第五章系統(tǒng)模型與仿真

交通運(yùn)輸系統(tǒng)工程主講人

白書戰(zhàn)博士講師2023年2月3日氣有浩然，學(xué)無止境

求真務(wù)實(shí)，開放拓新課程內(nèi)容第5章

系統(tǒng)模型與仿真5.1

系統(tǒng)建模及仿真概述系統(tǒng)是由兩個(gè)以上相互關(guān)聯(lián)的要素構(gòu)成的特定功能的整體。其特性可有這些要素間的聯(lián)系推導(dǎo)出來。為了掌握系統(tǒng)發(fā)炸你變化的規(guī)律，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行有效的分析研究并得到可信結(jié)果，就必須根據(jù)系統(tǒng)的目的，抓住要素間的聯(lián)系，建立模型，進(jìn)行定量或定性定量結(jié)合的分析。系統(tǒng)模型是系統(tǒng)工程解決問題的必要工具，它是認(rèn)識(shí)、評(píng)價(jià)、選定一個(gè)好的系統(tǒng)的重要手段。系統(tǒng)建模是系統(tǒng)工程人員必須掌握的重要方法。系統(tǒng)模型及模型化的定義系統(tǒng)模型是利用圖形、表格、數(shù)據(jù)、文字、數(shù)學(xué)表達(dá)式或計(jì)算機(jī)語言等來描述和抽象實(shí)際系統(tǒng)基本特征的替代物。模型必須抓住系統(tǒng)的實(shí)質(zhì)要素，進(jìn)行必要的合理的抽象，是模型盡量做到簡(jiǎn)單、準(zhǔn)確可靠、經(jīng)濟(jì)實(shí)用適用模型的基本特征：它是現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)的抽象或模仿；它是由反映系統(tǒng)本質(zhì)或特征的主要因素構(gòu)成；它集中體現(xiàn)了這些主要因素之間的關(guān)系。系統(tǒng)的模型化就是建立系統(tǒng)模型，就是建立描述系統(tǒng)的特征和行為的數(shù)學(xué)模型或圖形模型等抽象模型的過程。它把系統(tǒng)各要素之間相互關(guān)聯(lián)的信息用數(shù)學(xué)、物理或其它方法進(jìn)行抽象，使其與系統(tǒng)有相似結(jié)構(gòu)或行為并體現(xiàn)系統(tǒng)這一有機(jī)整體的科學(xué)方法。人機(jī)結(jié)合處理方式的必然要求經(jīng)濟(jì)性的要求安全可靠研究無法實(shí)驗(yàn)的系統(tǒng)的必然要求模型的分類分類方法很多，一般可分為概念模型、符號(hào)模型和形象模型。符號(hào)模型用符號(hào)來代表系統(tǒng)的各種因素和他們之間的相互關(guān)系。圖形模型：用圖、表等形式，形象直觀數(shù)學(xué)模型：用數(shù)學(xué)表達(dá)式，準(zhǔn)確、簡(jiǎn)潔、易于操作確定性模型、隨機(jī)性模型線性模型、非線性模型連續(xù)時(shí)間模型、離散時(shí)間模型預(yù)測(cè)模型規(guī)劃模型評(píng)價(jià)模型靜態(tài)模型、動(dòng)態(tài)模型功能模型根據(jù)目的分類根據(jù)特性分類流模型結(jié)構(gòu)模型離散事件模型信號(hào)模型模型根據(jù)描述分類數(shù)學(xué)模型圖形模型建模的原則和步驟建模是十分復(fù)雜的創(chuàng)造性勞動(dòng)，一個(gè)理想的系統(tǒng)模型既要能反映系統(tǒng)要素的全部重要特性，又要便于操作。要遵循的基本原則：現(xiàn)實(shí)準(zhǔn)確性簡(jiǎn)單實(shí)用性相關(guān)性可辨識(shí)性建模的一般步驟分析建模的目的提出問題收集資料選定變量參數(shù)確定變量關(guān)系確定模型的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ驼_性模型標(biāo)準(zhǔn)化構(gòu)思模型系統(tǒng)是否模型化的基本方法理論分析法深入剖析問題，根據(jù)問題的性質(zhì)直接作出模型。適用于技術(shù)方法上比較成熟，對(duì)機(jī)理了解比較透徹時(shí)實(shí)驗(yàn)法對(duì)“黑箱”或“灰箱”系統(tǒng)，如果允許實(shí)驗(yàn)觀察，輸入-輸出，然后按照一定的辨識(shí)方法，得到系統(tǒng)模型類比方法建造原系統(tǒng)的類似模型數(shù)據(jù)分析法利用“人工實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)”程序設(shè)計(jì)方法系統(tǒng)仿真的概念及作用系統(tǒng)仿真：指的是計(jì)算機(jī)仿真，就是根據(jù)系統(tǒng)分析的目的，在分析系統(tǒng)各要素性質(zhì)及其相互關(guān)系的基礎(chǔ)上，建立能描述實(shí)際系統(tǒng)結(jié)構(gòu)或行為過程的、且具有一定邏輯關(guān)系或數(shù)量關(guān)系的計(jì)算機(jī)仿真模型，來模仿實(shí)際系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)及其隨時(shí)間變化的規(guī)律，以實(shí)現(xiàn)在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的全過程。為什么要進(jìn)行仿真？系統(tǒng)復(fù)雜，無法用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)關(guān)系或數(shù)學(xué)方法求解，利用仿真就可以像觀察、測(cè)試真實(shí)系統(tǒng)那樣，在仿真模型中得到系統(tǒng)性能隨時(shí)間的變化情況，從仿真過程中收集數(shù)據(jù)，得到系統(tǒng)的性能測(cè)度。因此系統(tǒng)仿真技術(shù)是十分重要甚至必不可少的工具。系統(tǒng)仿真的作用仿真的過程也是實(shí)驗(yàn)的過程，還是系統(tǒng)地收集和積累信息的過程。對(duì)于一些難以建立物理模型及數(shù)學(xué)模型的系統(tǒng)，通過仿真可以解決預(yù)測(cè)、分析和評(píng)價(jià)等系統(tǒng)問題。通過系統(tǒng)仿真可以把一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)降階成若干子系統(tǒng)以便于分析。通過系統(tǒng)仿真能啟發(fā)新的思想或產(chǎn)生新的思想和新的策略，還能暴露出原系統(tǒng)中隱藏著的一些問題，以便及時(shí)解決。問題闡述構(gòu)造仿真模型和數(shù)據(jù)采集模型確認(rèn)仿真程序編制和驗(yàn)證試運(yùn)行模型確認(rèn)仿真實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)正式仿真運(yùn)行仿真輸出數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析形成文件提供決策系統(tǒng)仿真的步驟系統(tǒng)仿真方法系統(tǒng)仿真的基本方法是建立系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)模型和量化分析模型，并將其轉(zhuǎn)換為適合在計(jì)算機(jī)上編程的仿真模型，然后進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。針對(duì)連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)，基本方法可以分為連續(xù)系統(tǒng)仿真方法和離散系統(tǒng)仿真方法。5.2

系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的建模系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)發(fā)展簡(jiǎn)史系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)是麻省理工學(xué)院弗雷斯特教授提出來的一門分析研究信息反饋系統(tǒng)的學(xué)科，用計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)的方法，以傳統(tǒng)的管理程序?yàn)楸尘?，引用信息反饋理論和系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)理論，把社會(huì)問題流體化，從而獲得描述社會(huì)系統(tǒng)構(gòu)造的一般方法，并通過計(jì)算機(jī)仿真運(yùn)算，獲得對(duì)真實(shí)系統(tǒng)的跟蹤。系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)產(chǎn)生背景二戰(zhàn)后，社會(huì)問題的特點(diǎn)：各問題之間聯(lián)系密切，而且大都存在矛盾關(guān)系許多問題有較長(zhǎng)的延遲，因此必須從動(dòng)態(tài)角度出發(fā)既有定量問題，也有定性問題，增加了復(fù)雜程度原有的運(yùn)籌學(xué)等分析方法無法解決這些新問題，迫切需要新的方法和理論。另外技術(shù)上由于電子計(jì)算機(jī)技術(shù)的突破時(shí)的產(chǎn)生新方法有了可能。系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)在此背景下應(yīng)運(yùn)而生。自20世紀(jì)50年代中期系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)創(chuàng)立以來，主要成果：《工業(yè)動(dòng)力學(xué)》，1961年《系統(tǒng)原理》，1968年《城市動(dòng)力學(xué)》，1969年《世界動(dòng)力學(xué)》，1971年，世界模型2《增長(zhǎng)的極限》，1972年，世界模型3美國(guó)國(guó)家模型系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)發(fā)展的四個(gè)階段穩(wěn)態(tài)動(dòng)力學(xué)（1956-1961）增長(zhǎng)的動(dòng)力學(xué)和一般系統(tǒng)理論（1962-1966）理論與應(yīng)用的橋梁（1967-1975）漸趨成熟（1976-）系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的研究對(duì)象系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究的是大規(guī)模的復(fù)雜系統(tǒng)，主要是社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)。出系統(tǒng)本身的特性外，還有：系統(tǒng)都是高階數(shù)、多回路、非線性的信息反饋系統(tǒng)系統(tǒng)的行為具有“反直觀性”系統(tǒng)內(nèi)部諸反饋回路中存在一些主要回路系統(tǒng)的非線性經(jīng)多次反饋后，變的遲鈍不適合實(shí)驗(yàn)，多為一次性的。系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的特點(diǎn)作為一種結(jié)構(gòu)模型，它可以充分認(rèn)識(shí)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，并以此把握系統(tǒng)的行為，而不是依賴數(shù)據(jù)來研究系統(tǒng)行為。它是實(shí)際系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)室。模型主要是通過仿真實(shí)驗(yàn)進(jìn)行分析計(jì)算，主要計(jì)算結(jié)果都是未來一定時(shí)期內(nèi)各種變量隨時(shí)間而變化的趨勢(shì)曲線。系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型擅長(zhǎng)處理長(zhǎng)期性問題。系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的建模步驟弄清系統(tǒng)問題明確建模目的確定系統(tǒng)邊界分析因果關(guān)系構(gòu)造模型仿真實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ蜋z驗(yàn)修改模型嗎？政策分析提出建議是否

通常，這些步驟在執(zhí)行過程中需要不斷反饋和提煉，有時(shí)候需要返到上面的步驟。例如，第一步找出的問題，到了后來也許會(huì)發(fā)現(xiàn)只是一個(gè)更為嚴(yán)重問題的征兆而已。因果關(guān)系圖因果關(guān)系：是指一種現(xiàn)象發(fā)生的原因和可能引起的結(jié)果。因果關(guān)系是構(gòu)成系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的基礎(chǔ)，是構(gòu)建正確模型的必由之路。因果關(guān)系可以由因果關(guān)系圖來描述。因果關(guān)系的主要元素因果箭：指連接因果關(guān)系的有向線段，箭尾始于原因、箭頭終于結(jié)果。兩種極性：正因果關(guān)系和負(fù)因果關(guān)系。正因果關(guān)系：原因和結(jié)果變化方向一致時(shí)負(fù)因果關(guān)系：原因和結(jié)果變化方向相反AB+AB-因果鏈因果鏈：因果關(guān)系具有傳遞性，用因果關(guān)系將遞推關(guān)系加以描述就形成因果鏈。因果鏈極性的判別方法：若因果鏈中包含偶數(shù)個(gè)負(fù)的因果鏈，則其極性為正，若因果鏈中包含奇數(shù)個(gè)負(fù)的因果鏈，則極性為負(fù)。也就是說因果鏈的極性符號(hào)與因果箭極性乘積符號(hào)相同。++-AB+AB++AB-AB+-AB-AB++反饋回路：有因果關(guān)系連接而成的回路。反饋回路的極性判別準(zhǔn)則和因果鏈相同。例：分析人口總數(shù)和年出生人數(shù)、年死亡人數(shù)之間的因果關(guān)系人的生育導(dǎo)致繁衍后代，反過來造成了人口的增長(zhǎng)衰老、疾病導(dǎo)致人的死亡，其反過來造成人口數(shù)量的減少反饋回路年出生人數(shù)人口總數(shù)++（+）年死亡人數(shù)人口總數(shù)-+（-）正反饋回路能起自我強(qiáng)化或弱化作用，是系統(tǒng)中租金系統(tǒng)發(fā)展（或衰退）、進(jìn)步（或退步）的因素。負(fù)反饋回路能起內(nèi)部調(diào)節(jié)器或穩(wěn)定器作用，可以控制系統(tǒng)的發(fā)展速度或衰退速度，是使系統(tǒng)具有自我調(diào)節(jié)功能不可缺少的因素。系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為是由系統(tǒng)本身存在著的許多正反饋和負(fù)反饋回路決定的，從而形成多重反饋回路。系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)認(rèn)為：系統(tǒng)性質(zhì)和行為完全取決于系統(tǒng)中存在的反饋回路。因此分析系統(tǒng)反饋回路的性質(zhì)是一項(xiàng)十分重要的工作。系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)理論：信息行動(dòng)決策系統(tǒng)狀態(tài)閥門2閥門1水塔水箱水管流程圖速率（決策函數(shù)）水準(zhǔn)變量實(shí)體流信息流系統(tǒng)狀態(tài)源繪制流程圖是系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模的核心內(nèi)容。要素：源（Source）：指流的來源，相當(dāng)于供應(yīng)點(diǎn)匯（Sink）：指流的歸宿，相當(dāng)于消費(fèi)點(diǎn)流（Flow）：指系統(tǒng)中的揮動(dòng)或行為，實(shí)體流和信息流水準(zhǔn)變量（Level）又稱狀態(tài)變量，是描述系統(tǒng)的累積效應(yīng)的變量，是系統(tǒng)過去十幾流累計(jì)的結(jié)果，它的變化是流入速率與流出速率的凈差額。速率變量（Rate）：也叫決策變量，表示水準(zhǔn)變量變化的快慢。輔助變量：為了輔助說明速率變量而引入的一種變量。LA參數(shù)、初始值：常數(shù)和變量的初值信息的取出：ALL延遲：物質(zhì)運(yùn)動(dòng)和信息的傳遞都需要時(shí)間，因此在實(shí)體流和信息傳遞通道都有延遲。物流延遲：發(fā)生在實(shí)體流通道中的延遲，主要有：一階物流指數(shù)延遲和三階物流指數(shù)延遲信息流延遲：包括信息流的一階平滑（smooth函數(shù)）和三階信息流指數(shù)延遲5.3

系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)仿真計(jì)算DYNAMO方程DYNAMO：取名來自DynamicModels的混合縮寫。顧名思義，DYNAMO命名的含義在于建立真實(shí)系統(tǒng)的模型，借助計(jì)算機(jī)進(jìn)行系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、功能與動(dòng)態(tài)行為的模擬。DYNOMA語言主要采用差分方程式來描述系統(tǒng)的行為，通過求解差分方程式和代數(shù)方程式進(jìn)行仿真。系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的對(duì)象系統(tǒng)是隨時(shí)間變化的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。為了區(qū)別變量在時(shí)間上的先后，DYNAMO方程中的變量需要帶上時(shí)間符號(hào)。KLJKDTDT過去（J）現(xiàn)在（K）將來（L）K表示現(xiàn)在，J表示剛剛過去的那一時(shí)刻，L表示緊隨當(dāng)前的未來的那一時(shí)刻。JK表示過去到現(xiàn)在，KL表示現(xiàn)在到將來，DT表示計(jì)算步長(zhǎng)。DT的取值一般為0.1-0.5倍的模型中最小時(shí)間常數(shù)。如果模型中含有延遲函數(shù)和平滑函數(shù)，DT取值的要求：對(duì)于一階指數(shù)延遲函數(shù)，DT不大于0.5倍的延遲時(shí)間DEL對(duì)于三階指數(shù)延遲函數(shù)，DT不大于1/6倍的延遲時(shí)間DEL系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)中的基本DYNAMO方程水準(zhǔn)方程：計(jì)算水準(zhǔn)變量的方程，LLLEVEL·K=LEVEL·J+DT*(RIN·JK-ROUT·JK)速率方程：計(jì)算速率變量的方程，R

RRATE·KL=f(L·K,A·K,···)輔助方程：建立速率方程前，附加的代數(shù)運(yùn)算，AAAUX·K=g(L·K,A·K,R·JK,···)賦初值方程：NNLEVEL=數(shù)值常量方程：CCCON=數(shù)值幾種典型的反饋回路的仿真計(jì)算一階正反饋回路系統(tǒng)的階數(shù)指的是反饋回路中水準(zhǔn)變量的個(gè)數(shù)已知某儲(chǔ)戶在銀行存了5000元現(xiàn)金，現(xiàn)假設(shè)儲(chǔ)蓄年利率為4%，則高出積極的存款余額L1與年利息R1構(gòu)成一階正反饋回路，試用系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型分析該儲(chǔ)戶的存款額度的增長(zhǎng)情況。儲(chǔ)蓄系統(tǒng)的因果關(guān)系圖和流程圖DYNAMO方程及仿真結(jié)果L的總體方程：Ln=Ln-1*(1+0.04)年L1R1150002002520020835408216.3245624.32224.97355849.29233.97266083.26243.331………一階負(fù)反饋回路已知有庫(kù)存量、訂貨速度和庫(kù)存差額組成的一階負(fù)反饋回路，現(xiàn)假設(shè)初始存庫(kù)量為800噸，期望庫(kù)存量為5000噸，有當(dāng)前庫(kù)存量調(diào)整到期望庫(kù)存量的時(shí)間為4周，試寫出DYNAMO方程并進(jìn)行仿真計(jì)算。DYNAMO方程及仿真結(jié)果：D的總體方程：Dn=Dn-1+(Y-Dn-1)/4時(shí)間/周DXR1080042001050118503150787.522637.52362.5590.633228.11771.944343671.11228.9332.254003.3996.7249.26………二階負(fù)反饋回路DYNAMO方程及仿真結(jié)果：總體方程：Mn=Mn-1+(Y-Qn-1)/Z-Mn-1/W總體方程：Qn=Qn-1+Mn-1/W5.4延遲延遲是系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)中非常重要的一個(gè)概念。延遲廣泛存在與實(shí)體流動(dòng)和信息流動(dòng)渠道中。建模時(shí)，根據(jù)需要選擇是否考慮延遲。可以分為物流延遲和信息流延遲。物流延遲包括一階物流指數(shù)延遲和三階物流指數(shù)延遲。延遲的階數(shù)是指延遲結(jié)