暨大微積分高階導數(shù)微分

§3.1引出導數(shù)概念的例題§3.2導數(shù)的概念§3.3導數(shù)的基本公式與運算法則§3.4高階導數(shù)§3.5函數(shù)的微分第三章導數(shù)與微分§3.4高階導數(shù)或二階及二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù)．函數(shù)的一階導數(shù)．相應地，把的導數(shù)叫做它的導數(shù)為函數(shù)的二階導數(shù),記作如果導函數(shù)仍是的可導函數(shù)，則稱數(shù)，記作類似地，二階導數(shù)的導數(shù)叫做三階導數(shù)，三階導數(shù)的導數(shù)叫做四階導數(shù)，一般地函數(shù)的階導數(shù)的導數(shù)叫做函數(shù)的階導解:例1

求函數(shù)的二階及三階導數(shù)．解:因為所以例2求函數(shù)的階導數(shù)．解之得解：方程求導數(shù)，的兩邊同時對的二階導數(shù).例3求由方程所確定的隱函數(shù)得§3.1引出導數(shù)概念的例題§3.2導數(shù)的概念§3.3導數(shù)的基本公式與運算法則§3.4高階導數(shù)§3.5函數(shù)的微分第三章導數(shù)與微分一、微分的概念二、微分的幾何意義三、微分的基本公式與運算法則四、微分的形式不變性五、微分在近似計算上的應用§3.5函數(shù)的微分

函數(shù)的導數(shù)表示函數(shù)關于自變量變化的快慢程度(變化率)．但在許多情況下，需要考察或者估算函數(shù)改變量的大小，特別是當自變量發(fā)生微小變化時函數(shù)改變量的大小．這就需要引進微分的概念．一、微分的概念引例已知正方形的面積其邊長由變化到是邊長的函數(shù)若正方形的面積改變的近似面積相應的改變量為:如圖中藍色部分區(qū)域即表示很微小時,當問正方形的面積改變了多少?值是多少?當邊長由變化到可以把分成兩部分:近似地表示即因此,當很少時，第二部分:(圖中深的線性函數(shù)(圖中天藍部分)，第一部分:是時，當藍部分)，是比較高階的無窮小量,可用

設函數(shù)yf(x)在某區(qū)間內(nèi)有定義

x0及x0Dx在這區(qū)間內(nèi)如果函數(shù)的增量Dyf(x0Dx)f(x0)可表示為DyADxo(Dx)

其中A是不依賴于Dx的常數(shù)o(Dx)是比Dx高階的無窮小那么稱函數(shù)yf(x)在點x0是可微的而ADx叫做函數(shù)yf(x)在點x0相應于自變量增量Dx的微分記作dy即dyADx

微分的定義

函數(shù)f(x)在點x0可微函數(shù)f(x)在點x0可導

函數(shù)在點x0的微分一定是dyf

(x0)Dx

可微與可導的關系:yf(x)在點x0可微DyADxo(Dx)

dy=ADx

這是因為一方面

另一方面其中a0(當Dx0)且A=f(x0)是常數(shù)

aDx

o(Dx)

,

函數(shù)yf(x)在任意點x的微分稱為函數(shù)的微分記作dy或df(x)即dyf

(x)Dx

例如

dcosx(cosx)Dxsinx

Dx

dex(e

x)DxexDx

自變量的微分

因為當y=x時

dy=dx=(x)Dx=Dx

所以通常把自變量x的增量Dx稱為自變量的微分記作dx即dxDx

因此函數(shù)yf(x)的微分又可記作

dyf

(x)dx

例1求下列函數(shù)的微分解(1)因為所以可見,函數(shù)的導數(shù)即是函數(shù)的微分與自變量的微分的商,因此常常把導數(shù)也稱為微商.的關系.它反映了函數(shù)的微分與其導數(shù)之間到注:對兩邊同時除以得解:解之得故例2

已知求

及并把看作的函數(shù),得(2)

方程兩邊同時對求導,二、微分的幾何意義當x從x0變到x0+Dx時Dy是曲線上點M的縱坐所以dy是過點(x0f(x0))的切線上點的縱坐標

當|Dx|很小時|Dydy|比|Dx|小得多因此在點M的鄰近我們可以用切線段來近似代替曲線段

標的增量;而的增量.同時有根據(jù)定義，函數(shù)微分就是函數(shù)導數(shù)與自變量微分之積，所以由導數(shù)的基本公式和運算法則得到相應的微分基本公式和運算法則．

（9）

三、微分的基本公式與運算法則d(x

)

x1dx

d(sinx)cosxdx

d(cosx)sinxdx

d(tanx)sec2xdx

d(cotx)csc2xdx

d(secx)secxtanxdx

d(cscx)cscxcotxdx

d(a

x)ax

lnadx

d(e

x)exdx

(x

)

x1

(sinx)cosx

(cosx)sinx(tanx)sec2

x

(cotx)csc2x

(secx)secxtanx

(cscx)cscxcotx

(a

x)ax

lna

(ex)ex微分公式:

導數(shù)公式:

1.基本初等函數(shù)的微分公式

三、微分的基本公式與運算法則微分公式:

導數(shù)公式:

2.函數(shù)和、差、積、商的微分法則公式(uv)uv(Cu)Cu

(uv)uvuvd(uv)dudvd(Cu)Cdu

d(uv)vduudv求導法則

微分法則

所以d(uv)vduudv而udxdu

vdxdv因為d(uv)(uvuv)dxuvdxuvdxd(uv)vduudv的證明

四、微分形式的不變性

由此可見，無論是自變量還是其它變量的函數(shù)，其微分的形式均保持不變．這一性質稱為微分形式的不變性．其微分為:設函數(shù)可導，當是自變量時，代入上式得而函數(shù)的微分則為復合函數(shù),且若其微分為例3求解:解:對方程兩邊求微分,得dxyxdyyxy)2()23(2+=--ydyydxxdyxdxdyy2232+++=所以的微分．例4求由方程所確定的隱函數(shù)例5在下列等式左端的括號中填入適當?shù)慕?一般有函數(shù)，使等式成立.

一般有五、微分在近似計算上的應用可以用該式計算函數(shù)增量的近似值.