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文檔簡介
8.3正態(tài)分布曲線1.兩點分布:3.超幾何分布:2.二項分布:一、復習回顧:你是否認識它?二、創(chuàng)設(shè)情境:圖中每一黑點表示釘在板上的一顆釘子,它們彼此的距離均相等,上一層的每一顆的水平位置恰好位于下一層的兩顆正中間。從入口處放進一個直徑略小于兩顆釘子之間的距離的小圓玻璃球,當小圓球向下降落過程中,碰到釘子后皆以1/2的概率向左或向右滾下,于是又碰到下一層釘子。如此繼續(xù)下去,直到滾到底板的一個格子內(nèi)為止。把許許多多同樣大小的小球不斷從入口處放下,只要球的數(shù)目相當大,它們在底板將堆成近似于正態(tài)的密度函數(shù)圖形(即:中間高,兩頭低,呈左右對稱的古鐘型),其中n為釘子的層數(shù)。這是英國生物統(tǒng)計學家高爾頓設(shè)計的用來研究隨機現(xiàn)象的模型,稱為高爾頓釘板(或高爾頓板)。三、探究思考:1、我們也來玩一玩思考:
隨著試驗次數(shù)和分組數(shù)的增多,頻率直方圖的形狀會呈現(xiàn)什么樣的變化?結(jié)論在上面游戲中得到的總體密度曲線就是或近似地是以下函數(shù)的圖象:1、正態(tài)曲線的定義:函數(shù)式中的實數(shù)μ、σ(σ>0)是參數(shù),分別表示總體的平均數(shù)與標準差,稱P(x)的圖象稱為正態(tài)曲線四、定義:思考:
2、上面的表達式有什么特點?3、回憶一下前面學習必修1時我們學習函數(shù),可以從哪些方面研究它?答:定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等012-1-2x-33X=μσ正態(tài)曲線歸納、總結(jié):012-1-2x-33X=μσ正態(tài)曲線(1)曲線位于x軸上方,與x軸不相交;(2)曲線是單峰的,它關(guān)于對稱;(3)曲線在處達到峰值;(4)曲線與x軸之間的面積為1;x,x(2)曲線是單峰的,它關(guān)于對稱;(3)曲線在處達到峰值;(4)曲線與x軸之間的面積為1;歸納、總結(jié):(1)思考:式子中有兩個變化的參數(shù),我們可以看成兩個變量,但是雙變量會對我們的研究造成一定的困難,同學們有什么好的辦法嗎?針對解析式中含有兩個參數(shù),較難獨立分析參數(shù)對曲線的影響,這里通過固定一個參數(shù),討論另一個參數(shù)對圖象的影響,這樣的處理大大降低了難度2、觀察、歸納、總結(jié):σ=0.5σ=1σ=2Oxμ
=-1μ
=0μ
=1Ox1、當σ一定時,曲線隨μ的變化而沿x軸平移;2、當μ一定時,σ影響了曲線的形狀.即:σ越小,則曲線越瘦高,表示總體分布越集中;σ越大,則曲線越矮胖,表示總體分布越分散.結(jié)論:xy0
ab五、正態(tài)分布:則稱X
的分布為正態(tài)分布.
正態(tài)分布由參數(shù)m、s唯一確定,m、s分別表示總體的平均數(shù)與標準差.正態(tài)分布記作N(m,s2).其圖象稱為正態(tài)曲線.如果對于任何實數(shù)a<b,隨機變量X滿足:記作:X~N(m,s2)。(EX=mDX=s)2、定義:3、標準正態(tài)分布:六、3σ原則對于正態(tài)分布,隨機變量X在μ的附近取值的概率較大,在離μ很遠處取值的概率較?。浩?、有關(guān)正態(tài)分布的隨機變量的有關(guān)概率計算:知識點1:標準正態(tài)分布的隨機變量的有關(guān)概率可以通過查表(見附錄1:標準正態(tài)分布表)1.正態(tài)分布密度函數(shù)及正態(tài)曲線完全由變量μ和σ確定.參數(shù)μ是反映隨機變量取值的平均水平的特征數(shù),可以用樣本的均值去估計;σ是衡量隨機變量總體波動大小的特征數(shù),可以用樣本的標準差去估計.
2.對于正態(tài)曲線的性質(zhì),應結(jié)合正態(tài)曲線的特點去理解、記憶.
[例1]
如圖所示是一個正態(tài)曲線,試根據(jù)該圖象寫出其正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式,求出總體隨機變量的期望和方差.[思路點撥]給出了一個正態(tài)曲線,就給出了該曲線的對稱軸和最大值,從而就能求出總體隨機變量的期望、標準差及解析式.[一點通]利用正態(tài)曲線的性質(zhì)可以求參數(shù)μ,σ,具體方法如下:
(1)正態(tài)曲線是單峰的,它關(guān)于直線x=μ對稱,由此性質(zhì)結(jié)合圖象求μ.(2)正態(tài)曲線在x=μ處達到峰值,由此性質(zhì)結(jié)合圖象可求σ.答案:B解析:由σ的意義可知,圖象越瘦高,數(shù)據(jù)越集中,σ2越小,故有σ1>σ2>σ3.答案:A[例2]在某項測量中,測量結(jié)果服從正態(tài)分布N(1,4),求正態(tài)總體X在(-1,1)內(nèi)取值的概率.
[思路點撥]
解答本題可先求出X在(-1,3)內(nèi)取值的概率,然后由正態(tài)曲線關(guān)于x=1對稱知,X在(-1,1)內(nèi)取值的概率就等于在(-1,3)內(nèi)取值的概率的一半.[一點通]
解答此類問題的關(guān)鍵在于充分利用正態(tài)曲線的對稱性,把待求區(qū)間內(nèi)的概率向已知區(qū)間內(nèi)的概率進行轉(zhuǎn)化,在此過程中注意數(shù)形結(jié)合思想的運用.3.若隨機變量X~N(μ,σ2),則P(X≤μ)=________.4.設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N(2,9),若P(X>c+1)=P(X<c-1),則c=________.答案:25.若X~N(5,1),求P(5<X<7).[例3]
(10分)據(jù)調(diào)查統(tǒng)計,某市高二學生中男生的身高X(單位:cm)服從正態(tài)分布N(174,9).若該市共有高二男生3000人,試估計該市高二男生身高在(174,180)范圍內(nèi)的人數(shù).
[思路點撥]因為μ=174,σ=3,所以可利用正態(tài)分布的性質(zhì)可以求解.[精解詳析]因為身高X~N(174,9),所以μ=174,σ=3,
(2分)所以μ-2σ=174-2×3=168,μ+2σ=174+2×3=180,所以身高在(168,180]范圍內(nèi)的概率為0.9544.(6分)又因為μ=174.所以身高在(168,174)和(174,180)范圍內(nèi)的概率相等,均為0.4772,故該市高二男生身高在(174,180)范圍內(nèi)的人數(shù)是3000×0.4772≈1432(人).
(10分)[一點通]
解決此類問題一定要靈活把握3σ原則,將所求概率向P(μ-σ<X<μ+σ),P(μ-2σ<X<μ+2σ),P(μ-3σ<X<μ+3σ)進行轉(zhuǎn)化,然后利用特定值求出相應的概率.同時要充分利用好曲線的對稱性和曲線與x軸之間的面積為1這一特殊性質(zhì).1、已知X~N(0,1),則X在區(qū)間內(nèi)取值的概率
A、0.9544B、0.0456C、0.9772D、0.02282、設(shè)離散型隨機變量X~N(0,1),則=
,=
.D0.50.95443、若已知正態(tài)總體落在區(qū)間的概率為0.5,則相應的正態(tài)曲線在x=
時達到最高點。0.34、已知正態(tài)總體的數(shù)據(jù)落在(-3,-1)里的概率和落在(3,5)里的概率相等,那么這個正態(tài)總體的數(shù)學期望是
。1
練一練:因為P(μ-3σ<X<μ+3σ)=0.9974,所以正態(tài)總體X幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間(μ-3σ,μ+3σ)之內(nèi),而在此區(qū)間以外取值的概率只有0.0026,這是一個小概率事件,通常認為這種情況在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生.這是統(tǒng)計中常用的假設(shè)檢驗基本思想.1.正態(tài)曲線態(tài)變量概率密度曲線的函數(shù)表達式為f(x)=e
,x∈R,其中參數(shù)μ為正態(tài)分布變量的
,μ∈(
);σ為正態(tài)分布變量的
,σ∈
.正態(tài)變量的概率密度函數(shù)(即f(x))的
叫做正態(tài)曲線.期望為μ,標準差為σ的正態(tài)分布通常記作
,μ=0,σ=1的正態(tài)分布叫
.數(shù)學期望-∞,+∞標準差(0,+∞)圖象N(μ,σ2)標準正態(tài)分布2.正態(tài)曲線的性質(zhì)
(1)曲線在x軸的
,并且關(guān)于直線
對稱;
(2)曲線在
時處于最高點,并由此處向左右兩邊延伸時,曲線逐漸
,呈現(xiàn)“
”的形狀;
(3)曲線的形狀由參數(shù)σ確定,σ越
,曲線“矮胖”;σ越
,曲線越“高瘦”.上方x=μx=μ降低中間高,兩邊低大小3.正態(tài)分布的3σ原則
P(μ-σ<X<μ+σ)=68.3%;
P(μ-2σ<X<μ+2σ)=
;
P(μ-3σ<X<μ+2σ)=
.正態(tài)變量的取值幾乎都在距x=μ三倍標準差之內(nèi),這就是正態(tài)分布的3σ原則.95.4%99.7%歸納小結(jié)
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