有限元分析平面矩形單元與平面等參單元

天津科技大學(xué)有限元分析FiniteElementAnalysis內(nèi)容平面矩形單元與平面等參單元

1平面矩形單元分析

2等參單元的概念

3平面四節(jié)點(diǎn)等參單元分析要求理解：平面矩形單元分析流程平面矩形單元與三角形單元的比較

等參單元的目的和實(shí)現(xiàn)方法

掌握：等參單元分析的基本思想

課后作業(yè)收集、閱讀平面8節(jié)點(diǎn)等參元分析資料回顧連續(xù)體有限元分析的基本流程

整體離散單元分析單元組裝引入邊界條件整體解算連續(xù)體結(jié)構(gòu)人工節(jié)點(diǎn)逼近離散單元?jiǎng)偠确匠炭傮w剛度方程回顧連續(xù)體有限元分析中的幾次近似1.逼近性離散（網(wǎng)格剖分）2.單元分片插值（單元分析）幾何形狀，特別是邊界的逼近程度。插值多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)的截取。3.其它回顧連續(xù)體有限元分析中的幾次近似1.逼近性離散（網(wǎng)格剖分）提高精度的辦法：減小單元尺寸改變單元形狀回顧連續(xù)體有限元分析中的幾次近似2.單元分片插值（單元分析）提高精度的辦法：增加插值多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)節(jié)點(diǎn)位移內(nèi)部節(jié)點(diǎn)位移vmumvjviuii

(xi,yi)j(xj,yj)m

(xm,ym)eujyxo線性插值函數(shù)如何增加？增加節(jié)點(diǎn)一、平面矩形單元矩形單元也是常用的單元之一，由于采用了比常應(yīng)變?nèi)切螁卧叽螖?shù)的位移模式，故可以更好地反映彈性體的位移狀態(tài)和應(yīng)力狀態(tài)。如圖所示四節(jié)點(diǎn)矩形單元，記單元的節(jié)點(diǎn)位移向量和節(jié)點(diǎn)力向量為：為了能推導(dǎo)出簡(jiǎn)潔的結(jié)果，在這里引入無(wú)量綱坐標(biāo)：?jiǎn)卧灰茍?chǎng)由圖可以看出，節(jié)點(diǎn)條件共有8個(gè)，因此，x和y方向的位移場(chǎng)可以各有4個(gè)待定系數(shù)，可以取以下多項(xiàng)式作為單元的位移場(chǎng)模式：它們是具有完全一次項(xiàng)的非完全二次項(xiàng)，其中以上兩式中右端的第四項(xiàng)是考慮到x和y方向的對(duì)稱性而取的。由節(jié)點(diǎn)條件，在處，有回代，可以求解出待定系數(shù)，然后整理可得其中，N為單元的形函數(shù)矩陣，如以無(wú)量綱坐標(biāo)系來(lái)表達(dá)，則上式可以寫(xiě)成其中：?jiǎn)卧獞?yīng)變場(chǎng)根據(jù)單元的位移場(chǎng)函數(shù)式，由幾何方程可以得到單元的應(yīng)變場(chǎng)表達(dá)式，記為：這里，B矩陣稱為幾何矩陣。B矩陣可以表示為分塊矩陣的形式其中注意：矩形單元的應(yīng)變場(chǎng)為一次線性函數(shù)。單元應(yīng)力場(chǎng)由物理方程及應(yīng)變矩陣，可以得到單元的應(yīng)力場(chǎng)表達(dá)式，其中為應(yīng)力矩陣，D稱為彈性矩陣，對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題，注意：矩形單元的應(yīng)力場(chǎng)為一次線性函數(shù)。將應(yīng)力矩陣表示為分塊矩陣的形式其中：對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題，只需將E換為，換為。單元?jiǎng)偠染仃嚭腿切螁卧粯?，可以根?jù)虛功理導(dǎo)出節(jié)點(diǎn)位移向量和節(jié)點(diǎn)力向量之間關(guān)系，即單元的剛度矩陣，可以將其寫(xiě)成分塊的形式。其中對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題，如果單元厚度t為常數(shù)，則可得剛度矩陣的顯式形式：積分得：

平面矩形單元小結(jié)優(yōu)點(diǎn)：矩形單元的應(yīng)力、應(yīng)變?yōu)橐淮尉€性函數(shù)，精度要比三角形三節(jié)點(diǎn)高；不足：實(shí)際問(wèn)題很難用4節(jié)點(diǎn)矩形單元?jiǎng)澐?，特別是邊界適合性不強(qiáng)；問(wèn)題：能否構(gòu)造一種任意四邊形單元，則在提高精度得前提下，邊界適應(yīng)性還強(qiáng)？

等參單元

等參單元（iso-parametricelement）的概念二、平面等參單元問(wèn)題：能否利用規(guī)則的平面矩形單元的結(jié)果來(lái)研究不規(guī)則的任意四邊形單元的計(jì)算公式？思路：任意直四邊形可看成是正四邊形(常稱為母元)的變形，由于正四邊形（母元）的位移函數(shù)、單剛矩陣均已得到，則可利用正四邊形單元的結(jié)果研究任意四邊形。重點(diǎn)：1）構(gòu)造任意四邊形與母元間的坐標(biāo)（形狀）變換關(guān)系2）利用坐標(biāo)變換關(guān)系和母元的計(jì)算公式，推導(dǎo)任意四邊形的單剛矩陣（包括母元位移函數(shù)、應(yīng)變矩陣、剛度矩陣轉(zhuǎn)換過(guò)程中的導(dǎo)數(shù)、積分計(jì)算）等參單元分析范例－平面4節(jié)點(diǎn)等參單元1、等參變換（坐標(biāo)映射）目的：建立矩形母單元與任意四邊形單元的坐標(biāo)映射關(guān)系（i=1,2,3,4），已知：求：解法：插值代入4個(gè)角點(diǎn)坐標(biāo)，確定系數(shù)。求出待定系數(shù)，得其中：i=1,2,3,4同矩形單元位移形函數(shù)將四角點(diǎn)的局部坐標(biāo)代入2、等參單元位移函數(shù)從坐標(biāo)變換可知,等參單元位移與母元間位移僅相差坐標(biāo)變換式,而母元單元內(nèi)任意點(diǎn)P的位移函數(shù)Ni同矩形單元位移形函數(shù)，即與坐標(biāo)變換形函數(shù)相同，故得名等參單元。3、等參單元應(yīng)變矩陣由幾何方程，得新問(wèn)題：形函數(shù)是局部坐標(biāo)的函數(shù)，而局部坐標(biāo)又是整體坐標(biāo)的函數(shù)，故：3、等參單元應(yīng)變矩陣稱為雅克比矩陣，且3、等參單元應(yīng)變矩陣4、等參單元應(yīng)力矩陣5、等參單元?jiǎng)偠染仃嚽笪⑿∑叫兴倪呅蚊娣e注：等參單元的剛度積分一般很難有解析式，必須進(jìn)行數(shù)值積分，目前普遍采用高斯數(shù)值積分法（略）。dξ，dη在（x，y）系中的分量為等參單元小結(jié)1、等參單元存在的充要條件是|J|≠0為了保證能進(jìn)行等參變換(即總體坐標(biāo)與局部坐標(biāo)一一對(duì)應(yīng))，通常要求總體坐標(biāo)系下的單元為凸，即不能有內(nèi)角大于或等于或接近180度情況。等參單元小結(jié)2、等參單元的優(yōu)點(diǎn)是當(dāng)單元邊界呈二次以上的曲線時(shí)，容易用很少的單元去逼近曲線邊界。3、前述推導(dǎo)要求：保持坐標(biāo)變換中幾何模式階次與描述單元位移函數(shù)中形函數(shù)的階次相同，故被稱為等參元。如取坐標(biāo)變換的幾何模式階次較單元的位移函數(shù)的階次高，則稱此單元為超參元，反之，為亞參元。上機(jī)實(shí)驗(yàn)安排時(shí)間：第8周星期三第1－2