【教案】導數(shù)的概念及其意義（第1課時）教學設計-2022-2023學年高二下學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第二冊

第五章一元函數(shù)的導數(shù)及其應用《5.1.1變化率問題》教學設計第1課時教學目標教學目標通過實例分析，經(jīng)歷由平均速度過渡到瞬時速度的過程，體會求瞬時速度的一般方法.教學重難點教學重難點教學重點：理解平均速度、瞬時速度的概念及算法教學難點：平均速度與瞬時速度課前準備課前準備PPT課件．教學過程教學過程【導入新課】問題1：閱讀課本第58~61頁，回答下列問題：（1）本章將要探究哪類問題？（2）本章要探究的對象在高中的地位是怎樣的？（3）貫穿本章的一條主線是什么？目標是什么？師生活動：學生帶著問題閱讀課本，老師指導學生概括總結章引言的內容．預設的答案：章引言包括三方面的內容：一是簡明地指出了函數(shù)與微積分的關系，微積分的研究對象就是函數(shù)，正是在對函數(shù)的深入研究中，數(shù)學家創(chuàng)立了微積分；二是概述了微積分的創(chuàng)立史，以及它在數(shù)學和科學發(fā)展中的地位；三是概述了本章的內容和重要思想方法．導數(shù)是瞬時變化率的數(shù)學表達．章頭圖展示了生活中最常見的一種變化率——運動速度．速度是學生非常熟悉的物理知識，因此，教科書以高臺跳水運動模型（近似看成豎直上拋運動）作為貫穿全章的主線問題，導數(shù)概念的引入，函數(shù)的單調性、極值與導數(shù)之間的關系等都以此為背景，這有利于學生借助同一個典型的運動模型理解導數(shù)的概念，并利用導數(shù)研究函數(shù)的性質．設計意圖：通過章引言的學習，讓學生明晰下一階段的學習目標，初步構建學習內容的思維框架．發(fā)展學生數(shù)學抽象、數(shù)學運算、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)．回顧：在必修第一冊中，我們研究了函數(shù)的單調性，并利用函數(shù)單調性等知識，定性的研究了一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長速度的差異，知道“對數(shù)增長”是越來越慢的，“指數(shù)爆炸”比“直線上升”快得多．問題2：進一步的能否精確定量的刻畫變化速度的快慢呢？設計意圖：通過對函數(shù)學習的回顧，幫助學生發(fā)現(xiàn)和感受不同函數(shù)變化快慢的問題，同時引入新課．發(fā)展學生數(shù)學抽象、數(shù)學運算、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)．【探究新知】問題情景在一次高臺跳水運動中，某運動員在運動過程中的重心相對于水面的高度h（單位：m）與起跳后的時間t（單位：s）存在函數(shù)關系.思考1：如何描述運動員從起跳到入水的過程中運動的快慢程度呢？師生活動：直覺告訴我們，運動員從起跳到入水的過程中，在上升階段運動的越來越慢，在下降階段運動的越來越快，我們可以把整個運動時間段分成許多小段，用運動員在每段時間內的平均速度v近似的描述它的運動狀態(tài)．例如，在這段時間里，；在這段時間里，.知識點1：平均速度一般地，在這段時間里，.問題3：計算運動員在這段時間里的平均速度，發(fā)現(xiàn)了什么？用平均速度描述運動員的運動狀態(tài)有什么問題嗎？師生活動：學生思考，舉手回答，教師講解．教師總結：我們發(fā)現(xiàn)，運動員在這段時間里的平均速度為0.顯然，在這段時間內，運動員并不處于靜止狀態(tài).因此，用平均速度不能準確反映運動員在這一時間段里的運動狀態(tài).設計意圖：通過物體運動問題，抽象出函數(shù)平均變化率、平均速度的概念．發(fā)展學生數(shù)學抽象、數(shù)學運算和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)．知識點2：瞬時速度為了精確刻畫運動員的運動狀態(tài)，需要引入瞬時速度的概念.我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度.問題4：瞬時速度與平均速度有什么關系？師生活動：學生分小組討論，每組選出一位代表回答，教師總結、講解教師總結：設運動員在時刻附近某一時間段內的平均速度是，可以想象，如果不斷縮短這一時間段的長度，那么將越來越趨近于運動員在時刻的瞬時速度.設計意圖：通過具體問題的思考和分析，歸納總結，抽象出平均速度與瞬時速度的概念．發(fā)展學生數(shù)學抽象、數(shù)學運算和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)．問題5：你能利用平均速度與瞬時速度的關系求運動員在t=1s時的瞬時速度嗎？師生活動：學生分小組討論，每組選出一位代表回答，教師總結、講解教師講解：為了求運動員在時的瞬時速度，我們在之后或之前，任意取一個時刻，是時間改變量，可以是正值，也可以是負值，但不為0.當時，在1之后；當時，在1之前.當時，把運動員在時間段內近似看成做勻速直線運動，計算時間段內的平均速度，用平均速度近似表示運動員在時的瞬時速度.當時，在時間段內可作類似處理.為了提高近似表示的精確度，我們不斷縮短時間間隔，得到如下表格.當時，在時間段內當時，在時間段內…………問題6：給出更多的值，利用計算工具計算對應的平均速度的值.當無限趨近于0時，平均速度有什么變化趨勢？師生活動：學生一起觀察、歸納，教師完善．預設的答案：當無限趨近于0，即無論從小于1的一邊，還是從大于1的一邊無限趨近于1時，平均速度都無限趨近于.教師講解：由可以發(fā)現(xiàn)，當無限趨近于0時，也無限趨近于0，所以無限趨近于，這與前面得到的結論一致.數(shù)學中，我們把叫做“當無限趨近于0時，的極限”，記為.從物理的角度看，當時間間隔無限趨近于0時，平均速度就無限趨近于時的瞬時速度.因此，運動員在時的瞬時速度.設計意圖：通過具體問題的思考和分析，歸納總結，抽象出瞬時速度的求解，在此過程中，使學生理解解決瞬時速度問題的方法，感受其中蘊含的極限思想．【鞏固練習】例1在一次高臺跳水運動中，某運動員在運動過程中的重心相對于水面的高度h（單位：m）與起跳后的時間t（單位：s）存在函數(shù)關系.（1）求運動員在t=2s時的瞬時速度；（2）如何求運動員從起跳到入水過程中在t0某一時刻的瞬時速度？師生活動：學生分小組討論，每組選出一位代表板演，教師完善預設的答案：（1）由，當無限趨近于0時，也無限趨近于0，所以無限趨近于-14.8，所以運動員在t=2s時的瞬時速度為-14.8m/s.（2）由，當無限趨近于0時，也無限趨近于0，所以無限趨近于，所以運動員在t=t0s時的瞬時速度為()m/s.設計意圖：通過典型例題的分析和解決，幫助學生掌握平均速度與瞬時速度的算法，發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．方法總結:求運動物體瞬時速度的三個步驟:設非勻速直線運動中物體的位移隨時間變化的函數(shù)為s＝s(t)，則求物體在t＝t0時刻的瞬時速度的步驟如下：(1)寫出時間改變量Δt，位移改變量Δs,Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0);(2)求平均速度：;(3)求瞬時速度v：當Δt→0時，→v是常數(shù).例2．某物體的運動路程s(單位：m)與時間t(單位：s)的關系可用函數(shù)s(t)＝t2＋t＋1表示，求物體在t＝1s時的瞬時速度．師生活動：學生單獨完成，教師巡視并完善.預設的答案：∵，∴，∴物體在t＝1處的瞬時變化率為3.即物體在t＝1s時的瞬時速度為3m/s.變式1:在本例條件不變的前提下，試求物體的初速度．師生活動：學生討論后完成，教師巡視并完善.預設的答案:求物體的初速度，即求物體在t＝0時的瞬時速度．∵，∴，∴物體在t＝0時的瞬時變化率為1，即物體的初速度為1m/s.變式2:在本例條件不變的前提下，試問物體在哪一時刻的瞬時速度為9m/s.師生活動：學生分組討論，一代表板演，教師完善.預設的答案:設物體在t0時刻的瞬時速度為9m/s.又，∴，則2t0＋1＝9，∴t0＝4.則物體在4s時的瞬時速度為9m/s.設計意圖：通過該典型例題的分析和解決，進一步讓學生掌握平均速度與瞬時速度的算法，發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．方法總結:當已知運動物體在t0時刻的瞬時速度求t0時，先利用求瞬時速度的方法和步驟求出瞬時速度，列出方程求t0．練習：教科書P61頁練習1、2、3設計意圖：通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題，發(fā)展學生的數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)．【課堂總結】1．板書設計：5.1.1變化率問題二、新知探究三、鞏固練習1．平均速度的概念例1知識點1：例22．瞬時速度的概念知識2：2．總結概括：平均速度、瞬時速度的概念及求法.3．課堂作業(yè)：教科書P70習題5.11、3【目標檢測設計】1．物體自由落體的運動方程為，g＝9.8m/s2，若m/s，那么下列說法中正確的是()A．9.8m/s是物體從0s到1s這段時間內的速度B．9.8m/s是1s到(1＋Δt)s這段時間內的速度C．9.8m/s是物體在t＝1s這一時刻的速度D．9.8m/s是物體從1s到(1＋Δt)s這段時間內的平均速度設計意圖：讓學生進一步理解平均速度與瞬時速度的概念.2.若質點按照規(guī)律運動，則在時的瞬時速度為()A.6 B.18 C.5