熱學-氣動力理論-能均分定理麥克斯韋速率分布

7.5.1自由度確定物體位置所需的獨立坐標數(shù)目,記作i例:xyz

01.質點

xyzi=3(t)2.剛性細桿3.剛體位置xyz方向i=5(3t+2r)位置xyz方向自轉角度i=6(3t+3r)彈性分子還要考慮振動自由度(v)氣體分子單原子分子雙原子分子(常溫)多原子分子(常溫)§7.5能量均分定理理想氣體的內能理想氣體分子熱運動的能量:平動+轉動+振動的能量總和氦,氬等氫,氧,氮等水分子,甲烷等i=3

(t)i=5(3t+2r)i=6(3t+3r)氣體分子自由度:單原子分子剛性雙原子分子(常溫)剛性多原子分子(常溫)7.5.2能量按自由度均分定理氣體分子平均平動動能每個自由度上平均能量為:能量均分定理:在溫度為

T的平衡態(tài)下,物質分子的每一個自由度都具有相同的平均能量,等于分子的平均能量單原子分子:剛性雙原子分子:剛性多原子分子:7.5.3理想氣體的內能理想氣體模型:分子間無相互作用,無相互作用勢能,分子碰撞無機械能損失.理想氣體內能:1mol:m/Mmol:內能的改變量結論:

理想氣體內能是熱力學溫度的單值函數(shù).能量均分定理:在溫度為

T的平衡態(tài)下,物質分子的每一個自由度都具有相同的平均能量等于分子的平均總能量若考慮分子振動:分子振動能量包括振動動能和振動勢能,每個振動自由度的平均能量也是kT/2.單原子分子:剛性雙原子分子:剛性多原子分子:例:摩爾數(shù)相同的氧氣和二氧化氮氣體(視為理想氣體),如果它們的溫度相同,則兩氣體

(A)內能相等;(B)分子的平均動能相同;(C)分子的平均平動動能相同;(D)分子的平均轉動動能相同.答:分子的平均平動動能相同.例:指出下列各式的物理意義(1)(2)(3)(4)(5)(6)分子在每個自由度上的平均能量分子平均平動動能理想氣體分子的平均能量1mol

理想氣體內能質量為m

的理想氣體分子平均平動動能總和質量為m

的理想氣體內能§7.6

麥克斯韋速率分布熱力學系統(tǒng)的統(tǒng)計規(guī)律.統(tǒng)計規(guī)律:大量偶然事件整體所遵從的規(guī)律不能預測可多次重復拋硬幣:拋的次數(shù)越多,出現(xiàn)正反面的結果都越接近50%.伽爾頓板實驗·每個小球的落點完全是偶然的;·少量小球的分布明顯有偶然性;·大量小球的分布呈現(xiàn)規(guī)律性.............................................................漲落:實際出現(xiàn)的情況與統(tǒng)計平均值的偏差.:分子總數(shù)為速率在區(qū)間的分子數(shù).表示速率在區(qū)間的分子數(shù)占總數(shù)的百分比.氣體分子速率分布實驗曲線:7.6.1速率分布和分布函數(shù)實驗曲線分析:總分子數(shù)為NdN

:

速率在[v,v+dv]

區(qū)間內分子數(shù):

分子出現(xiàn)在[v,v+dv]與

v,dv

有關意義:

分子在速率

v

附近的單位速率區(qū)間(區(qū)間寬度為1)內出現(xiàn)的概率(概率密度).速率分布函數(shù)速率在[v1,v2]

區(qū)間內的分子數(shù):速率分布在[0,∞

]范圍內的分子數(shù)顯然為總分子數(shù)N歸一化條件:速率區(qū)間內的概率速率在[v1,v2]區(qū)間內的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比:7.6.2理想氣體分子麥克斯韋速率分布律

f(v)v理論曲線分析:v+dvv1.圖中小矩形面積:平衡態(tài)下,分子出現(xiàn)在[v,

v+dv]

速率區(qū)間內的概率.或速率在[v,

v+dv]

區(qū)間內的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比.v2v12.圖中斜線部分面積:平衡態(tài)下,分子出現(xiàn)在

[v1,v2]速率區(qū)間內的概率.或速率在[v1,v2]區(qū)間內的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比.分子質量玻耳茲曼常數(shù)麥克斯韋速率分布曲線:結論:麥克斯韋速率分布曲線下的任意面積等于分子出現(xiàn)在相應速率區(qū)間內的概率,或等于相應速率區(qū)間內分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比.3.歸一化條件麥克斯韋速率分布曲線所圍的總面積等于1.理論曲線分析:1.圖中小矩形面積:平衡態(tài)下,分子出現(xiàn)在[v,v+dv]速率區(qū)間內的概率.或速率在[v,

v+dv]

區(qū)間內的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比.2.圖中斜線部分面積:平衡態(tài)下,分子出現(xiàn)在

[v1,v2]速率區(qū)間內的概率.或速率在[v1,v2]區(qū)間內的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比.v

p2.平均速率3.方均根速率v結論:1.2.以vp

為界,S右＞S左7.6.3三個統(tǒng)計速率1.最概然速率(最可幾速率)2.平均速率3.方均根速率1.最概然速率例:

如圖:(1)若圖為同種氣體不同溫度下的速率分布曲線,問哪條曲線對應的溫度較高?(2)若兩條曲線分別對應同一溫度下氧氣和氫氣的速率分布曲線,問哪條曲線對應氧氣,哪條對應氫氣?f(v)

vT1T2O解:(1)

T1

<

T2(2)

B:

R:氧氫例:求速率在

[v1,v2]區(qū)間內的分子的平均速率解:7.6.4氣體分子速率分布的測定

1920年斯特恩從實驗上證實了速率分布定律.φωωL金屬蒸汽方向選擇速率選擇器屏v

1934年我國物理學家葛正權用實驗測定了分子的速率分布.在同一平衡態(tài)下,理想氣體的三種統(tǒng)計速率有固定的大小關系.§7.8氣體分子的平均碰撞次數(shù)和平均自由程維持平衡態(tài)的宏觀性質非平衡態(tài)向平衡態(tài)過渡依賴分子與分子的頻繁碰撞不能像討論壓強那樣將分子看成質點;不需要像討論內能那樣考慮分子結構.

分子的有效直徑

d

約10-10m.剛性球模型1.平均碰撞次數(shù)單位時間內分子間碰撞的次數(shù)的平均值.·設分子有效直徑d,某分子以平均速率v

運動,而其它分子都不動;·以該分子運動路徑(折線)為軸線,作一半徑為d,總長為v的圓管.

dd單位時間內該分子與中心位于管壁以內的其他分子碰撞次數(shù)為:·凡是中心位于管壁以內的分子都與該分子進行碰撞.考慮到其它分子都在運動,經過修正得到分子的平均碰撞次數(shù):常溫常壓下約109~1010s-1.2.平均自由程分子在連續(xù)兩次碰撞之間能自由通