概率論與數(shù)理統(tǒng)計ch8

假設(shè)檢驗的基本思想和方法假設(shè)檢驗的一般步驟假設(shè)檢驗的兩類錯誤課堂練習(xí)小結(jié)布置作業(yè)第一節(jié)假設(shè)檢驗假設(shè)檢驗參數(shù)假設(shè)檢驗非參數(shù)假設(shè)檢驗這類問題稱作假設(shè)檢驗問題.總體分布已知，檢驗關(guān)于未知參數(shù)的某個假設(shè)總體分布未知時的假設(shè)檢驗問題在本節(jié)中，我們將討論不同于參數(shù)估計的另一類重要的統(tǒng)計推斷問題.這就是根據(jù)樣本的信息檢驗關(guān)于總體的某個假設(shè)是否正確.一、假設(shè)檢驗的基本思想和方法讓我們先看一個例子.這一章我們討論對參數(shù)的假設(shè)檢驗

.生產(chǎn)流水線上罐裝可樂不斷地封裝，然后裝箱外運.怎么知道這批罐裝可樂的容量是否合格呢？把每一罐都打開倒入量杯,看看容量是否合于標(biāo)準(zhǔn).這樣做顯然不行！罐裝可樂的容量按標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)在350毫升和360毫升之間.每隔一定時間，抽查若干罐.如每隔1小時，抽查5罐，得5個容量的值X1，…，X5，根據(jù)這些值來判斷生產(chǎn)是否正常.如發(fā)現(xiàn)不正常，就應(yīng)停產(chǎn)，找出原因，排除故障，然后再生產(chǎn)；如沒有問題，就繼續(xù)按規(guī)定時間再抽樣，以此監(jiān)督生產(chǎn)，保證質(zhì)量.通常的辦法是進行抽樣檢查.很明顯，不能由5罐容量的數(shù)據(jù)，在把握不大的情況下就判斷生產(chǎn)

不正常，因為停產(chǎn)的損失是很大的.當(dāng)然也不能總認(rèn)為正常，有了問題不能及時發(fā)現(xiàn)，這也要造成損失.如何處理這兩者的關(guān)系，假設(shè)檢驗面對的就是這種矛盾.在正常生產(chǎn)條件下，由于種種隨機因素的影響，每罐可樂的容量應(yīng)在355毫升上下波動.這些因素中沒有哪一個占有特殊重要的地位.因此，根據(jù)中心極限定理，假定每罐容量服從正態(tài)分布是合理的.現(xiàn)在我們就來討論這個問題.罐裝可樂的容量按標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)在350毫升和360毫升之間.它的對立假設(shè)是：稱H0為原假設(shè)（或零假設(shè)，解消假設(shè)）；稱H1為備選假設(shè)（或?qū)α⒓僭O(shè)）.在實際工作中，往往把不輕易否定的命題作為原假設(shè).H0：（=355）H1：這樣，我們可以認(rèn)為X1,…,X5是取自正態(tài)總體

的樣本，是一個常數(shù).當(dāng)生產(chǎn)比較穩(wěn)定時，現(xiàn)在要檢驗的假設(shè)是：那么，如何判斷原假設(shè)H0

是否成立呢？較大、較小是一個相對的概念，合理的界限在何處？應(yīng)由什么原則來確定？由于

是正態(tài)分布的期望值，它的估計量是樣本均值，因此可以根據(jù)與

的差距來判斷H0

是否成立.-

||較小時，可以認(rèn)為H0是成立的；當(dāng)-

||生產(chǎn)已不正常.當(dāng)較大時，應(yīng)認(rèn)為H0不成立，即-

||問題歸結(jié)為對差異作定量的分析，以確定其性質(zhì).差異可能是由抽樣的隨機性引起的，稱為“抽樣誤差”或隨機誤差這種誤差反映偶然、非本質(zhì)的因素所引起的隨機波動.然而，這種隨機性的波動是有一定限度的，如果差異超過了這個限度，則我們就不能用抽樣的隨機性來解釋了.必須認(rèn)為這個差異反映了事物的本質(zhì)差別，即反映了生產(chǎn)已不正常.這種差異稱作“系統(tǒng)誤差”問題是，根據(jù)所觀察到的差異，如何判斷它究竟是由于偶然性在起作用，還是生產(chǎn)確實不正常？即差異是“抽樣誤差”還是“系統(tǒng)誤差”所引起的？這里需要給出一個量的界限.問題是：如何給出這個量的界限？這里用到人們在實踐中普遍采用的一個原則：小概率事件在一次試驗中基本上不會發(fā)生.現(xiàn)在回到我們前面罐裝可樂的例中：在提出原假設(shè)H0后，如何作出接受和拒絕H0的結(jié)論呢？在假設(shè)檢驗中，我們稱這個小概率為顯著性水平，用表示.常取的選擇要根據(jù)實際情況而定。罐裝可樂的容量按標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)在350毫升和360毫升之間.一批可樂出廠前應(yīng)進行抽樣檢查，現(xiàn)抽查了n罐，測得容量為X1,X2,…,Xn，問這一批可樂的容量是否合格？提出假設(shè)選檢驗統(tǒng)計量~N(0,1)H0：=355

H1：

≠355由于已知，它能衡量差異大小且分布已知.對給定的顯著性水平

，可以在N(0,1)表中查到分位點的值，使故我們可以取拒絕域為：也就是說,“”是一個小概率事件.W：如果由樣本值算得該統(tǒng)計量的實測值落入?yún)^(qū)域W，則拒絕H0

；否則，不能拒絕H0.如果H0

是對的，那么衡量差異大小的某個統(tǒng)計量落入?yún)^(qū)域W(拒絕域)是個小概率事件.如果該統(tǒng)計量的實測值落入W，也就是說，H0成立下的小概率事件發(fā)生了，那么就認(rèn)為H0不可信而否定它.否則我們就不能否定H0

（只好接受它）.這里所依據(jù)的邏輯是：不否定H0并不是肯定H0一定對，而只是說差異還不夠顯著，還沒有達到足以否定H0的程度.所以假設(shè)檢驗又叫“顯著性檢驗”如果顯著性水平

取得很小，則拒絕域也會比較小.其產(chǎn)生的后果是：H0難于被拒絕.如果在很小的情況下H0仍被拒絕了，則說明實際情況很可能與之有顯著差異.基于這個理由，人們常把時拒絕H0稱為是顯著的，而把在時拒絕H0稱為是高度顯著的.在上面的例子的敘述中，我們已經(jīng)初步介紹了假設(shè)檢驗的基本思想和方法.下面，我們再結(jié)合另一個例子，進一步說明假設(shè)檢驗的一般步驟.二、假設(shè)檢驗的一般步驟

例2

某工廠生產(chǎn)的一種螺釘，標(biāo)準(zhǔn)要求長度是32.5毫米.實際生產(chǎn)的產(chǎn)品，其長度X假定服從正態(tài)分布未知，現(xiàn)從該廠生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中抽取6件,得尺寸數(shù)據(jù)如下:32.56,29.66,31.64,30.00,31.87,31.03問這批產(chǎn)品是否合格?…分析：這批產(chǎn)品(螺釘長度)的全體組成問題的總體X.現(xiàn)在要檢驗E(X)是否為32.5.提出原假設(shè)和備擇假設(shè)第一步：已知

X~未知.第二步：能衡量差異大小且分布已知取一檢驗統(tǒng)計量，在H0成立下求出它的分布第三步：即“

”是一個小概率事件.小概率事件在一次試驗中基本上不會發(fā)生.對給定的顯著性水平=0.01，查表確定臨界值,使得否定域W:|t|>4.0322得否定域

W:|t|>4.0322故不能拒絕H0.第四步：將樣本值代入算出統(tǒng)計量t的實測值,|t|=2.997<4.0322沒有落入拒絕域

這并不意味著H0一定對，只是差異還不夠顯著,不足以否定H0.假設(shè)檢驗會不會犯錯誤呢？由于作出結(jié)論的依據(jù)是下述小概率原理小概率事件在一次試驗中基本上不會發(fā)生.不是一定不發(fā)生三、假設(shè)檢驗的兩類錯誤如果H0成立，但統(tǒng)計量的實測值落入否定域，從而作出否定H0的結(jié)論，那就犯了“以真為假”的錯誤.如果H0不成立，但統(tǒng)計量的實測值未落入否定域，從而沒有作出否定H0的結(jié)論，即接受了錯誤的H0，那就犯了“以假為真”的錯誤.請看下表

假設(shè)檢驗的兩類錯誤H0為真實際情況決定拒絕H0接受H0H0不真第一類錯誤正確正確第二類錯誤

P{拒絕H0|H0為真}=,

P{接受H0|H0不真}=.

犯兩類錯誤的概率:顯著性水平為犯第一類錯誤的概率.

兩類錯誤的概率的關(guān)系兩類錯誤是互相關(guān)聯(lián)的，當(dāng)樣本容量固定時，一類錯誤概率的減少導(dǎo)致另一類錯誤概率的增加.要同時降低兩類錯誤的概率或者要在不變的條件下降低，需要增加樣本容量.請看演示假設(shè)檢驗和區(qū)間估計的關(guān)系請看演示假設(shè)檢驗和區(qū)間估計單、雙側(cè)檢驗前面一例的檢驗，拒絕域取在兩側(cè)，稱為雙側(cè)檢驗.下面看一個單側(cè)檢驗的例子.想了解單雙側(cè)檢驗的區(qū)別，請看演示.單雙側(cè)檢驗例3

某工廠生產(chǎn)的固體燃料推進器的燃燒率服從正態(tài)分布現(xiàn)在用新方法生產(chǎn)了一批推進器。從中隨機取

n=25只，測得燃燒率的樣本均值為

設(shè)在新方法下總體均方差仍為2cm/s，問這批推進器的燃燒率是否較以往生產(chǎn)的推進器的燃燒率有顯著的提高？取顯著性水平

代入=2,n=25，并由樣本值計算得統(tǒng)計量U的實測值U=3.125>1.645故拒絕H0

，即認(rèn)為這批推進器的燃料率較以往生產(chǎn)的有顯著的提高。落入否定域解:提出假設(shè):取統(tǒng)計量否定域為

W:=1.645

某織物強力指標(biāo)X的均值=21公斤.改進工藝后生產(chǎn)一批織物，今從中取30件，測得=21.55公斤.假設(shè)強力指標(biāo)服從正態(tài)分布且已知=1.2公斤，問在顯著性水平=0.01下，新生產(chǎn)織物比過去的織物強力是否有提高?四、課堂練習(xí)代入

=1.2,n=30，并由樣本值計算得統(tǒng)計量U的實測值U=2.51>2.33故拒絕原假設(shè)H0

，即新生產(chǎn)織物比過去的織物的強力有提高。落入否定域解:提出假設(shè):

取統(tǒng)計量否定域為

W:=2.33

提出假設(shè)

根據(jù)統(tǒng)計調(diào)查的目的,提出原假設(shè)H0

和備選假設(shè)H1作出決策抽取樣本檢驗假設(shè)

對差異進行定量的分析，確定其性質(zhì)(是隨機誤差還是系統(tǒng)誤差.為給出兩者界限，找一檢驗統(tǒng)計量T，在H0成立下其分布已知.）拒絕還是不能拒絕H0顯著性水平P(TW)=-----犯第一類錯誤的概率，W為拒絕域五、小結(jié)六、布置作業(yè)概率論與數(shù)理統(tǒng)計標(biāo)準(zhǔn)化作業(yè)(七)單個正態(tài)總體均值的檢驗兩個正態(tài)總體均值差的檢驗小結(jié)布置作業(yè)第二節(jié)正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗

1.已知，關(guān)于的檢驗（u檢驗）在上一小節(jié)中已討論過正態(tài)總體,當(dāng)已知時關(guān)于的檢驗問題.在這些檢驗問題中，我們都是利用在為真時服從分布的統(tǒng)計量來確定拒絕域。這種檢驗法常稱為u檢驗法。一、單個總體均值的檢驗下面還將給出一個有用的結(jié)果:我們看到，如將例2中需要檢驗的問題寫成以下的形式，看來更為合理：取顯著性水平為，現(xiàn)在來求這個問題的拒絕域.因為中的全部都比中的要小,從直觀上看,較合理的檢驗法應(yīng)是：若觀測值與的差過分大，即,則我們拒絕而接受，因此拒絕域的形式為（k待定）.由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)的單調(diào)性得到P{拒絕為真}即即得，從而得檢驗問題(1.7）的拒絕域為所以要控制P{拒絕為真}，只需令這與上節(jié)得到的檢驗問題（1.3）的拒絕域（1.5）是一致的。比較正態(tài)總體在方差已知時，對均值的兩種檢驗問題

和我們看到盡管兩者原假設(shè)的形式不同，實際意義也不一樣，但對于相同的顯著性水平它們的拒絕域是相同的。因此遇到形如（1.7）的檢驗問題，可歸結(jié)為（1.3）來討論。對于下面將要討論的有關(guān)正態(tài)總體的參數(shù)的檢驗也有類似的結(jié)果。

2.未知，關(guān)于的檢驗（t檢驗）設(shè)總體，其中未知，我們來求檢驗問題的拒絕域（顯著性水平為）。設(shè)是來自正態(tài)總體X的樣本，由于未知，現(xiàn)在不能利用來確定拒絕域了。注意到是的無偏估計，我們用s

來代替，采用作為檢驗統(tǒng)計量。當(dāng)過分大時就拒絕,拒絕域的形式為已知當(dāng)為真時，，故由P{拒絕為真}＝，得，即拒絕域為

對于正態(tài)總體，當(dāng)未知時，關(guān)于的單邊檢驗得拒絕域在課本附表中已給出。上述利用t

統(tǒng)計量得出得檢驗法稱為t

檢驗法。在實際中，正態(tài)總體的方差常為未知，所以我們常用t檢驗法來檢驗關(guān)于正態(tài)總體均值的檢驗問題。例1某種電子元件的壽命X（以小時計）服從正態(tài)分布，均未知?，F(xiàn)測得16只元件的壽命如下：

159280101212224379179264222362168250149260485170問是否有理由認(rèn)為元件的平均壽命大于225（小時）？解：按題意需檢驗取。由表8.1知檢驗問題的拒絕域為現(xiàn)在n=16,又算得即得t不落在拒絕域，故接受，即認(rèn)為元件的平均壽命不大于225小時。二.兩個正態(tài)總體均值差的檢驗（t檢驗）我們還可以用t檢驗法檢驗具有相同方差的兩個正態(tài)總體均值差的假設(shè)。設(shè)是來自正態(tài)總體的樣本，是來自正態(tài)總體的樣本且設(shè)兩樣本獨立。又分別記它們的樣本均值為，記樣本方差為。設(shè)均為未知，要特別引起注意的是，在這里假設(shè)兩總體的方差是相等的?，F(xiàn)在來求檢驗問題：（為已知常數(shù)）的拒絕域，取顯著性水平為引用下述t統(tǒng)計量作為檢驗統(tǒng)計量：其中當(dāng)為真時，已知與單個總體的t

檢驗法相仿，其拒絕域的形式為

P{拒絕為真}

＝可得于是得拒絕域為關(guān)于均值差的其它兩個檢驗問題的拒絕域在書附表中給出。常用的是的情況。當(dāng)兩種正態(tài)總體的方差均為已知時，我們可用u檢驗法來檢驗兩正態(tài)總體均值差的假設(shè)問題。例2在平爐進行一項試驗以確定改變操作方法的建議是否會增加鋼的得率，試驗是在同一只平爐上進行的。每煉一爐鋼時除操作方法外，其它條件都盡可能做到相同。先用標(biāo)準(zhǔn)方法煉一爐，然后用建議的新方法煉一爐，以后交替進行，各煉了10爐，其得率分別為標(biāo)準(zhǔn)方法78.172.476.274.377.478.476.075.576.777.3

新方法79.181.077.379.180.079.179.177.380.282.1設(shè)這兩個樣本相互獨立，且分別來自正態(tài)總體和,均未知。問建議的新操作方法能否提高得率？（?。┙猓盒枰獧z驗假設(shè)分別求出標(biāo)準(zhǔn)方法和新方法的樣本均值和樣本方差如下：又，故拒絕域為現(xiàn)在由于樣本觀察值t＝-4.295<-1.7341,所以拒絕，即認(rèn)為建議的新操作方法較原來的方法為優(yōu)。三、小結(jié)在這一節(jié)中我們學(xué)習(xí)了正態(tài)總體均值的檢驗法,有以下兩種:單個正態(tài)總體均值的檢驗以及兩個正態(tài)總體均值差的檢驗.四、布置作業(yè)概率論與數(shù)理統(tǒng)計標(biāo)準(zhǔn)化作業(yè)(七)單個總體的情況兩個總體的情況課堂練習(xí)小結(jié)布置作業(yè)第三節(jié)正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗一、單個總體的情況設(shè)總體均屬未知，是來自X的樣本，要求檢驗假設(shè)（顯著性水平為）：

為已知常數(shù)。由于是的無偏估計，當(dāng)為真時，比值一般來說應(yīng)在1附近擺動，而不應(yīng)過分大于1或過分小于1。由于當(dāng)為真時,

我們?nèi)∽鳛闄z驗統(tǒng)計量，如上所說知道上述檢驗問題的拒絕域具有以下的形式：或或此處的值由下式確定：

P{拒絕為真}

＝為計算方便起見，習(xí)慣上取（3.1）

故得

于是得拒絕域為或上述檢驗法為檢驗法。關(guān)于方差的單邊檢驗法得拒絕域已在附表中給出。例3某廠生產(chǎn)的某種型號的電池，其壽命長期以來服從方差(小時)的正態(tài)分布，現(xiàn)有一批這種電池，從它的生產(chǎn)情況來看，壽命的波動性有所改變，現(xiàn)隨機取26只電池，測出其壽命的樣本方差小時）。問根據(jù)這一數(shù)據(jù)能否推斷這批電池的壽命的波動性較以往的有顯著的變化（?。?？或

由觀察值得所以拒絕，認(rèn)為這批電池壽命波動性較以往的有顯著的變化。二、兩個總體的情況設(shè)來自總體的樣本，是來自總體的樣本，且兩樣本獨立。其樣本方差分別為。且設(shè)均為未知，現(xiàn)在需要檢驗假設(shè):由于的獨立性及得知故當(dāng)為真時，即當(dāng)時有（3.2）我們?nèi)∽鳛闄z驗統(tǒng)計量。當(dāng)為真時，而當(dāng)為真時

由于，故有偏大的趨勢，因此拒絕域的形式為（3.3）k由下式確定：P{拒絕為真}＝即有于是拒絕域為

上述檢驗法稱為F檢驗法。關(guān)于的另外兩個檢驗問題的拒絕域在附表中給出。(3.4)例4試對例2中的數(shù)據(jù)作方差的假設(shè)檢驗（?。┙猓捍颂帲芙^域為或現(xiàn)在即有

故接受，認(rèn)為兩總體方差相等。例5研究機器A和機器B生產(chǎn)的鋼管的內(nèi)徑，隨機抽取機器A生產(chǎn)的管子18只，測得樣本方差；抽取機器