八章 試驗設計

八章試驗設計一、試驗設計二、單因素實驗法三、多因素實驗法四、方差分析五、正交試驗六、信噪比

第一節(jié)試驗設計(優(yōu)選法)

優(yōu)選法，是一種根據(jù)生產和科研中的不同問題，利用數(shù)學原理，合理的安排試驗點，以求迅速找到各種因素的最佳點的科學的實驗方法。

最優(yōu)化方法間接最優(yōu)化方法（或稱解析最優(yōu)化方法）直接最優(yōu)化方法（或稱試驗最優(yōu)化方法）

是把所研究問題用數(shù)學表達式描述出來，即建立數(shù)學模型，然后，用解析方法求解，以達到最優(yōu)化目的。這種情況只有在對所研究問題的基本規(guī)律或對其機理比較清楚的情況下才有可能

一種是通過大量實驗，構成一類函數(shù)關系（如正態(tài)分布、泊松分布、二項分布等）來逼近這些試驗數(shù)據(jù)，再從該函數(shù)關系中求出最優(yōu)解。

另一種辦法是直接通過少量試驗，根據(jù)試驗結果的比較來求得最優(yōu)解，以達到解決問題的目的。（這就是試驗設計中的優(yōu)選法。）

優(yōu)選法的目的，就是通過合理的安排試驗點，以較少的試驗次數(shù)、較低的試驗成本，迅速得到滿意的結果。這也就是“試驗設計”要解決的問題。優(yōu)選法的一個特點就是不必事先知道所求目標的數(shù)學表達式。

所有選擇最佳點的問題，都稱之為優(yōu)選問題，也就是最優(yōu)化問題。解決最優(yōu)化問題的方法稱為優(yōu)化方法或優(yōu)選方法。一、概述實驗設計法是英國學者費舍爾(R．A．Fisher)在20世紀20年代為使農業(yè)試驗合理化而提出的一種用于安排實驗和分析實驗數(shù)據(jù)的數(shù)理統(tǒng)計方法。

最初，歐美各國主要將此方法應用于生物學、醫(yī)學等領域的科學研究。第二次世界大戰(zhàn)之后，實驗設計法在工業(yè)中得到推廣和應用。日本學者田口玄一首先將實驗設計法成功地應用于新產品的開發(fā)設計.

實驗設計法主要解決的是多因素條件實驗的問題。二、田口方法簡介（三次設計）

三次設計是日本學者田口玄一獨創(chuàng)的質量工程學(國際上通常稱為“田口方法”)中的主要內容，是建立在實驗設計技術基礎之上的一種在新產品開發(fā)設計過程中進行三段設計的設計方式。三次設計以實驗設計法為基本工具，在產品設計上采取措施，系統(tǒng)地考慮問題，通過對零部件或元器件的參數(shù)進行優(yōu)選，以求減少各種內、外因素對產品功能穩(wěn)定性的影響，從而達到提高產品質量的目的。

（一）質量波動的原因

引起產品質量波動或引起產品功能偏離目標值的原因(又稱噪聲、干擾)來自以下三個方面：

1．外噪聲。

由于環(huán)境因素與使用條件變化，會使產品不能正常發(fā)揮其功能。例如一臺電動機的轉速隨外部環(huán)境條件，諸如溫度、濕度、電源電壓等的波動而有較大變化時，則此電動機是抗外噪聲影響性能低下的電動機。

產品在貯存或使用中，由于材料老化或零部件磨損，將逐漸使產品功能發(fā)生變化。例如由于絕緣材料老化，潤滑油干燥，軸承磨損等原因，使電動機不能正常運轉。這種使產品功能波動的原因存在于產品內部，故稱為內噪聲。

按同一規(guī)格和條件生產出來的一批產品，在同樣的環(huán)境條件下使用，各產品的質量也會有差別。這種差別雖無法預測，但它們服從一定的統(tǒng)計規(guī)律，因此引起這種質量波動的原因稱為隨機噪聲。例如，同類型鐘表均能走時準確，則這些鐘表的功能沒有差別，是制造質量優(yōu)良的產品。一般說來，抑制隨機噪聲是制造過程質管應解決的問題，而減少內、外噪聲的影響，則主要是在設計階段。三次設計正是解決后一問題的有效方法。2．內噪聲。3．隨機噪聲。

三、實驗設計的基本原則

(一)重復實驗原則重復實驗主要是指，在相同的實驗條件下，通常應重復實驗兩次以上。

主要是為了對實驗結果進行分析時能定量地評價誤差的大小，消除偶然誤差和試驗誤差。除此之外，重復正好使一個因子的某個水平與其他因子的各水平都組合到，因而更能真實地反映該因子的水平效果，為選優(yōu)提供可靠的依據(jù)。

1、系統(tǒng)設計是指產品的功能設計。系統(tǒng)設計階段是應用專業(yè)技術進行產品的功能設計和結構設計的階段。在一定的意義上，系統(tǒng)設計可以認為就是傳統(tǒng)的產品設計。但是，它是三次設計的基礎。通過系統(tǒng)設計可以幫助我們選擇需要考察的因子及其水平。2、參數(shù)設計階段是確定系統(tǒng)中各參數(shù)的最佳組合的階段。參數(shù)設計是三次設計的核心內容。3、容差設計是參數(shù)設計的補充。容差也就是容許偏差或公差。確定這些參數(shù)波動的容許范圍，參數(shù)設計、容差設計要用到實驗設計法。（二）三次設計

實驗設計實驗實施實驗結果分析首先要明確實驗目的，即追求的指標是什么，要考察的因素有哪些，以及它們的變動范圍，并根據(jù)實驗目的合理地制定實驗方案。在進行實驗時，往往會存在有可能給實驗結果帶來具有某種傾向性影響的因素(引起系統(tǒng)性誤差的因素)。為減少此影響，一般應隨機地安排各實驗的實驗順序，即應遵循實驗順序隨機化的原則。完整的實驗確定所考察的因素哪些是主要的，哪些是次要的，進而確定最佳的條件組合。(二)實驗順序隨機化原則

通過實驗順序隨機化，將系統(tǒng)性誤差轉變?yōu)榕既恍哉`差。

(三)分塊實驗原則

遵循分塊實驗原則進行實驗，就是要消除系統(tǒng)誤差對實驗結果的影響。

第二節(jié)單因素試驗設計

單因素優(yōu)選法，已有一套比較成熟的方法，諸如對分法、0.618法、分數(shù)法、均分法、分批試驗法、爬山法、拋物線法等等。一、目標函數(shù)的討論

將試驗結果（y）和因素取值（x）寫成數(shù)學表達式，就叫做目標函數(shù)。即：目標函數(shù)為：y=f（x）根據(jù)具體的要求，在因素的最優(yōu)點，就是目標函數(shù)取最大值、最小值，或滿足某種規(guī)定的要求。

對于不能寫出目標函數(shù)，甚至試驗結果不能定量表示的情況，如產品外觀的顏色、化工產品的氣味等，就用結果好壞來評定試驗結果。為了方便起見，都用目標函數(shù)y=f（x）的形式進行討論。優(yōu)選法可以分為單因素優(yōu)選法和多因素優(yōu)選法兩類。

當優(yōu)選的目標主要只考慮一個因素時，就是單因素的優(yōu)選問題；當優(yōu)選的目標是要考慮兩個或兩個以上因素時，就是多因素的優(yōu)選問題。在討論目標函數(shù)時，應注意確定其影響因素的取值范圍，即包含最優(yōu)點的試驗范圍。以a、b表示試驗范圍的上、下限，則試驗范圍為從a到b，用[a，b]表示。這時，試驗點在[a，b]內，即a≤x≤b。在試驗設計中，對單因素試驗問題的目標函數(shù)常有以下兩種：

1、單調函數(shù)

所研究的目標函數(shù)在區(qū)間[a，b]上單調增加或減少。即試驗的結果與因素改變方向相同時，稱為單調函數(shù)。

2、單峰函數(shù)

所研究的目標函數(shù)在區(qū)間[a，b]上為單峰。

即試驗的結果只有一個最優(yōu)點x*，而在最優(yōu)點x*的左側，函數(shù)嚴格增加，在最優(yōu)點的右側函數(shù)嚴格減少時，稱為單峰函數(shù)。

二、對分法

對分法也叫平分法、取中法，適用于試驗范圍[a，b]內，目標函數(shù)為單調(連續(xù)或間斷)的情況下，求最優(yōu)點的方法。

即如果每作一次試驗，根據(jù)結果可以決定下次試驗的方向時，就可以應用對分法。

對分法的作法是：每次取優(yōu)選因素所在試驗范圍〔a，b〕的中點處c做試驗。其計算公式是：

c＝(a+b)/2每做一次試驗后，根據(jù)試驗結果確定下次試驗的方向。如下次試驗在高處，就把此次試驗點c以下的一半范圍[a，c]劃占；反之，就把另一半范圍〔c，b〕劃去。這樣，每試驗一次，試驗范圍就縮小一半，重復地做下去，直到找出滿意的試驗點為止。

例：某毛紡廠為解決色染不勻問題，優(yōu)選起染溫度、采用對分法。具體如下。原工藝中的起染溫度為40℃，升溫后的最高溫度達100℃，故試驗范圍先確定在40℃～100℃。第一次試驗點c＝(40+100)/2＝70℃，選在70℃，試驗結果過去常有的外紅里淺現(xiàn)象大有好轉，起溫還可以增高。即將40～70℃這一段劃掉。第二次試驗點選在70℃～100℃的中點[c＝(70+100)/2＝85℃]85℃，試驗結果出現(xiàn)紅里透黑，染色太深，起溫過高，應降低，將85℃～100℃劃掉。第三次試驗點選在70℃～85℃的中點77．5℃[(70+85)/2=77．5℃]，試驗結果色染深淺適度，里外勻一，反復驗證后均感滿意。為操作方便，最后選為80℃為起染溫度。對分法的優(yōu)點是簡單易行，但其應用要具備兩個條件：

①要有一個現(xiàn)成的標準(或指標)來衡量試驗的結果。②能預知該因素對指標的影響規(guī)律，即能從一個試驗結果直接分析該因素取值偏大還是偏小。三、0.618法

0.618法又叫黃金分割法。這種方法是在試驗范圍內[a，b]首先安排兩個試驗點，再根據(jù)兩點試驗結果，留下好點，去掉不好點所在的一段范圍，再在余下的范圍內繼續(xù)尋找好點，去掉不好的點。如此繼續(xù)地作下去，直到找到最優(yōu)點為止。

0.618的作法是：第一個試驗點x1安排在試驗范圍[a，b]的0.618處，第二個試驗點x2安排在試驗范圍(a，b)的0.382處，即0.618處的對稱點，這時x1與x2在試驗范圍[a，b]內互為對稱點，這兩點的位置可用對稱公式表示如下:

x1＝a+0.618(b-a)x2＝a+b-x1

式中a為試驗范圍的小頭，b試驗范圍的大頭，上面對稱公式也可以寫成第一點＝小+0.618(大-小)第二點=小+大-第一點(前一點)（前一點是經過試驗后留下的好點。）使用這種方法，一是要記住一個常數(shù)即0.618，二是記住二個公式即前面的兩個公式,用對稱原理找新試驗點直到滿意為止。abx1x2小大大小x3

x1x4例：鋁鑄件最佳澆鑄溫度的優(yōu)選試驗。某廠鋁鑄件殼體廢品率高達55％，經分析認為鋁水溫度對此影響很大，現(xiàn)用0．618法優(yōu)選。優(yōu)選范圍在690℃～740℃之間。優(yōu)選過程如下:第一點＝690+(740-690)×0．618＝720．9≈721℃第二點＝690+740-721＝709℃兩點相比，第一點合格率低，故去掉721～740℃，下一段在690～721℃中優(yōu)選。第三點＝690+721-709＝702℃比較第二、三點，第三點合格率較高，故去掉709～721℃一段，在690～709℃中優(yōu)選。第四點=690+709-702＝697℃比較第三、四點，第四點較好，合格率達到95％。第五點＝690+702-697＝695℃比較第四、五點，結果四、五點差別不大故停止優(yōu)選。最后確定鋁水溫度在690～700℃之間，合格率由45％提高到95％。

0.618法要求試驗結果目標函數(shù)f(x)是單峰函數(shù)，即在試驗范圍[a，b]內只有一個最優(yōu)點d，其效果f(d)最好，比d大或小的點都差，且距最優(yōu)點d越遠的試驗效果越差。這個要求在大多數(shù)實際問題中都能滿足。但也有不能滿足的情況，此時不能用0.618法。

四、分數(shù)法分數(shù)法的基本原理與0.618相同，適用于試驗范圍[a，b]內目標函數(shù)為單峰的情況。但與0.618法不同之處在于要求預先給出試驗總數(shù)，或者可由已確定的試驗范圍和精確度計算出試驗總數(shù)的情況。

如當試驗點只能安排在一些離散點(非連續(xù)點)上時，如機床的轉速有若干檔次，采用分數(shù)法比0.618法更為方便。

分數(shù)法中的分子是費波那(Fibonacci)奇數(shù)序列,如用F0，F(xiàn)1，F(xiàn)2，……Fn代表這個數(shù)列，則費波那奇數(shù)滿足下列遞推關系

Fn=Fn-1+Fn-2(N≥2)當F0＝F1＝1確定之后，費波那奇數(shù)序列就完全確定了，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……序列(Fn)就稱為費波那奇數(shù)序列，我們再令Gn為1/2，2/3，3/5，5/8，8/13，13/21，21/34，34/55，55/89……對應序號ni為1,2,3,4,5,6,7,8,9……當n無限增大時，可以證明Gn趨向0.618，因此序列(Gn)中任一個分數(shù)都可以作為0.618的近似值。

分數(shù)法的作法是：首先確定試驗次數(shù)n，它等于分數(shù)列(Gn)中某個分數(shù)Gn的序號ni，第一個試驗點用分數(shù)Gn代替0.618，其余計算公式和步驟與0.618法完全一樣。例：機加中對轉速分成若干檔的機床進行優(yōu)選，如車床C6140共分12檔，見表8-1

表8—1

使用分數(shù)法尋找最佳轉速作法如下：

第一步找序列(Gn)中分母大于12的最小分母相應的Gn，本例為G5＝8/13，因此8/13是第一個試驗點，即先在第八檔轉速240轉／分上做試驗。而整個試驗次數(shù)為G5的序號，即n＝5，第二個試驗點可利用0．618法公式算出：第二點=1+12-8＝5即在第五檔95轉／分做試驗，然后比較這兩轉速的好壞，若第八檔好，再使用對稱原理，第三次做試驗第三次試驗為第三點＝5+12-8＝9下一步就在第九檔350轉／分做試驗，如此等等，最多做5次就能找到最好的轉速。從上例可得出分數(shù)法的一般步驟：

①根據(jù)試驗范圍確定試驗次數(shù)。如果試驗范圍有K個等級，則從序列(Gn)中找出不小于K的最小分母相應的Gn，則試驗次數(shù)等于n.②第一個試驗點取在Gn的分子上。③以下的點按照0．618法找對稱點繼續(xù)做試驗。

檔位123456789101112轉速(分/轉)23324867951351902403504856901000五、均分法均分法是在試驗范圍[a，b]內，根據(jù)精度要求和實際情況、均勻地排開試驗點，在每一個試驗點上進行試驗，并相互比較，以求得最優(yōu)點的方法。

均分法的作法是：如試驗范圍L＝b-a，試驗點間隔為l，則試驗點n為：n

例如對采用新鋼種的某零件進行磨削加工，砂輪轉速范圍為420轉／分～720轉／分，擬經過試驗找出能使光潔度最佳的砂輪轉速值。為此，根據(jù)規(guī)定的轉速范圍和以往實踐經驗，可取試驗間隔N＝30轉／分，則這時

n

即分為11個試驗點，每個試驗點相隔30轉／分，這樣轉速分別為420，450，480，510，540，570，600，630，660，690，720轉／分時進行試驗，并測得光潔度結果以進行比較，比較結果，最后確定砂輪轉速為600轉／分時，該零件光結度最好，選用之。

這種方法的特點是對所試驗的范圍進行“普查”，

均分法的各點試驗可以同時進行，以節(jié)約時間；并且對目標函數(shù)沒要求?？杉僭O目標函數(shù)是任意的情況，其試驗精度取決于試驗點數(shù)目的多少。是將所有可能的試驗同時安排，并根據(jù)試驗結果找出最好點的方法。如均分法是在前面試驗結果的基礎上確定下面的試驗點，即不能同時進行。如平分法、0.618法、分數(shù)法六、分批試驗法

為了取二者之長，可采用分批試驗法。

分批試驗法是將全部試驗分幾批作，一批同時安排幾個試驗，這樣可以兼顧試驗設備，代價和時間上的要求。分批試驗法適用于：

1、預先能夠確定總的可能試驗個數(shù)，即已知試驗的范圍和要求的精確度。2、事先限定試驗的批數(shù)和每批的個數(shù)。如果各批試驗數(shù)目相同，則可根據(jù)預給的要求進行試驗。同時試驗法序貫試驗法特點是試驗總時間短，但試驗次數(shù)比較多，如果每個試驗代價不大，又有足夠的設備，是可以采用的。特點是總的試驗次數(shù)少，而試驗周期為每次試驗時間的疊加，因此要用較多的時間。分批試驗法以每批作兩個試驗為例，來說明其方法如下。

若只作一批試驗，可把試驗平分為三等分，在兩個分點上作試驗，如下圖8-2（a）所示。若作兩批試驗，可把試驗范圍平分為7等分，在第3、4兩點上作第一批試驗，如4點好，則作5、6兩點，如3點好，則作1、2兩點，如圖8-2（b）所示。如作三批試驗，可把試驗范圍平分為15等分，第一次在7、8兩點作試驗，如7點好，則把8點以上范圍劃去；如果8點好，則把7點以下范圍劃去，在余下的部分作第二次試驗，見圖8-2（c）所示。仿此，可以推出更多的批試驗來。a0124b01234567123456789101112131415c圖8-2根據(jù)每批試驗數(shù)，其試驗范圍等分份數(shù)見等分份數(shù)表。

例如，為了對某坦克零件在保持沖擊韌性的情況下，考慮回火溫度對強度的影響，并進行優(yōu)選，試驗范圍是200℃∽340℃，每批作兩個試驗，分三批進行。則由等分份數(shù)表可得試驗范圍等分份數(shù)為

如下圖8-3所示。

圖8-3回火溫度等分份數(shù)圖

試驗時先作7、8兩點，得出8點好，舍去7點以下范圍，作11、12點，得出11點好，舍去12點以上范圍，作10點與11點比較，得出10點好。這時就找到了最佳回火溫度為290℃。

200210220230240250260270280290300310320330340123456789101112131415七、單因素試驗方法的精確度比較

試驗精確度是指上述各種試驗方法得到的最優(yōu)點與真正最優(yōu)點的差異，即最大可能距離。如試驗范圍[a，b]，長為l=b-a。如果相鄰兩試驗點間距離相等，則n次試驗后各種實驗方法的精確度如下：

平分法：c=l/2n均分法：c=l/（n+1）0.618：c=l/（1.618）n分數(shù)法：c=l/Fn+1

如果使精確度c=1時，作n次試驗對應的試驗范圍長度可用Ln表示，稱為n次試驗的“搜索范圍”。各種試驗方法的搜索范圍如下：

平分法：Ln=2n均分法：Ln=n+10.618：Ln=（1.618）n分數(shù)法：Ln=Fn+1

當試驗次數(shù)增加時，搜索范圍增加的速度稱為這些方法的“搜索效率”。均分法的搜索效率最低，搜索范圍每增加一單位，都要以增加一個試驗為代價。平分法的搜索效率最高，由23=8，24=16，210=1024?？梢?，約增加3.33個試驗就可以把試驗范圍擴大一個數(shù)量級。0.618法由（1.618）5=11.089可見，每增加5個試驗，搜索范圍可擴大一個數(shù)量級。分數(shù)法也是每增加5個試驗，搜索范圍可擴大一個數(shù)量級。由公式知，當已知試驗次數(shù)n后，可以得出搜索范圍Ln。這時，如果試驗范圍l確定，則試驗精確度c=l/Ln隨之確定。第三節(jié)多因素試驗法一、因素輪換法

因素輪換法又稱為“坐標輪換法”或“從好點出發(fā)法”，是處理多因素問題的一種方法。

因素輪換法的原理是利用單因素方法來解決多因素的問題。簡言之，如有n個因素，就先將后n-1個因素分別固定在一個水平上，只對第一個因素x1進行單因素優(yōu)選，得最優(yōu)值x1（1），然后將x1固定在試驗最優(yōu)值x1（1）水平上，并保持后n-2個因素的水平不變，再用單因素方法對x2進行優(yōu)選?？傊?，每優(yōu)選一個因素時，將其它因素固定之。當n個因素x1，x2……，xn依次優(yōu)選一輪后，再從x1開始進行第二輪優(yōu)選。一般，對進行優(yōu)選的因素常采用0.618法進行。

例如對某產品液壓裝置中的單向閥的直徑、長度、復位彈簧力進行優(yōu)選，要求在達到保證正確開閉的要求下有較大的開啟距離。根據(jù)結構要求和實際經驗分別確定：單向閥直徑：25∽40mm；單向閥長度：30∽60mm；復位彈簧力：0.5∽5kg。利用因素輪換法進行優(yōu)選，按下列步驟進行：x(2)x(1)xyy(1)y(2)01、固定彈簧力為1kg，單向閥長度為40mm，優(yōu)選單向閥直徑，得最優(yōu)尺寸為36mm；2、固定單向閥直徑為36mm，復位彈簧力為1kg，優(yōu)選單向閥長度，得最優(yōu)尺寸為45mm；3、固定單向閥直徑為36mm，單向閥長度為45mm，優(yōu)選復位彈簧力，得最優(yōu)值為1.5kg。這時，已滿足設計要求，不需要在進行試驗。

二、隨機試驗法（又稱統(tǒng)計試驗法）

這種方法是利用概率統(tǒng)計中隨機選點的概念來進行試驗設計，由于是從隨機選點的概念出發(fā)，它有以下特點：

1、對目標函數(shù)沒有更多要求，可以是單調的，單峰的或者多峰的，因此，適用范圍不必受到限制。2、不論單因素問題或多因素問題均可使用，特別是因素較多時更能顯示其優(yōu)越性。3、此方法如果試驗設備允許，可以一次同時進行。因此，具有同時試驗法的優(yōu)點。當然，如果條件不允許，也可以分批或逐個安排試驗。下面我們以雙因素優(yōu)選為例來說明隨機試驗法。

設有兩個因素x和y，試驗范圍是：0≤x≤100≤y≤5

我們可以用一個長方形表示其范圍，在長方形中，按等分劃為50個小長方形，以每一個小長方形的中心點為代表，則成為50個點，劃分長方形多少取決于要求精度和試驗可能性。如下圖8-4。

假設長方形范圍內50個點中有10個好點，40個壞點，從10個好點中取其一。而10個好點占總點數(shù)的10/50=20%，那么，隨機抽取出這個點正好是10個好點之一的概率為0.2，而是壞點的概率為：1-0.2=0.8。如連續(xù)隨機抽取兩點作試驗都是壞點的概率為：（0.8）2=0.64如連續(xù)隨機抽取五點作試驗,都是壞點的概率為:

（0.8）5=0.328如連續(xù)隨機抽取十點作試驗都是壞點的概率為:

（0.8）10=0.107

y54321012345678910x圖8-4

這時,十次試驗中至少有一次遇到好點的概率為:1-0.107=0.893

一般地,我們已知從總試驗點數(shù)N中選出好點的概率為q,則1-q為從總試驗點數(shù)N中選出壞點的概率,那么,在連續(xù)作n此試驗中，至少有一次遇到好點的概率設為P，則

P=1-（1-q）n

由上式可見，當q一定時，要求P越高，試驗次數(shù)就越多。同樣，當P一定時，要求q越小，試驗次數(shù)也越多。

例如規(guī)定q=0.3，而n=10時，則有：

P=1-（1-q）n=1-（1-0.3）10=0.972

對于選取試驗點，必須避免主觀因素，真正做到隨機選取，可用查隨機數(shù)表法，擲骰子法等，這樣才能得到統(tǒng)計上保證的概率，才能找到好點。

第四節(jié)方差分析

在生產、科研試驗中，當所控制的條件不同時，結果往往有變化。我們想弄清楚這不同的結果是由于條件不同造成的，還是有一些隨機因素干擾所致。同時，影響結果的條件常常不止一個。如對金屬零件進行熱處理，采用不同的加熱溫度、保溫時間、冷卻方式……、所得到的硬度、強度等性能不同。那么加熱溫度、保溫時間、冷卻方式等數(shù)條件中，哪個對其硬度、強度影響顯著，哪個影響不顯著呢？方差分析正是分析試驗數(shù)據(jù)，找出影響顯著的因素的一種有效工具。

一般將衡量生產或科研結果好壞的標準稱為“指標”，用符號x、y、……表示；把影響指標的所控制的具體條件稱為“因素”，用A、B、C、……等表示；把各因素在其變化范圍內所處具體狀態(tài)稱為“水平”，用下標1、2……等表示。如因素A在試驗時取了三個具體狀態(tài)，則分別用A1、A2、A3表示。

方差分析就是分別將各因素水平不同所引起的試驗指標波動和誤差引起的試驗指標波動區(qū)別開來，并比較兩類影響，從而判斷各因素對試驗指標的影響是否顯著及顯著到何種程度。在此基礎上可得出最優(yōu)工藝條件。也就是在數(shù)據(jù)總波動中，分清各因素變動及誤差（原因不明的變動）對數(shù)據(jù)的影響（圖8-5）因素A的變動因素B的變動因素C的變動誤差圖8-5數(shù)據(jù)總波動各因素波動——必然因素（條件變差）誤差的波動——偶然因素（隨機變差）比較并找出影響大的因素指導行動

方差分析廣泛應用于許多領域中，不僅對一般因素試驗、正交試驗數(shù)據(jù)分析十分有用，而且其思想也適用于數(shù)理統(tǒng)計的許多方法。

例：為了探求合適的回火溫度以提高某種鋼材的硬度，在其它因素都加以控制的情況下，對不同的回火時間做幾次試驗，結果為下表8-2：表8-2

由于隨機變差的存在，我們難以確定不同的回火時間是否確實對鋼材硬度有影響，最佳回火時間究竟取50分鐘好還是60分鐘好？甚至可以懷疑不同回火時間造成的條件變差是否存在，有可能這12個數(shù)據(jù)之間的差異都僅是試驗誤差的反映。

方差分析的目的就是通過對試驗數(shù)據(jù)之間的差異的分析來確定某種因素產生的條件變差是否存在。

如果通過方差分析，確定該試驗的結果中，回火溫度的條件變差是存在的，那么，我們就可以找到最佳的回火溫度，提高鋼材的硬度。上例解為：回火時間(分）鋼材硬度40181187191#185（偶然變差）50200##19019818860192198#204##202#（條件變差）組間平方和=4×[（186-193）2+（194-193）2+（199-193）2]=344組內平方和=52+104+84=240總偏差平方和=240+344=584

查F分布：F0.95[(3-1),(12-3)]=F0.95(2,9)=4.26F=6.45>4.26,

組間差異顯著

方差分析是確定條件變差是否存在的一種有用的統(tǒng)計分析方法。根據(jù)分析因素的多少，一般又可分為單因素方差分析、雙因素方差分析和多因素方差分析。一、方差分析的數(shù)學原理

單因素方差分析又可稱一元配置法。如果僅考察一個因素A對特性值的影響，在試驗時讓其它因素保持不變，而只改變因素A的狀態(tài)，這樣的試驗叫做單因素試驗，因素A所處的狀態(tài)叫做水平。對每個水平進行若干次的重復試驗，通常是當作一個樣本來看待，也有叫做一個“處理”的。如果我們把試驗的因素A分為n個水平，每個水平都進行相等的r次重復試驗，以Yij(i＝1，2，…，n)(j＝1，2，…，r)表示第i個水平進行第j次試驗結果的觀測值，可以得到單因素試驗的數(shù)據(jù)表8-3。表8-3單因素試驗數(shù)據(jù)表試驗次數(shù)因素水平總和A1A2…Ai…An1Y11Y21…Yi1…Yn12Y12Y22…Yi2…Yn2：：：：：：：

jY1jY2j…Yij…Ynj：：：：：：：

rY1rY2r…Yir…Ynr合計T1T2…Ti…TnT平均數(shù)組間平方和SA反映了各組樣本之間的差異程度，即由于A的不同水平所引起的系統(tǒng)誤差；組內平方和Se則反映了試驗過程中各種隨機因素所引起的試驗誤差。因此，比較SA與Se的大小，就可以看出因素A不同水平對特性值的影響是否顯著。但是，SA與Se是若干項的平方和，其大小與參與求和的項數(shù)和數(shù)據(jù)本身有關，特別是項數(shù)。為了消除這些影響，采用平均偏差平方和來分析。平均偏差平方和稱為方差，即用各自相應的自由度去除偏差平方和。自由度就是在偏差平方和中能夠獨立的變化的項數(shù)。如果平方和是由n項組成，它的自由度就是n-1；如果一個平方和是由幾部分的平方和組成，則總的自由度等于各部分自由度之和。SA的自由度用fA表示（n-1），Se的自由度用fe表示[n（r-1）]。

SA和Se分別除以各自的自由度fA和fe，記作SA2和Se2，分別稱為組間的方差和組內的方差。

VA=SA2=SA/fAVe=Se2=Se/fe因為SA和Se是相互獨立的，兩者方差之比：二、一元配置法(略）

（一）重復數(shù)相同情況下的分析(略）（二）重復數(shù)不同的試驗分析計算(略）三、二元配置法(略）

（一）無因素變化趨勢的二元配方法(略）（二）利用正交多項式的二元配置法(略）如單因素和雙因素試驗，因素輪換法等。是少量的試驗，即在因素的變化內鋪開，又保持全面試驗的某些特點。

第五節(jié)正交試驗一、正交試驗的原理解釋及基本方法全面試驗正交試驗三因素二水平的全面試驗次數(shù)為2×2×2=8次三因素二水平的正交試驗次數(shù)為4次原因：正交試驗法的均衡分散性和整齊可比性如沈陽風陵機械廠高溫點焊膠配方實驗組，一年內作了近900次試驗，各項指標都沒有過關，后來用正交法，一星期僅作了16次試驗，就找到較好的配方。使這些指標超過或達到部頒標準。正交試驗原理解釋圖

在立方體的每個面上，都恰好有兩個標有“○”的節(jié)點，而立方體的每條棱線上也恰有一個標有“○”的節(jié)點。四個點均衡地分散在整個立方體內。由于試驗點的均衡分散性，它們代表性很強，能夠比較全面地反映整個立方體的大致情況。所以這四個試驗點中的好點即使不是全面試驗的最好點，也往往是相當好的點。其中壞點也往往是全面試驗中相當壞的。用正交試驗法能保證主要因素的各種可能搭配都不會漏掉。

整齊可比性是對于每列因素，在各個水平的組合中，其它因素各個位級的出現(xiàn)次數(shù)都是相同的，這保證了在各個水平的效果中，最大限度地排除了其它因素的干擾，因而能最有效地進行比較，作出展望。(一)正交試驗的概念

正交試驗就是一個科學的安排和分析試驗的方法。它是利用“均衡分散性”和“整齊可比性”正交性原理，從大量的試驗點中挑出適量的、具有代表性、典型的試驗點以解決多因素問題的試驗方法。它在各個專業(yè)的設計和試驗中都得到廣泛應用。

正交試驗的主要優(yōu)點是合理安排試驗，減少試驗次數(shù)；找出較好的試驗方案；找出質量指標與影響因素的關系；找到進一步改進產品質量的試驗方向等。(二)正交試驗法的有關名詞

1．試驗指標。試驗需要考察的效果稱為試驗指標，簡稱指標。能夠用數(shù)量表示的稱為數(shù)量指標，如硬度、重量、拉力等，不能用數(shù)量表示的指標稱為非數(shù)量指標如顏色、外觀等。

2．因素。對試驗指標有影響的參數(shù)稱為因素。如熱處理的淬火溫度、淬火時間、回火溫度、冷卻介質成分等。

3.水平。因素在試驗中所處的狀態(tài)和條件的變化可能引起指標的波動，把因素變化的各種狀態(tài)和條件稱為因素的水平。一個因素往往要考察幾個水平，如采用不同的淬火溫度、不同的冷卻速度等。在正交試驗中常用大寫拉丁字母A，B，C……表示因素，用阿拉伯數(shù)字1、2、3……表示水平，例如A1表示A因素1水平。（三）正交表的格式與特點

所謂正交表是有規(guī)律的，按順序排成現(xiàn)成的表格是正交試驗的工具。

（正交表是將因素和水平搭配關系按照某種數(shù)學原理編制成的標準化的表格。)

正交試驗是通過正交表進行的，最簡單的正交表是L4(23)，如下表所示L4(23)的含義如下(見圖8-3)：L為正交表符號，其下角標4為表的行數(shù)，即試驗次數(shù)，括號中3為表的列數(shù)，即最多可安排3個因素，3下角的2為每個因素有2個水平，正交表的種類很多可以根據(jù)不同的試驗條件和要求選擇合適的正交表合理安排試驗，并利用正交表對試驗結果進行統(tǒng)計分析常見的正交表有L4(23)，L9(34)，L8(27)，L18(215)，L27(315)，L8(41x24)，L18(61x36)，等等。其中L8(41x24)形式的正交表是安排不同水平試驗的正交表，該表可安排5個因素，其中一個因素有4個水平，4個因素有2個水平，試驗次數(shù)為8次。

正交表有如下特點：

(1)每一列中，每個數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)都相等。如L4(23)表中，第1列“1”出現(xiàn)2次，“2”也出現(xiàn)2次，第2列中“1"和“2”也是各出現(xiàn)2次：

(2)任意二列中，將同一橫行的兩個數(shù)字看成有序數(shù)對(即左邊的數(shù)在前，右邊的數(shù)在后)，按這一次序排出的數(shù)對，每種數(shù)對出現(xiàn)的次數(shù)相等，L4(23)表里的有序數(shù)對共有四種，即(1，1)、(1，2)、(2，1)、(2，2)，它們各出現(xiàn)一次。（四）正交表安排試驗的步驟

下面通過一個實例來說明應用正交表來安排試驗的一般步驟和基本原理。

例：某工廠生產一種檢查某種疾病用的碘化鈉晶體，要求應力越小越好，希望不超過1度，退火工藝是影響質量的一個重要環(huán)節(jié)。現(xiàn)通過正交試驗希望能找到降低應力的工藝條件。正交表有均衡搭配的性質，表現(xiàn)在：第一就是正交表中任兩行交換，或任兩列交換，仍然還是正交表;第二，將任一列中的各數(shù)碼互相對換，結果仍然是正交表。1．明確試驗目的，確定指標試驗目的：降低碘化鈉晶體的應力，應力越小越好。試驗指標：應力(度)。2．制定因素水平表挑因素、選水平、制定因素水平表，經過考察、分析，本試驗中有升溫速度、恒溫溫度、恒溫時間和降溫速度共4個因素，每個因素取3個水平(位級)，因素水平表如表所示。表

試驗因素水平表因素水平升溫速度A恒溫溫度B恒溫時間C降溫速度D

130℃／小時

600

6小時1．5安培(自然冷卻)

250℃／小時

450

2小時1．7安培(自然冷卻)

3100℃／小時

500

4小時15~C／小時(降)3．選正交表、排表頭因素水平確定之后就可選用合適的正交表，然后排表頭。本例有4個因素，每個因素有3個水平，可選用L9(34)正交表，因素安排如下表；表L9(34)表頭安排L9(34)列號1234因素ABCD選用正交表的原則是正交表的列數(shù)要等于或大于因素的個數(shù)，試驗次數(shù)應取最少的。在排表頭時各因素可任意排在各列中，但是一經排定，在試驗過程中就不能再變動。4．排列試驗條件表頭排好之后，將表中每一列的數(shù)字1，2，3看成該列中每個因素應取的水平，每一行就是每次試驗的條件。例如L9(34)表的第一列是升溫速度A，在1的位置上寫上A1=30℃／小時，在2的位置上寫上A2=50℃／小時，在3的位置上寫上A3=100℃／小時，其他因素也是同樣寫法(叫對號入座)，如表所示。表

試驗方案上表就是具體的實施方案，表中試驗9次，每次試驗都是不同因素不同水平的隨機搭配，例如，第一個試驗就是A1B1C3D2，即升溫速為30℃/小時，恒溫溫度為600℃，恒溫時間為4小時，降溫速度為1．7安培，自然冷卻。

5．按試驗方案進行試驗試驗排定之后就必須嚴格按照排定的試驗方案進行試驗，不能再變動，但試驗的次序可以任意進行．不一定按照正交表的試驗號的順序依次試驗，每做一次試驗都要記下所得的結果(即達到的指標)，填入表8—5的最右一列(上例“應力”一列中)。

6.試驗結果分析通過不同試驗方案的試驗得到數(shù)個試驗指標，如上例得到9種(應力)，見下表。

對實驗結果分析包括：（1）直觀分析（2）計算分析（3）極差分析（極差分析沒有考慮試驗誤差干擾問題，它只單純反映實驗數(shù)據(jù)的變動，沒有區(qū)分這種變動確是由因素效應引起的還是試驗過程中各種隨機誤差引起的，并且只進行了主次排列，沒有較為精確的數(shù)值估計，以判斷各因素影響程度是否顯著，故極差分析較為粗略，若要提高結論精確度，應采用方差分析法來分析實驗數(shù)據(jù)。）（4）趨勢分析

表試驗方案(1)直觀分析法就是直觀比較試驗方案的試驗結果。從表中看出第5號試驗應力最低(0．5度)，試驗組合是A2B2C3D3，(2)計算分析法就是通過計算看是否有更好的試驗組合，本例是為A2B2C1D315+0.5+1=16.5極差：35-13.5=21.5(3)排出主次因素A2C1B2D3

(4)畫趨勢圖展望下批試驗的好條件。

二、有交互作用的正交試驗設計

在多因素試驗中，不僅各因素對試驗結果有影響，而且因素之間聯(lián)合搭配起來還會對試驗結果產生作用。這種聯(lián)合搭配對試驗結果產失的作用稱為交互作用。A、B兩因素的交互作用可用A×B表示。例如在橡膠生產過程中，選擇兩種不同的配料方案及兩不同的硫化時間，測得產品的抗斷強度見下表。表

試驗數(shù)據(jù)表單位：Pa硫化時間配料方案

B1

B2

A1

1．500×107

1．570×107

A2

1．440×107

1．620×107

產生了交互作用，所以A2B2的配對必須考慮

例：從礦物中提取稀土元素的試驗設計。試驗目的是尋求從某礦提取稀土元素的最佳工藝方案，考察的指標是稀土元素的提取量。解：1．作因素水平表，見下表。表

因素水平表因素水平酸用量(ml)A水用量(ml)B反應時間

C添加劑

D

1

25

20

1小時有

2

20

40

2小的無2．選用正交表．根據(jù)專業(yè)知識分析，除A、B、C、D因素的獨立影響外，尚須考察交互作用A×B、A×C、B×C三種情況，而每種情況又需要占據(jù)正交表的一列，共需占3列，因此，選用L8(27)表3．作表頭設計。

需根據(jù)交互作用的正交表來排。表L8(27)二列間的交互作用表本表列號本表行號

1234567

注

1234567

(1)325476(2)16745(3)7654(4)123(5)32(6)1(7)表中加括號的數(shù)字為L8(27)正交表中的列號

排出的表頭見下表列號

1

2

3

4

5

6

7因素

A

B

A×B

C

A×C

B×C

D4．列出試驗方案并進行結果分析。試驗方案和結果分析見下表。需要指出的是，交互作用不是具體因素，而是因素之間的聯(lián)合搭配作用，因此交互作用所在列的試驗方案中是不起作用的，而是在分析試驗結果時用的。表

試驗方案及結果分析因素試驗號酸用量水用量

反應時間

添加劑

A

BA×B

CA×CB×C

D提取量

1

2

3

4

5

6

7

123456781(25)1112(20)2221(20)12(40)21122

112222111(1小時)2(2小時)121212

12122121

122112211(有)2(無)2121121．701．331．131．061．030．800．760．56

ⅠⅡ

4．623．154．263．513．754．024．023．723．594．183.754．023．724．05總和＝7．7

R

1．470．750．270．270．590．270．33各因素對結果影響程度的順序是：A、B、A×C，D、C，A×B、B×C?？梢夾、B、A×C是影響顯著的因素，應作為選取適宜水平組合的依據(jù)。

A×B，B×C對結果的影響不顯著，故僅對A×C采用二元分析表分析，見下表。

AC

A1

A2

C1

(1．10+1．13)/2=1.12

(1．03+0．76)/2＝0.89

C2

(1．33+1．06)/2=1.20

(0．80+0．56)/2=0.68應取A1C25．選擇較好的工藝條件通過上述試驗，計算、分析知，某礦提取稀土元素的方案應取A1B1C2D2，即：酸用量為25ml，水用量20ml，反應時應取2小時并用添加劑。三、多指標的正交試驗設計用于考察多個指標的正交試驗設計就稱為多指標正交試驗。兼顧各項指標，找出每項指標都盡可能好的主產條件的多指標正交試驗設計常采用綜合平衡法和綜合平分法。（一）綜合平衡法綜合平衡法是分別對各個指標單獨進行分析，然后再把各個指標計算分析的結果進行綜合平衡，進而得出結論?，F(xiàn)以下例來說明其方法步驟。

例：某橡膠廠為提高某一種橡膠配方的質量，選定考察指標為伸長率(％)、變形(％)、屈曲(萬次)。試確定為滿足3項指標的配方條件。整個試驗設計過程與單指標試驗設計相同，現(xiàn)歸納如下：

1．明確試驗目的，確定試驗指標試驗目的：提高某一種橡膠配方的質量。試驗指標：伸長率(％)越大越好，變形(％)越小越好，屈曲次數(shù)(萬次)越多越好。

2．制定因素水平(位級)表經專業(yè)知識分析可制定因素位級表，見下表．有4個因素：促進劑用量、氧化鋅總量、促進劑D所占比例和促進劑M所占比例；每個因素取4個水平(位級)。表

因素水平表3．選正交表、排表頭本例有4個因素，每個因素有4個水平，可選用L16(45)正交表，因素安排如下表，該表的列數(shù)比試驗因素多一列，因素只有4個，選用5列的正交表，最后一列可不用。表8—8L16(45)表頭排列

4．選擇好正交表后，確定試驗計劃方案本例由于是4位級(水平)4因素的多指標試驗設計，且無重點考察因素，可以選擇L16(45)正交表來安排試驗，整個計劃和分析見下表。表8—9橡膠配方試驗計劃和結果分析5．試驗結果分析直接比較和通過計算尋找好的條件為：(1)直接比較的好條件為：伸長率為試驗號9，即A3B1C3D4。變形為試驗號1，即A1B1C1D1。屈曲為試驗號1，即A1B1C1D1.(2)計算找到的好條件為：伸長率為A3B1C4D4。變形為A1B4C1D2。屈曲為A1B1C1D3。(3)從極差R得知諸因素對各指標的顯著性順序為：伸長率為ABCD。變形為CABD。屈曲為ABDC。

6．確定因素的適宜位級組合經以上綜合平衡后，某橡膠的適宜配方可定為A1B1C1D3或A1B1C1D4。參考方法如下表：質量指標ABCDA1A2A3A4B1B2B3B4C1C2C3C4D1D2D3D4直接比較伸長率√√√√變形√√√√屈曲√√√√計算比較伸長率√√√√變形√√√√屈曲√√√√綜合42514112112因素A對伸長率、屈曲起顯著作用，對變形處第二位。根據(jù)上面兩個條件，再綜合3個指標情況，因素A應取位級1。因素B在伸長率、屈曲中處第二位。因素B應取位級1;從變形指標應取位級4，從專業(yè)分析，因素B在變形指標中作用小。綜合后因素B應取位級1。因素C在變形指標中占首位，在其余指標中均處于次要地位。故位級由變形指標決定，取為C1

因素D在伸長率、變形指標中為次要因素。故可由屈曲指標決定位級用量，可取為D3或D4。伸長率為ABCD。變形為CABD。屈曲為ABDC。本例只是對計算結果綜合平衡7．畫趨勢圖，展望進一步的好條件趨勢圖見下圖。由趨勢圖可展望下批試驗：因素A應在A1位級附近取位級；因素B應在B1位級附近取位級；因素C應在C1位級附近取位級；因素D應在D1或D4位級附近取位級。（二）綜合評分法

所謂綜合評分法，是首先對各個指標分別挑選較優(yōu)試驗方案，然后在指標的矛盾中比較主次，對因素、水平(位級)進行平衡，尋找統(tǒng)籌兼顧的試驗方案。實質上綜合評分法也是一種綜合平衡的方法，但這個方法不是把平衡放在最后，而是對每次試驗進行指標間的綜合比較．然后根據(jù)綜合的指標效果給予評分。

具體做法是把多指標綜合成用得分表示的單一指標，按得分進行排隊，分數(shù)較高的方案就是較優(yōu)方案。綜合評分的關鍵是評分，這個評分是指標間矛盾比較的綜合過程，所以既要反映各指標的要求，也要反映指標的重要程度。下面通過一個例子來加以說明。

例：某廠對銅基合金進行鍍銀，基體材料是：鉛青銅QAl，鉛黃銅HPb，錫青銅QSn，為提高鍍銀光亮度，決定進行正交試驗。

1．明確試驗目的，定指標試驗目的：提高鍍銀光亮度。試驗指標：觀察3種材料浸銀層光亮度。這是個品質指標，均用百分制進行質量評定。2．定因素水平表通過對QAl、HPb、QSn所含主要化學成分的理論分析，認為H2S04、HNO3、HCl組成的混酸溶液能夠與其發(fā)生作用，特別是HNO3對QAl可能有明顯效果。從生產、勞?？紤]，溫度盡可能接近室溫，因而確定考察H2S04、HNO3、HCl濃度和溫度4個因素。根據(jù)預備試驗和以往經驗決定各選三個水平，具體選法如下表所示。表

試驗因素水平表

HCl的0水平是為了考察不加HCl的情況

3.選定正交表安排試驗根據(jù)因素和水平的數(shù)量，決定選用正交表L9（34）；試驗安排見下表。表

試驗安排及試驗結果分析表直觀分析第4號試驗評分最高(98．3分)，表明A1B2C2D1是個較好的工藝條件，只是光亮度還不夠理想。極差分析得到的較好工