數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)微觀部分第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇

第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇5.1期望效用5.2風(fēng)險(xiǎn)厭惡5.3隨機(jī)優(yōu)勢(shì)第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇5.1

期望效用個(gè)體在作出選擇或決策時(shí)，常常不能確定其結(jié)局或后果，其中包含風(fēng)險(xiǎn)的選擇，叫做風(fēng)險(xiǎn)選擇.例：選擇某人代購(gòu)車(chē)票，不能保證臥鋪還是坐票；選購(gòu)證券，不能確切預(yù)知一年后的收益.

選擇理論中，研究風(fēng)險(xiǎn)選擇，首要解決其選擇集.數(shù)學(xué)上，風(fēng)險(xiǎn)選擇對(duì)應(yīng)隨機(jī)變量，因而其選擇集是由某些隨機(jī)變量構(gòu)成的集合L

.個(gè)體在L

選擇某個(gè)L,如同購(gòu)得一張具有不確定性的彩票，因而就稱(chēng)L中的元素為彩票.假定L對(duì)于凸組合封閉，即若L,≥0(1≤≤K,則有意義且L.滿(mǎn)足以上條件的隨機(jī)變量之集L

稱(chēng)為一個(gè)彩票空間.

5.1.1彩票與偏好第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇設(shè)L

是取值n=1,2,…,N的離散隨機(jī)變量之全體，每個(gè)LL完全決定于其分布列(,

,…,

).n=1,2,…,N可解釋為N個(gè)可能的狀態(tài)，而則是狀態(tài)n朝鮮的概率.幾何上，每個(gè)LL

可看做N-1維標(biāo)準(zhǔn)單純形上一點(diǎn)，因而稱(chēng)LL

為單純彩票.L作為一個(gè)凸集，自然對(duì)凸組合封閉.L的N個(gè)頂點(diǎn)e1，

e2，…

表示N個(gè)不包含風(fēng)險(xiǎn)的退化彩票.

1.單純彩票3第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇2.貨幣彩票

設(shè)L

是取值于R上的隨機(jī)變量之全體，每個(gè)LL

完全決定于其分布函數(shù)通常就以F(.)表示L,并稱(chēng)之為貨幣彩票.若個(gè)體選擇FL

,則其“貨幣”收益將在均值上下隨機(jī)擺動(dòng)，除非隨機(jī)變量退化為確定地取值X的量，這意味著單純彩票適于作為解釋理論的具體模型；貨幣彩票對(duì)于金融證券理論等應(yīng)用經(jīng)濟(jì)課題有重要的價(jià)值.

第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇定義5.1若對(duì)任給,

,L

,集

與

均為閉集，則說(shuō)滿(mǎn)足連續(xù)性公理，或簡(jiǎn)單地說(shuō)是連續(xù)的.若對(duì)任給,

,L

，（0,1），有

，（5-1）

則說(shuō)滿(mǎn)足獨(dú)立性公理，或簡(jiǎn)單說(shuō)是獨(dú)立的.

第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇

獨(dú)立性是更值得注意的假設(shè),它在整個(gè)風(fēng)險(xiǎn)選擇理論中處于中心地位.在幾何上,獨(dú)立性意味著:等價(jià)于,對(duì)某個(gè)(所有）L,三角形中某條(所有)平行于的線(xiàn)段之兩端有關(guān)系(如圖).當(dāng).

第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇命題5.1設(shè)滿(mǎn)足獨(dú)立性公理,,則有：

1.

2.

設(shè)，.

則

若，至少對(duì)一個(gè)有，>0，

則.

3.關(guān)于的上圍道集、下圍道集與無(wú)差別集皆為凸集，因而是凸性的.

4.

是序保持的.

第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇定義5.2

若的一個(gè)效用表示

（5-2）

其中,,

L,則稱(chēng)為的期望效用函數(shù)（N-M效用）.

推廣恒等式（5-3）

設(shè)L是單純彩票之空間，每個(gè)L可唯一表示成

{}是L的頂點(diǎn)集.若為一個(gè)效用函數(shù)，令

（5-4）

5.1.2期望效用第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇設(shè)L是貨幣彩票之空間，的連續(xù)期望效用函數(shù)，

U(F)是成為偏好的效用函數(shù).定理5.1設(shè)是L

上的理性偏好.則有期望效用表示當(dāng)且僅當(dāng)滿(mǎn)足連續(xù)性公理與獨(dú)立性公理；

的任何兩個(gè)期望效用表示可通過(guò)一個(gè)線(xiàn)性增函數(shù)互相交換.

（5-5）第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇證明：1.定義函數(shù)約定.定義

，

L（5-6）

因恒有=

可得到

（5-7）

結(jié)合式（5-7）與的序保持性易得出，

可見(jiàn)是的效用表示

2.設(shè)

，

由（5-7）與命題5.1有

,得到

第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇3.若是的另一個(gè)期望效用表示，則有

=

表明可通過(guò)線(xiàn)性增函數(shù)從變換出來(lái)

采取期望效用的理由：分析上有優(yōu)勢(shì)；符合人們的直覺(jué).

第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇悖論設(shè)獎(jiǎng)金1，2，3分別為250，50,0，

,

，

，

明顯(寧愿保險(xiǎn)的拿到50元，而不愿僅以0.1的概率去獲得250元)，（以0.1的概率獲得250元自然勝過(guò)以0.11的概率拿到50元）.如果這樣的偏好有期望效用表示

；

.

以上兩式明顯互相矛盾.

第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇若,則式（5-11）簡(jiǎn)化成

定理5.2（廣義期望效用定理）若L上的理性偏好滿(mǎn)足連續(xù)性與獨(dú)立性公理，則存在效用函數(shù)

（5-11）第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇5.2.1風(fēng)險(xiǎn)厭惡的刻畫(huà)

定義5.3任給L

,約定，.

若L

,有

，則說(shuō)（或選擇者）是風(fēng)險(xiǎn)厭惡的；

若L,有，除非

，則說(shuō)是嚴(yán)格風(fēng)險(xiǎn)厭惡的；

若L,有，則說(shuō)是風(fēng)險(xiǎn)中性的.

5.2風(fēng)險(xiǎn)厭惡14第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇任給L,,,令

；（5-14）

（5-15）

式（5-14）等價(jià)于

（5-16）

式（5-16）又相當(dāng)于,即確定地得到收益與選擇彩票無(wú)差別，因而稱(chēng)為的確定性等價(jià).可解釋為圖中線(xiàn)段CD與線(xiàn)段AB之比，稱(chēng)為概率溢價(jià).

第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇命題5.2以下條件互相等價(jià)

1.

是風(fēng)險(xiǎn)厭惡的

2.

是凹函數(shù)

3.

,

4.

0（

）

第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇5.2.2風(fēng)險(xiǎn)厭惡的測(cè)定

定義5.4對(duì)任給，令，

（5-19）

兩者分別稱(chēng)為絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)與相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)，前者也稱(chēng)為

說(shuō)明：1.

實(shí)際上完全決定于而與其期望效用表示的選擇無(wú)關(guān);2.

完全確定了偏好，從而完全刻畫(huà)了選擇者的選擇行為.

（5-20）

利用風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)，可比較兩個(gè)不同個(gè)體的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度.

第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇命題5.3(定理)設(shè)風(fēng)險(xiǎn)厭惡者以為效用函數(shù)，

,

.則以下條件互相等價(jià)：

1.

2.

；

3.

4.

，是某個(gè)凹函數(shù)

當(dāng)以上條件滿(mǎn)足時(shí)說(shuō)2的風(fēng)險(xiǎn)厭惡大于1.

第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇5.2.3

應(yīng)用舉例第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇

仍設(shè)

是貨幣彩票之空間，但限定每個(gè)F

滿(mǎn)足

F(0)=0，F(xiàn)()=1，（5-21）

5.3.1一階隨機(jī)優(yōu)勢(shì)

定義5.5設(shè),.若對(duì)任何增函數(shù)有

(5-22)

則說(shuō)對(duì)于有一階隨機(jī)優(yōu)勢(shì)或一階隨機(jī)占優(yōu).

若以為效用函數(shù)，則選擇的效用不低于選擇的效用.因此，當(dāng)對(duì)于有一階隨機(jī)優(yōu)勢(shì)時(shí)，任何選擇者都會(huì)認(rèn)為不比差，因而對(duì)于的優(yōu)勢(shì)是其本身所固有的，而與選擇者無(wú)關(guān).在式中取得.不過(guò)，均值的優(yōu)勢(shì)對(duì)于一階隨機(jī)優(yōu)勢(shì)并不是充分的.

5.3

隨機(jī)優(yōu)勢(shì)第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇命題5.4設(shè),

.則對(duì)于有一階隨機(jī)優(yōu)勢(shì)

（即）.

證：若，0充分大，則對(duì)任何增函數(shù)有

第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇第五章風(fēng)險(xiǎn)選擇5.3.2二階隨機(jī)優(yōu)勢(shì)

定義5.6設(shè),

.若，且對(duì)任何單調(diào)增的凹函數(shù)：

不等式（5-22）成立，則說(shuō)F對(duì)于G有二階隨機(jī)優(yōu)勢(shì)或二階隨機(jī)占優(yōu).

直觀上，F(xiàn)對(duì)于G有二階隨機(jī)優(yōu)勢(shì)意味著盡管均值相等，但任何風(fēng)險(xiǎn)厭惡者傾向于選擇F，因而可以認(rèn)為F有較小的風(fēng)險(xiǎn).當(dāng)在式（5-22）中取得出

可見(jiàn)F有較小的方差.在統(tǒng)計(jì)平均的意義上，選擇F將更