增分點6圓錐曲線中的證明問題、探究性問題

增分點 圓錐曲線中的證明問題、探究性問題證明問題圓錐曲線中的證明問題，主要有兩類：一是證明點、直線、曲線等幾何元素中的位置關系，如：某點在某直線上、某直線經過某個點、某兩條直線平行或垂直等；二是證明直線與圓錐曲線中的一些數(shù)量關系(相等或不等)．解決證明問題時，主要根據(jù)直線、圓錐曲線的性質、直線與圓錐曲線的位置關系等，通過相關的性質應用、代數(shù)式的恒等變形以及必要的數(shù)值計算等進行證明．[典例]如圖，圓C與y軸相切于點T(0，2)，與x軸正半軸相交于兩點M，N(點M在點N的左側)，且MN＝3.(1)求圓C的方程；x2y2(2)過點M任作一條直線與橢圓T：4＋8＝1相交于兩點A，B，連結AN，BN，求證：∠ANM＝∠BNM.[思路演示]解：(1)設圓C的半徑為r，依題意得，圓心坐標為(r,2)．3225∵MN＝3，∴r＝＋2，∴r＝，2252225∴圓C的方程為x－2＋(y－2)＝4.52(y－225，解得x＝1或x＝4，即點M(1,0)，N(4,0)．(2)證明：把y＝0代入方程＋2)＝4x－2①當AB⊥x軸時，由橢圓對稱性可知∠ANM＝∠BNM.②當AB與x軸不垂直時，可設直線AB的方程為y＝k(x－1)，y＝kx－1，聯(lián)立方程22消去y，x＋y＝1482222－8＝0.得(k＋2)x－2kx＋k設A(x1，y1)，B(x2，y2)，2k2k2－8則x1＋x2＝k2＋2，x1x2＝k2＋2.y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，∴kAN＋kBN＝y(tǒng)1＋y2＝kx1－1＋kx2－1x1－4x2－4x1－4x2－4kx1－1x2－4＋kx2－1x1－4＝.x1－4x2－42k2－810k2∵(x1－1)(x2－4)＋(x2－1)(x1－4)＝2x1x2－5(x1＋x2)＋8＝k2＋2－k2＋2＋8＝0，∴kAN＋kBN＝0，∴∠ANM＝∠BNM.綜上所述，∠ ANM＝∠BNM.[解題師說]證明∠ANM＝∠BNM，若AB的斜率不存在， 顯然成立，若斜率存在，只需證直線 AN與BN的斜率互為相反數(shù)即可．[應用體驗]1.如圖，在平面直角坐標系B，M為線段AB的中點，且

22xOy中，橢圓x2y2A，a＋b＝1(a＞b＞0)的右頂點和上頂點分別為―→―→＝－32OM·ABb.2求橢圓的離心率；若a＝2，四邊形ABCD內接于橢圓，AB∥DC.記直線AD，BC的斜率分別為k1，k2，求證：k1k2為定值．解：(1)由題意，A(a,0)，B(0，b)，由M為線段AB的中點得Ma，b22.―→ab―→所以OM＝2，2，AB＝(－a，b)．―→―→32因為OM·AB＝－b，222所以a，b·(－a，b)＝－a＋b＝－3b2，22222整理得a2＝4b2，即a＝2b.因為a2＝b2＋c2，所以3a2＝4c2，即3a＝2c.c 3所以橢圓的離心率 e＝＝ .a 22證明：由a＝2得b＝1，故橢圓方程為x4＋y2＝1.1從而A(2,0)，B(0,1)，直線AB的斜率為－2.設C(x，y)，則x20＋y2＝1.0 0 04因為AB∥CD，故CD的方程為y＝－1(x－x0)＋y0.21＋y0，y＝－2x－x0聯(lián)立方程2消去y，得x2－(x0＋2y0)x＋2x0y0＝0，x24＋y＝1，解得x＝x0或x＝2y0.1所以點D的坐標為 2y0，2x0.12x0 y0－1 1所以k1k2＝2y0－2·x0 ＝4，1即k1k2為定值4.探究性問題探究性問題求解的思路及策略思路：先假設存在，推證滿足條件的結論，若結論正確，則存在；若結論不正確，則不存在．策略：①當條件和結論不唯一時要分類討論；②當給出結論而要推導出存在的條件時，先假設成立，再推出條件．[典例] (2018·中名校聯(lián)考湘 )如圖，曲線C由上半橢圓y2x22C：22，y≥0)和部分拋物線C2：y＝－x＋1(y≤0)1a＋b＝1(a>b>03連接而成，C1與C2的公共點為 A，B，其中C1的離心率為 2.(1)求

a，b的值；(2)過點

B的直線

l與

C1，C2分別交于點

P，Q(均異于點

A，B)，是否存在直線

l，使得以

PQ

為直徑的圓恰好過點

A，若存在，求出直線

l的方程；若不存在，請說明理由．[思路演示

]解：(1)在C1，C2的方程中，令且A(－1,0)，B(1,0)是上半橢圓

y＝0，可得b＝1，C1的左、右頂點．設C1的半焦距為c，由c＝3及a2－c2＝b2＝1可得a＝2，a2a＝2，b＝1.2由(1)知，上半橢圓C1的方程為y＋x2＝1(y≥0)．4由題易知，直線l與x軸不重合也不垂直，設其方程為y＝k(x－1)(k≠0)．代入C1的方程，整理得(k2＋4)x2－2k2x＋k2－4＝0.(*)設點P的坐標為(xP，yP)，∵直線l過點B，∴x＝1是方程(*)的一個根．k2－4－8k，由根與系數(shù)的關系得xP＝2，從而yP＝2k＋4k＋4∴點P的坐標為k2－4－8kk2＋4，k2＋4.y＝kx－1k≠0，同理，由2，y＝－x＋1y≤0得點Q的坐標為(－k－1，－k2－2k)．―→―→∴AP＝22k(k，－4)，AQ＝－k(1，k＋2)．k＋4―→―→依題意可知 AP⊥AQ，∴AP·AQ＝0，－2k2即k2＋4[k－4(k＋2)]＝0，k≠0，∴k－4(k＋2)＝0，解得k＝－8.3經檢驗，k＝－8符合題意，3故直線l的方程為 y＝－83(x－1)，即8x＋3y－8＝0.[解題師說]第(1)問在C2的方程中，令y＝0可得b，再由c＝3，a2－c2＝b2可得a；a2第(2)問設出過點B的直線l的方程，分別與曲線C1，C2聯(lián)立．用直線l的斜率k表示―→―→＝0，從而解得k，求出出點P，Q的坐標后，要使以PQ為直徑的圓過點A，則有AP·AQ直線l的方程．[應用體驗]2．已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為2，它的一個焦點F恰好與2拋物線y2＝4x的焦點重合．(1)求橢圓C的方程；(2)設橢圓的上頂點為 A，過點A作橢圓C的兩條動弦 AB，AC，若直線 AB，AC斜率之積為1，直線BC是否恒過一定點？若經過，求出該定點坐標；若不經過，請說明理由．4解：(1)由題意知橢圓的焦點 F(1,0)，即c＝1.由e＝ 2得a＝2，b＝2－1＝1，22∴橢圓C的方程為x2＋y2＝1.(2)由(1)知A(0,1)，當直線BC的斜率不存在時，設BC：x＝x0，設B(x0，y0)，則C(x0，－y0)，－1－y－1122x0＝1≠1，kAB·kAC＝y(tǒng)0·0＝1－2y0＝220000不合題意．故直線BC的斜率存在．設直線BC的方程為：y＝kx＋m(m≠1)，代入橢圓方程，得：(1＋2k2)x2＋4kmx＋2(m2－1)＝0，由 ＝(4km)2－8(1＋2k2)(m2－1)>0，得2k2－m2＋1>0.設B(x1，y1)，C(x2，y2)，則x1＋x2＝－4km2，x1x2＝2m2－1.①21＋2k1＋2ky1－1y2－11，由kAB·kAC＝·＝x1x24得4y1y2－4(y1＋y2)＋4＝x1x2，即(4k2－1)x1x2＋4k(m－1)(x1＋x2)＋4(m－1)2＝0，將①代入上式，整理得 (m－1)(m－3)＝0.又因為m≠1，所以m＝3，此時直線 BC的方程為 y＝kx＋3.所以直線 BC恒過一定點(0,3).．已知拋物線C：x2＝2py(p＞0)及點D0，－p，動直線l：y＝kx＋1與拋物線C交12于A，B兩點，若直線AD與BD的傾斜角分別為α，β，且α＋β＝π.求拋物線C的方程；(2)若H為拋物線 C上不與原點 O重合的一點，點 N是線段OH上與點 O，H不重合的任意一點，過點N作x軸的垂線依次交拋物線C和x軸于點P，M，求證：|MN|·|ON|＝|MP||OH·|.解：(1)把y＝kx＋1代入x2＝2py，得x2－2pkx－2p＝0，22設Ax1，x1，Bx2，x2，則x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.2p2p由α＋β＝π可知，直線AD的斜率與直線BD的斜率之和為0，221＋px2＋p2p22p2)＝0，所以＋x2＝0，整理得(x1＋x2)(x1x2＋p2x1即2pk(p2－2p)＝0，由該式對任意實數(shù) k恒成立，可得 p＝2，2證明：設過點N的垂線方程為x＝t(t≠0)，x＝t，x＝t，2得2即點Pt，t.由＝t，4x2＝4yy4令|MN|＝λ，則N2t，λt4，|MP|所以直線ON的方程為λty＝4x.y＝λtx＝λt，224x，且x≠0得22即點λt，由λtHλt，x2＝4yy＝4，4所以|OH|xHλt|MN||OH|＝xN＝＝λ，所以＝，|ON|t|MP||ON|即|MN|·|ON|＝|MP|·|OH|.2．(理)(2018長·沙模擬)如圖，P是直線x＝4上一動點，以 P為圓心的圓 Γ過定點B(1,0)，直線l是圓Γ在點B處的切線，過 A(－1,0)作圓Γ的兩條切線分別與 l交于E，F(xiàn)兩點．求證：|EA|＋|EB|為定值；設直線l交直線x＝4于點Q，證明：|EB|·|FQ|＝|FB|·|EQ|.證明：(1)設AE切圓Γ于點M，直線x＝4與x軸的交點為N，故|EM|＝|EB|.從而|EA|＋|EB|＝|AM|＝|AP|2－|PM|2＝|AP|2－|PB|2＝|AN|2－|BN|2＝25－9＝4.所以|EA|＋|EB|為定值4.(2)證明：由(1)同理可知|FA|＋|FB|＝4，22故E，F(xiàn)均在橢圓x＋y＝1上．43設直線EF的方程為x＝my＋1(m≠0)．令x＝4，得y＝3，即Q點縱坐標yQ＝3.mmx＝my＋1，由x2y2消去x，得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0.4＋3＝1設E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)，則有y＋y＝－6m，y＝－922123m＋41y23m＋4.因為E，B，F(xiàn)，Q在同一條直線上，所以|EB|·|FQ|＝|FB|·|EQ|等價于(yB－y1)(yQ－y2)＝(y2－yB)(yQ－y1)，33－y1y2，即－y1·＋y1y2＝y(tǒng)2·mm3等價于2y1y2＝(y1＋y2)·m.將y1＋y2＝－6m，y1y2＝－9代入，知上式成立．223m＋43m＋4所以|EB|·|FQ|＝|FB|·|EQ|.(文)(2018長·沙模擬)已知過A(0,2)的動圓恒與x軸相切，設切點為B，AC是該圓的直徑．(1)求C點軌跡E的方程；當AC不在y軸上時，設直線AC與曲線E交于另一點P，該曲線在P處的切線與直線BC交于Q點．求證：△PQC恒為直角三角形．解：(1)設C點坐標為，y)，則B點坐標為x，0.(x2因為AC是直徑，所以BA⊥BC，或C，B均在坐標原點，―→―→―→x―→＝x，因此BA·BC＝0，而BA＝－，2，BC，y22x22故有－4＋2y＝0，即x＝8y.2另一方面，設 Cx0，x0是曲線x2＝8y上一點，822＋16則有＝2＋x0－22＝x0，|AC|x0882x0AC中點的縱坐標為 2＋8＝x20＋16，2 16故以AC為直徑的圓與 x軸相切．綜上可知 C點軌跡E的方程為 x2＝8y.(2)證明：設直線AC的方程為y＝kx＋2，C(x1，y1)，P(x2，y2)，y＝kx＋2，得x2－8kx－16＝0，由x2＝8y則x1x2＝－16.2由y＝x8，對x求導知y′＝x4，從而曲線 E在P處的切線斜率 k2＝x2，4x218 x1直線BC的斜率k1＝ ＝ ，x1－2于是k1k2＝x1x2＝－16＝－1.1616因此QC⊥PQ，所以△PQC恒為直角三角形．3．(2018西·安八校聯(lián)考)設F1，F(xiàn)2分別為橢圓x2y2＝1(a>b>0)的左、右焦點，若C：2＋2ab橢圓上的點T(2，2)到點F1，F(xiàn)2的距離之和等于42.(1)求橢圓C的方程；(2)若直線y＝kx(k≠0)與橢圓C交于E，F(xiàn)兩點，A為橢圓C的左頂點，直線 AE，AF分別與y軸交于點 M，N.問：以MN為直徑的圓是否經過定點？若經過， 求出定點的坐標；若不經過，請說明理由．解：(1)由橢圓上的點 T(2， 2)到點F1，F(xiàn)2的距離之和是 42，可得2a＝42，a＝2 2.2又T(2，2)在橢圓上，因此a2＋b2＝1，所以b＝2，2 2所以橢圓 C的方程為x＋y＝1.4因為橢圓C的左頂點為A，所以點A的坐標為(－22，0)．2 2因為直線 y＝kx(k≠0)與橢圓x＋y＝1交于E，F(xiàn)兩點，8 4設點E(x0，y0)(不妨設x0>0)，則點F(－x0，－y0)．y＝kx，消去y，得x2＝82，由x2y2＋＝11＋2k84所以x＝22，則y＝22k，1＋2k21＋2k2所以直線AE的方程為y＝k2(x＋22)．1＋1＋2k因為直線AE，AF分別與y軸交于點M，N，令x＝0，得y＝22k22k2.1＋2，即點M0，1＋1＋2k1＋2k2k同理可得點N0，1－1＋2k2.所以|MN|＝22k2－22k1＋2k21＋1－1＋2k＝221＋2k2.|k|設MN的中點為P，則點P的坐標為P0，－2.k＋222則以MN為直徑的圓的方程為x2＋y＋22＝212k2，即x2＋y2＋ky＝4.k|k|令y＝0，得x2＝4，即x＝2或x＝－2.故以MN為直徑的圓經過兩定點P1(2,0)，P2(－2,0)．x2y24．(2018湖·南東部五校聯(lián)考)已知橢圓E：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的右焦點為F(c,0)，且b＞c.設短軸的一個端點為D，原點