫度均勻一致的分析方法。此時(shí)，Bi→0，溫度分布只與時(shí)間有關(guān)，即t=f(τ)，與空間位置無(wú)關(guān)，因此，也稱為零維問(wèn)題。定義：由于物體內(nèi)溫度相差不大，而近似認(rèn)為這種非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程中物體內(nèi)的溫度分布與坐標(biāo)無(wú)關(guān)，僅隨時(shí)間變化，因此物體溫度可用任一點(diǎn)的溫度表示，而將物體的質(zhì)量和熱容量等視為集中這一點(diǎn)，這種方法——集總參數(shù)法。第二十九頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日一、集總參數(shù)法分析

h,t∞AQcΔΕρ,c,V,t0一個(gè)集總參數(shù)系統(tǒng)，其體積為V、表面積為A、密度為、比熱為c以及初始溫度為t0，突然放入溫度為t、換熱系數(shù)為h的環(huán)境中。

熱平衡關(guān)系為：內(nèi)熱能隨時(shí)間的變化率ΔΕ＝通過(guò)表面與外界交換的熱流量Qc

第三十頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)物體被冷卻時(shí)（t>t）,由能量守恒可知方程式改寫為：，則有初始條件控制方程第三十一頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日

積分過(guò)余溫度比其中的指數(shù)：第三十二頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日

是傅立葉數(shù)物體中的溫度呈指數(shù)分布方程中指數(shù)的量綱：第三十三頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日即與的量綱相同，當(dāng)時(shí)，則此時(shí)，上式表明：當(dāng)傳熱時(shí)間等于時(shí)，物體的過(guò)余溫度已經(jīng)達(dá)到了初始過(guò)余溫度的36.8％。稱為時(shí)間常數(shù)，用表示。第三十四頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日時(shí)間常數(shù)

稱為系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)，記為r，也稱弛豫時(shí)間。

如果導(dǎo)熱體的熱容量（Vc）小、換熱條件好（hA大），那么單位時(shí)間所傳遞的熱量大、導(dǎo)熱體的溫度變化快，時(shí)間常數(shù)(Vc/hA)小熱電偶測(cè)溫時(shí)，r越小越能反映被測(cè)流體溫度的變化第三十五頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日反映了系統(tǒng)處于一定的環(huán)境中所表現(xiàn)出來(lái)的傳熱動(dòng)態(tài)特征，與其幾何形狀、密度及比熱有關(guān)，還與環(huán)境的換熱情況相關(guān)?？梢?jiàn)，同一物質(zhì)不同的形狀其時(shí)間常數(shù)不同，同一物體在不同的環(huán)境下時(shí)間常數(shù)也是不相同。θ/θ0τ/τr0.386101當(dāng)物體冷卻或加熱過(guò)程所經(jīng)歷的時(shí)間等于其時(shí)間常數(shù)時(shí)，即τ=τr，τ=4τr，工程上認(rèn)為=4τr時(shí)導(dǎo)熱體已達(dá)到熱平衡狀態(tài)第三十六頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日瞬態(tài)熱流量：導(dǎo)熱體在時(shí)間0~

內(nèi)傳給流體的總熱量：當(dāng)物體被加熱時(shí)(t<t)，計(jì)算式相同（為什么？）總熱量：第三十七頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日集總參數(shù)法的判定依據(jù)

如何去判定一個(gè)任意的系統(tǒng)是集總參數(shù)系統(tǒng)？V/A具有長(zhǎng)度的因次，稱為集總參數(shù)系統(tǒng)的特征尺寸。為判定系統(tǒng)是否為集總參數(shù)系統(tǒng)，M為形狀修正系數(shù)。第三十八頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日

采用此判據(jù)時(shí)，物體中各點(diǎn)過(guò)余溫度的差別小于5%對(duì)厚為2δ的無(wú)限大平板對(duì)半徑為R的無(wú)限長(zhǎng)圓柱對(duì)半徑為R的球是與物體幾何形狀有關(guān)的無(wú)量綱常數(shù)第三十九頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日例題3-2將一個(gè)初始溫度為20℃、直徑為100mm的鋼球投入1000℃的加熱爐中加熱，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為h=50W/(m2·K)。已知鋼球的密度為7790kg/m3，比熱容為470J/(kg·K)，導(dǎo)熱系數(shù)為43.3W/(m·K)。試求鋼球中心溫度達(dá)到800℃所需要的時(shí)間。解：首先判斷能否用集總參數(shù)法求解：畢渥數(shù)為第四十頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日可以用集總參數(shù)法求解。

第四十一頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日§3-4半無(wú)限大的物體半無(wú)限大系統(tǒng)指的是一個(gè)半無(wú)限大的空間，也就是一個(gè)從其表面可以向其深度方向無(wú)限延展的物體系統(tǒng)。很多實(shí)際的物體在加熱或冷卻過(guò)程的初期都可以視為是一個(gè)半無(wú)限大固體的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程。第四十二頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日

有一半無(wú)限大物體，初始溫度均勻?yàn)閠0。在τ=0時(shí)刻，x=0的側(cè)面突然受到熱擾動(dòng)，表面溫度突然變化到tw，并一直保持恒定。第四十三頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日誤差函數(shù)：令

無(wú)量綱坐標(biāo)引入過(guò)余溫度問(wèn)題的解為

誤差函數(shù)無(wú)量綱變量第四十四頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日說(shuō)明：(1)無(wú)量綱溫度僅與無(wú)量綱坐標(biāo)

有關(guān)。(2)一旦物體表面發(fā)生了一個(gè)熱擾動(dòng)，無(wú)論經(jīng)歷多么短的時(shí)間，無(wú)論x有多么大，該處總能感受到溫度的化。第四十五頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日令若即可認(rèn)為該處溫度沒(méi)有變化第四十六頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日幾何位置若，則在τ時(shí)刻x處的溫度可以認(rèn)為尚未變化。對(duì)一原為2δ的平板，若即可作為半無(wú)限大物體來(lái)處理兩個(gè)重要參數(shù):第四十七頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日②時(shí)間條件若，則此時(shí)x處的溫度可以認(rèn)為完全不變，因而可以把視為惰性時(shí)間。既當(dāng)時(shí)x處的溫度可認(rèn)為等于t0?；蛘哒f(shuō)，當(dāng)它的局部Fo數(shù)時(shí)，物體中的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱可以作半無(wú)限大物體來(lái)處理。對(duì)于有限大的實(shí)際物體，半無(wú)限大物體的概念只適用于物體的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的初始階段，那在惰性時(shí)間以內(nèi)。第四十八頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日[0,]內(nèi)累計(jì)傳熱量吸熱系數(shù)令x=0，即得邊界面上的熱流通量即任一點(diǎn)的熱流通量：③傳熱量計(jì)算第四十九頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日井筒是打開油氣藏、采出油氣資源的必由通道，無(wú)論是在鉆井、注入或采出過(guò)程中，井筒內(nèi)流體的溫度變化規(guī)律始終是石油工程所關(guān)注的問(wèn)題井筒內(nèi)流體的溫度變化源自地層加熱或冷卻作用

鉆井工程中：地層加熱作用使鉆井液、水泥漿的溫度在鉆進(jìn)過(guò)程中逐漸升高，特別是對(duì)深井、超深井，進(jìn)而影響到它們的性能，對(duì)鉆井過(guò)程、固井質(zhì)量產(chǎn)生影響3.5井筒周圍地層內(nèi)的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱／工程背景第五十頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日注蒸汽開發(fā)稠油油藏時(shí)，高溫高壓的濕蒸汽與地層間存在的熱損失使蒸汽沿井筒流動(dòng)時(shí)干度逐漸降低而影響到注汽加熱的效果采油過(guò)程中高溫產(chǎn)液在舉升因散熱使產(chǎn)液溫度降低，粘度增加，使稠油機(jī)采井的生產(chǎn)狀況惡化，能耗增加第五十一頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日采用加熱措施（如電加熱、電伴熱、井筒熱流體循環(huán)等）開發(fā)稠油、高凝油時(shí)，都存在因地層與流體間的熱量傳遞使流體溫度發(fā)生變化而影響生產(chǎn)過(guò)程的問(wèn)題地?zé)衢_發(fā)利用過(guò)程中，為計(jì)算井口處熱流體溫度，也需要計(jì)算流體在從井底沿井筒向上流動(dòng)時(shí)與地層之間的傳熱量第五十二頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日上述各問(wèn)題中：——計(jì)算目的：確定井筒內(nèi)流體溫度沿井深的變化——計(jì)算關(guān)鍵：井筒內(nèi)流體與地層之間的傳熱量——計(jì)算困難：具體的工藝不同，井筒結(jié)構(gòu)不同，井筒內(nèi)流體與地層之間的熱量傳遞過(guò)程中涉及到的熱量傳遞方式和環(huán)節(jié)也不盡相同直接研究井筒內(nèi)流體與地層間的熱量傳遞過(guò)程有困難

第五十三頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日工程上為了便于分析，通常將整個(gè)熱量傳遞過(guò)程分為：——地層內(nèi)的熱量傳遞過(guò)程（簡(jiǎn)稱“地層內(nèi)”），熱量傳遞為導(dǎo)熱——井筒內(nèi)的熱量傳遞過(guò)程（簡(jiǎn)稱“井筒內(nèi)”），熱量傳遞方式和環(huán)節(jié)取決于具體工藝過(guò)程第五十四頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日工藝不同，二者的分界面不同——鉆井、固井等工藝中，分界面是裸露的井壁——采油、注氣、壓裂等工藝中，分界面是水泥環(huán)外緣不同工藝中熱量傳遞過(guò)程的差別體現(xiàn)在井筒內(nèi)，而地層內(nèi)的熱量傳遞過(guò)程是相同的第五十五頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日本節(jié)主要分析地層內(nèi)的熱量傳遞過(guò)程－導(dǎo)熱過(guò)程分析井筒周圍地層內(nèi)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的方法很多，如理論分析法、數(shù)值分析方法等，應(yīng)用最多的是半解析法，這里主要介紹這種方法第五十六頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日自地表至油層的井筒（這里只考慮直井）是聯(lián)系地面與油層的通道當(dāng)與地層溫度不同的流體突然通過(guò)井筒時(shí)，地層內(nèi)將會(huì)產(chǎn)生熱量傳遞過(guò)程地層通常是由致密的巖石組成，因此熱量在地層內(nèi)傳遞方式為導(dǎo)熱

物理模型第五十七頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日井筒周圍地層內(nèi)的導(dǎo)熱過(guò)程是復(fù)雜的，體現(xiàn)在：1）自井筒向外的地層無(wú)限大，過(guò)程永遠(yuǎn)也達(dá)不到穩(wěn)定狀態(tài)2）受地質(zhì)成因與構(gòu)造的影響，自地面到油層，地層的非均質(zhì)性較強(qiáng)，相關(guān)物性是變化的3）受地核的加熱作用，地層溫度向地心方向不斷增加4）井筒結(jié)構(gòu)不同，地層和井筒的交界面不同，交界面處的邊界條件難以給出

物理模型第五十八頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日在數(shù)千米深的地層內(nèi)全面考慮上述因素直接求解其導(dǎo)熱問(wèn)題是復(fù)雜和困難的，結(jié)果也不利于工程計(jì)算實(shí)際計(jì)算時(shí)通常將井筒和地層分成若干小段，在每小段內(nèi)可做如下假設(shè)：1）地層是均質(zhì)的，各物性均為常數(shù)2）地層的初始溫度均勻，以該段中間位置處的原始地層溫度作為其初始溫度物理模型第五十九頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日3）為了便于和井筒內(nèi)的計(jì)算相耦合，設(shè)地層和井筒的交界面處于第二類邊界條件下4）忽略周向的導(dǎo)熱5）小段內(nèi)忽略軸向?qū)?）地層內(nèi)不存在內(nèi)熱源

物理模型第六十頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日由于井筒是圓柱形的，因此在柱坐標(biāo)系下建立數(shù)學(xué)模型更為方便——以地表為坐標(biāo)原點(diǎn)——井筒中心線為z軸，沿井筒向下為正方向——從井筒向外為徑向正方向數(shù)學(xué)模型與求解第六十一頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)模型與求解由物理模型，柱坐標(biāo)系下的導(dǎo)熱微分方程為可以簡(jiǎn)化：式中，a為地層熱熱擴(kuò)散系數(shù)，m2/s第六十二頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)模型與求解初始條件：t0z為該段中間位置處的原始地層溫度，按下式計(jì)算：式中，ts為地表處不受環(huán)境影響的溫度，℃；m為地溫梯度，℃/m；z為該段中間位置處的坐標(biāo)。第六十三頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)模型與求解邊界條件：在地層和井筒的交界面r=R處：在徑向無(wú)限遠(yuǎn)處：式中，λ為地層的導(dǎo)熱系數(shù)，W/(m·K)；R為交界面處的半徑；qlz為該段內(nèi)由單位長(zhǎng)度井筒通過(guò)交界面?zhèn)鹘o地層的熱量，W/m；t0z為該段中間位置處的原始地層溫度第六十四頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)模型與求解井筒周圍地層內(nèi)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的完整數(shù)學(xué)模型：初始條件：邊界條件：采用Laplace變換可以解得模型的分析解第六十五頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)模型與求解地層內(nèi)的溫度分布為：其中I為式中，J0、J1為零階、一階第一類貝塞爾函數(shù)，Y0、Y1為零階、一階第二類貝塞爾函數(shù)，都是數(shù)學(xué)上常用的特殊函數(shù)第六十六頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)模型與求解令r=R，可以得到地層和井筒交界面處的溫度：

式中，

無(wú)論是計(jì)算地層內(nèi)的溫度還是交界面處的溫度，關(guān)鍵是如何計(jì)算其中的積分I第六十七頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)模型與求解

采用解析方法難于求出積分I，用數(shù)值積分的工作量又很大

為了便于工程計(jì)算，人們利用解析解數(shù)據(jù)對(duì)其進(jìn)行了擬合，得到了簡(jiǎn)單的關(guān)系式第六十八頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)模型與求解為了便于擬合，首先對(duì)交界面溫度表達(dá)式進(jìn)行無(wú)量綱化處理

第六十九頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)模型與求解為此定義了如下的無(wú)量綱溫度tD和無(wú)量綱時(shí)間τD：第七十頁(yè)，共九十頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)模型與求解

將無(wú)量綱溫度tD和無(wú)量綱時(shí)間τD代入到