東北大學matlab課程設計根軌跡超前校正

目錄TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"目錄 1\o"CurrentDocument"1課題概述 3\o"CurrentDocument"1.1課設目的 3\o"CurrentDocument"1.2根軌跡法超前校正 3\o"CurrentDocument"1.3Matlab簡介 4\o"CurrentDocument"2根軌跡超前校正法 5\o"CurrentDocument"2.1根軌跡校正步驟 5\o"CurrentDocument"2.2根軌跡超前校正設計的具體方法——幾何法 53系統(tǒng)校正 7\o"CurrentDocument"3.1已知條件及要求 7系統(tǒng)分析 7\o"CurrentDocument"調節(jié)參數a 10\o"CurrentDocument"零極點配置 11\o"CurrentDocument"4課設總結 16\o"CurrentDocument"參考文獻 16摘要近年來，自動控制系統(tǒng)在現代文明和技術的發(fā)展與進步中，起著越來越重要的作用。在工程實踐中,有時需要在系統(tǒng)分析的基礎上將原有系統(tǒng)的特性加以修正和改造，使系統(tǒng)能夠實現給定的性能要求，因此，系統(tǒng)中就需要校正控制器的存在。時域分析表明，閉環(huán)特征根是自然模式的指數系數，決定了系統(tǒng)的響應性能。根軌跡法的提出讓系統(tǒng)中容易設定的參數在可能的范圍內連續(xù)變化，引起特征根也連續(xù)變化，將特征根的變化軌跡在根平面上繪制出來，從中選擇有好的響應性能的特征根，對應的參數也就確定了，這是根軌跡分析要完成的任務。根軌跡分析討論了影響根軌跡改變的因素。但當改變參數都找不到適合的特征根時，通過配置具有合適的傳遞函數的控制器來改變系統(tǒng)的結構，改造系統(tǒng)的根軌跡，從而獲得好的特征根，使其滿足性能指標。根軌跡的超前校正使用了Matlab軟件，通過它可以對根軌跡進行可視化設計，具有操作簡單、界面直觀、交互性好、設計效率高等優(yōu)點、克服了之前超前校正裝置往往依賴于試湊的方法，重復勞動多，運算量大，又難以得到滿意的結果。Matlab作為一種高性能軟件和編程語言，以矩陣運算為基礎，把計算、可視化、程序設計融合到了一個簡單易用的交互式工作環(huán)境中，是進行控制系統(tǒng)計算機輔助設計的方便可行的實用工具。因此，隨著計算機的發(fā)展和Matlab軟件的普及，避免了繁瑣的計算和繪圖過程，從而為線性控制系統(tǒng)的設計提供了一種簡單有效地途徑。本文將基于根軌跡法設計超前校正器，并給出它的Matlab實現。關鍵詞：根軌跡，超前校正，Matlab課題概述1.1課設目的已知：某直流電機控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為W(s)=心亠，當k=0.25K S2(S+1)時，控制以a為變量的根軌跡，用根軌跡法設計串聯(lián)超前校正裝置，使超調量5%<10%。設計要求：從實際系統(tǒng)中抽象出傳遞函數，并用Matlab仿真出其結果。固有傳遞函數的閉環(huán)特征根在S平面上是有確定點的，由這些點確定的響應性能不好時，需要加以改變。改變開環(huán)放大系數能使閉環(huán)特征根沿著根軌跡移動，結果有兩種情形：一種情形是開環(huán)放大系數在某個數值下或某個取值范圍內特征根的分布能夠滿足系統(tǒng)性能的要求，于是只要調節(jié)開環(huán)增益就行了；另一情形是根軌跡上沒有合乎要求的特征根，這是需要在S平面上先選定一個期望的閉環(huán)主導極點，再通過串聯(lián)合適的校正裝置校正根軌跡。根軌跡串聯(lián)超前校正就是通過串聯(lián)零點，或具有零點性質的零極點對來實現的［1。］1.2根軌跡法超前校正特征方程的根隨某個參數由零變到無窮大時在復數平面上形成的跡稱為根軌跡。在控制系統(tǒng)的分析中，對特征方程根的分布的研究，具有重要的意義。1948年，伊文斯(W?R?EVANS)提出了直接由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數確定系統(tǒng)閉環(huán)特征根的圖解法，即工程上廣泛使用的根軌跡法。利用這一方法可以分析系統(tǒng)的性能，確定系統(tǒng)應有的結構和參數，也可用于校正裝置的綜合，根軌跡法的基礎是系統(tǒng)的傳遞函數，這一方法僅適用于線性系統(tǒng)。根軌跡法是一種圖解方法，它是古典控制理論中對系統(tǒng)進行分析和綜合的基本方法之一。它描述的是系統(tǒng)某個參數從零變化到無窮大時的閉環(huán)極點的位置變化。由于根軌跡圖直觀地描述了系統(tǒng)特征方程的根(即系統(tǒng)的閉環(huán)極點)在s平面上的分布，因此，用根軌跡法分析自動控制系統(tǒng)十分方便，特別是對于高階系統(tǒng)和多回路系統(tǒng)，應用根軌跡法比用其他方法更為方便，因此在工程實踐中獲得了廣泛應用。所謂校正，就是在系統(tǒng)中加入一些其參數可以根據需要而改變的機構或裝置，使系統(tǒng)整個特性發(fā)生變化，從而滿足給定的各項性能指標。這一附加裝置成為校正裝置。加入校正裝置后使未校正系統(tǒng)的缺陷得到補償，這就是校正作用。無源超前校正網絡的傳遞函數可寫為g(s)=1+aTs其中a>l,故超前網絡的負實1+Ts零點總是位于其負實極點之右，起到微分作用，a的值選的越大，則超前網絡的微分作用越強［1。］1.3Matlab簡介Matlab是mathworks公司于1984年推出的數學軟件，是一種用于科學工程計算的高效率的高級語言。Matlab的含義是“矩陣實驗室”主要向用戶提供一套非常完善的矩陣運算命令。Matlab系統(tǒng)由Matlab開發(fā)環(huán)境、Matlab數學函數庫、Matlab語言、Matlab圖形處理系統(tǒng)和Matlab應用程序接口(API)五大部分構成。自上世紀70年代發(fā)展以來，經過多年的補充完善以及數個版本的升級換代，逐漸發(fā)展為了集圖形交互、通用科學計算、程序語言設計和系統(tǒng)控制于一體的龐大軟件。在以商品形式出現后的短短幾年時間里，MATLAB就以其很好的開放性和運行的可靠性，使原來在控制領域的封閉式的軟件紛紛淘汰。20世紀90年代，MATLAB就已成為了國際控制界內公認的標準計算軟件，在數值計算方面MATLAB超過了30多個數學類科技應用軟件，獨占鰲頭。Matlab的根軌跡方法允許進行可視化設計，具有操作簡單、界面直觀、交互性好、設計效率高等優(yōu)點。早期超前校正器的設計往往依賴于試湊的方法，重復勞動多，運算量大，又難以得到滿意的結果。MATLAB作為一種高性能軟件和編程語言，以矩陣運算為基礎，把計算、可視化、程序設計融合到了一個簡單易用的交互式工作環(huán)境中，是進行控制系統(tǒng)計算機輔助設計的方便可行的實用工具。因此，隨著計算機的飛速發(fā)展和MATLAB軟件的普及，借助MATLAB，通過編寫函數和程序，可以容易地設計出超前校正器，避免了繁瑣的計算和繪圖過程，從而為線性控制系統(tǒng)的設計提供了一種簡單有效的途徑。本論文主要是對經典根軌跡校正設計方法的研究，針對受控對象，設計合適的根軌跡校正控制器，改善系統(tǒng)的性能指標，使系統(tǒng)能夠實現給定的性能要求。

根軌跡超前校正法2.1根軌跡校正步驟根軌跡校法在實際中，只調整增益通常是不能獲得所希望性能的，因此，必須改造根軌跡，通過引入適當的校正裝置來改變原來的的根軌跡。引入校正裝置就是在系統(tǒng)中增加零極點，通過零極點的變化改變根軌跡的形狀。從而使系統(tǒng)根軌跡在S平面上通過希望的閉環(huán)極點。根軌跡法校正的特征是基于閉環(huán)系統(tǒng)具有一對主導閉環(huán)極點。本次校正主要采用根軌跡串聯(lián)超前校正。根軌跡串聯(lián)超前校正的一般步驟如下：（1）根據要求的動態(tài)指標確定期望的閉環(huán)主導極點，計算該點的零極點矢量輻角，判斷是否滿足輻角條件，若滿足輻角條件，則由幅值條件計算該點的的Kg值，由求得的Kg值計算校正參數即可完成校正任務。若不滿足輻角條件，將輻角差額計算出來，需要由零點性質的傳遞函數補償，即根軌跡超前校正。（2） 根據超前相移確定校正網絡的零極點值。（3） 由幅值條件計算閉環(huán)主導極點處的根軌跡放大系數，并計算校正網絡的零極點增益值。（4） 繪制校正后的根軌跡圖，將其余的閉環(huán)極點和閉環(huán)零點計算出來，根據他們的位置分析對閉環(huán)主導極點產生影響，并考慮是否調整選定的閉環(huán)主導極點以適應他們的影響。2.2根軌跡超前校正設計的具體方法——幾何法設未校正系統(tǒng)的傳遞函數為G（s），超前校正器的傳遞函數為:02-1)2-2)2-1)2-2)G(s)=kcx—則校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為：c s+b則校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為：G(s)=G(s)DG(s)=G(s)Ukcx

ope c0 0用根軌跡超前校正幾何法的設計步驟如下［2］：（1）根據要求的動態(tài)品質指標，確定閉環(huán)主導極點S的位置。S的位置確112)計算使根軌跡通過主導極點S所需的補償角。補償角的計算公式為：19=180o—Z(S1)c2-4)(3)按圖1確定g(s)的零極點，可使其c附加增益最小，其方法是：過S點作水平線9=180o—Z(S1)c2-4)(3)按圖1確定g(s)的零極點，可使其c附加增益最小，其方法是：過S點作水平線S，則ZBSO=9°111作ZBSO的角平分線SC。11在線SC兩邊作圖1確定根軌跡超前校正零極點ZDSC=ZESC=9込。線SD、SE與負實軸1 1 c 1 1的交點坐標分別為b、a,則可確定超前校正器的極、零點:2-5)4)由根軌跡幅值條件即IG(s)G(s)1=1c0計算校正器的增益kc。根據圖1，由平面幾何的基本知識得：2-6)令ZSDO=9，貝【J1p9—9c22-7)令ZSEO=9，貝U1z9+9c2-8)z2令—b=p，則cp=—b=Re(S)—c1Im(S)Ltan9

p2-9)—az=—a=Re(S)—"S1 )c 1tan92-10)系統(tǒng)校正3.1已知條件及要求已知條件：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為：W(s)=k(s+a)，其中，k=0.25;k s2(s+1)要求：控制以a為變量的根軌跡，用根軌跡法設計串聯(lián)超前校正裝置，使超調量5%<10%。從實際系統(tǒng)中抽象出傳遞函數，并用Matlab仿真出其結果。3.2系統(tǒng)分析根據所給定的開環(huán)傳遞函數可以用MATLAB作出其初始的根軌跡圖：因為是以a為變量的根軌跡，所以所得到的軌跡為廣義根軌跡。廣義根軌跡是指以非開環(huán)增益為可變參數繪制的根軌跡。繪制廣義根軌跡與繪制常規(guī)根軌跡完全相同，只是在繪制廣義根軌跡之前，需化為等效單位反饋系統(tǒng)和等效傳遞函數。由系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數得系統(tǒng)特征方程：s3+s2+0.25s+0.25a=0等效開環(huán)傳遞函數為：0.25aW(s)=-K1 s3+s2+0.25s即可得系統(tǒng)廣義根軌跡方程：111s3+s2+0.25s—0.25a—Kg其中-0.25a=-K。g在matlab命令窗口中鍵入如下命令：clear;num=[1];

den=[110.250];G=tf(num,den);rlocus(G)即可得系統(tǒng)根軌跡1.50.5106-0.5-10.76RootLocus0.620.760.880.97Frequency(rad/sec):0.2280.970.880.620.48 0.36 0.24 0.1214 120.48 0.36 0.24 0.12System:GGain:0.0383Pole:-0.135+0.185i1.50.5106-0.5-10.76RootLocus0.620.760.880.97Frequency(rad/sec):0.2280.970.880.620.48 0.36 0.24 0.1214 120.48 0.36 0.24 0.12System:GGain:0.0383Pole:-0.135+0.185i-><^Damping:0.589Overshoot(%):10.1System:GGain:0.25Pole:0.000762+0.5iDamping:-0.00152Overshoot(%):100Frequency(rad/sec):0.5-1.5-1.6-1.4-1.2-10.8 0.6 、04 0.2「卜縮j匚也y-0.8 -0.6 -0.4 -0.2RealAxis0.20.4系統(tǒng)廣義根軌跡從圖中右邊一點可以讀出數據：當增益為從圖中右邊一點可以讀出數據：當增益為0.25時，系統(tǒng)根軌跡交于虛軸上，此時超調量達到100%。由此可得系統(tǒng)穩(wěn)定范圍:0<Kg<0.25。即0<0.25a<0.25,即0<a<1。從圖中靠近左邊一點可以讀出數據：當增益為Kg=0.0383,即0.25a=0.0383時,系統(tǒng)超調量為10.1%。但此超調并不是原系統(tǒng)的超調量。要分析原系統(tǒng)的動態(tài)性能,需要對原系統(tǒng)進行響應分析。當0.25a=0.0383時,原系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數為W(s)= =0.25s+0.0383Ks2(s+1) s2(s+1)對系統(tǒng)進行階躍響應分析：

在Matlab中輸入程序如下clearclcnum=[0.250.0383];den=[1100];G=tf(num,den);G_close=feedback(G,1);step(G_close)1.41.21.41.21e0.8Am0.60.40.20051015202530354045Time(sec)圖原系統(tǒng)階躍響應從圖中可以看出，此時系統(tǒng)的單位階躍響應，超調量5%<33.6%，遠遠超過系統(tǒng)要求的性能指標。當0.25a=0.0383時，原系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數為：k(s+a) 0.25s+0.0383W(s)= =K s2(s+1) s2(s+1)等效系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為：0.0383W(s)=-K1 s3+s2+0.25s原系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數為：

0.25s+0.0383S(s)=K s3+s2+0.250.25s+0.0383等效系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數為：0.0383S(s)=K1s3+s2+0.25s+0.0383從上述分析可以看出：等效后的系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數的分母與原系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數的分母相同，即有相同的特征方程和特征根。但兩者的閉環(huán)零點不同。原系統(tǒng)中多了一個零點，所以在響應曲線中表現出超調量變大，使從廣義根軌跡中得到的參數點與原系統(tǒng)不符。即要使原系統(tǒng)的響應曲線滿足要求，需要返回到原系統(tǒng)中進行分析，不能只根據廣義根軌跡來對系統(tǒng)進行判斷，校正[3]。3?3調節(jié)參數a由上述分析可知，當a取值在(01)中時，系統(tǒng)的根均在虛軸的左半平面，系統(tǒng)穩(wěn)定。而且當a取值越小時，等效系統(tǒng)穩(wěn)定性越好，超調量越小，原系統(tǒng)穩(wěn)定性也響應增加，超調量響應減小。因此可以在(01)區(qū)間逐步減小a的取值，觀察原系統(tǒng)響應曲線是否可以達到系統(tǒng)要求。原系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數已知，根據所有穩(wěn)定系統(tǒng)都可以化為單位負反饋的原則，對該系統(tǒng)可以當做單位負反饋處理計算。因此當系統(tǒng)輸入為單位階躍輸入時，系統(tǒng)的期望的輸出穩(wěn)定值也為一個單位值。系統(tǒng)指標要求超調量小于10%，因此系統(tǒng)輸出最大值不應超過1.1，通過Matlab軟件計算可得a的取值范圍。程序如下：clearclca=1;p=2;whilep>1.1a=a-0.001;G=tf([0.250.25*a],[1100]);sys=feedback(G,1);[kt]=step(sys);p=max(k);endstep(sys)仿真結果如下：a=0.031SystfPeak_Overem:sysamplitude:1.1shoot(%):9.74ne(sec):15.8AttimF —_■ /11.41.21e0.8Am0.60.40.200102030405060Time（sec）圖系統(tǒng)響應曲線StepResponse從上圖可以看出，系統(tǒng)超調量已達到9.74%，滿足系統(tǒng)要求。因此，對于本系統(tǒng)，只調節(jié)a即可滿足系統(tǒng)要求，當a取值越小時，系統(tǒng)超

調量越小，所以a的取值范圍為（0 0.031），即在此區(qū)間的a可使系統(tǒng)響應滿足系統(tǒng)要求。3.4零極點配置由上述分析可知，對于原系統(tǒng)，只調節(jié)參數a即可滿足系統(tǒng)要求。但是系統(tǒng)的調節(jié)時間過長，已在16秒左右，對于實際系統(tǒng)需要進行進一步調節(jié)。當a=0.031時，系統(tǒng)響應曲線即可以滿足系統(tǒng)要求。因此，在此基礎上對系統(tǒng)響應時間進行校正，更容易獲得滿意的響應曲線。接下來就根據根軌跡超前校正法對系統(tǒng)進行零極點配置，對系統(tǒng)進行校正，以使系統(tǒng)超調滿足要求，并且調節(jié)時間不至于過長，更加符合實際需要。（1）原系統(tǒng)要求最大超調量小于等于10%，則可得：—b%=e"i弋2x100%<10% 即得：:>0.59

因此，可取因此，可取:=0.652）增加系統(tǒng)調節(jié)時間指標要求，設為3t= <1.5ssSn確定的自然震蕩角頻率為31.5x31.5x0.6rads=3.3rad■s則期望的主導極點為：s=—go+j\;1—g2①=—1.98+j2.641,2 n n（3）原系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數零極點坐標分別為：零點：（-0.0310）極點：（0 0）、（0 0）、（-1 0）期望主導極點：（-1.98+2.64j）、（-1.98-2,64j）從上述比較可得，零點（-0.031 0）與極點（0 0）相對于期望閉環(huán)主導極點可近似等效為零極點對，二者對系統(tǒng)的影響可相互抵消。因此原系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數可近似等效為：0.25W(s)=-K2 s(s+1)通過根軌跡超前校正方法，對上述等效系統(tǒng)進行校正Matlab編程如下：clearclczeta=0.6wn=3.3s1=-zeta*wn+sqrt(1-zeta^2)*wn*i;ng=[0.25];dg=[110];ngv=polyval(ng,s1);dgv=polyval(dg,s1);g=ngv/dgv;theta=angle(g);phic=pi-theta;

phi=angle(s1);thetaz=(phi+phic)/2;thetap=(phi-phic)/2;zc=real(s1)-(imag(s1)/tan(thetaz));pc=real(s1)-(imag(s1)/tan(thetap));nc=[1-zc];dc=[1-pc];nv=polyval(nc,s1);dv=polyval(dc,s1);kv=nv/dv;kc=abs(1/(g*kv));kcGc=tf(nc,dc)s=tf([0.25],[110]);sys=kc*Gc*s;scop=feedback(sys,1);step(scop)運行程序，結果為：StepResponseSystem:scopStepResponseT—IPeakamplitude:1.21Overshoot(%):21.3T—IAttime(sec):1T—IedutilpmSystem:scopSettlingTime(sec):1.640.511.52Time(sec)2.5 3T—I8o.2o.6o.4T—IedutilpmSystem:scopSettlingTime(sec):1.640.511.52Time(sec)2.5 3T—I8o.2o.6o