工程流體力學

第二章流體靜力學工程流體力學電子教案第二章流體靜力學第2章 流體靜力學一、本章學習要點:

靜止流體的應力特征。

流體平衡的微分方程。

流體靜力學基本方程。

靜止液體總壓力力計算。

液體的相對平衡。

流體靜力學基本概念：等壓面、絕對壓強、相對壓強、真空壓強、測壓管水頭等。第二章流體靜力學二、本章重點掌握:

靜止液體總壓力Fp計算。

流體靜壓強的計算。第二章流體靜力學§2.1流體靜壓強及其特性二、流體靜壓強基本特性證明：靜止流體，速度處處為零，沒有速度梯度，也就沒有切應力，即τ=0，故p垂直受壓面；此外流體不能承受拉應力，故p指向受壓面。一、流體靜壓強定義1、方向性:流體靜壓強總是沿著作用面的內法線方向，即垂直指向作用面。第二章流體靜力學證明：在靜止流體中取如圖所示微小直角四面體Oabc，分析作用在四面體上的力：xydxdydzzacob2、靜壓強的大小性：靜止流體內任一點的靜壓強大小與作用面的方位無關，即同一點上各個方向的流體靜壓強大小相等。第二章流體靜力學表面力：

質量力：

xydxdydzzacob第二章流體靜力學因四面體在表面力和質量力作用下處于平衡，故由∑Fx＝0:化簡得：xydxdydzzacobn:傾斜面abc的外法線dA:傾斜面abc的面積第二章流體靜力學同理，由∑Fy＝0：由∑Fz＝0：當dx，dy，dz→0，即四面體Oabc收縮至O點時，有證畢！一般情況：p=p(x,y,z)，即流體靜壓強是空間坐標的連續(xù)函數(shù)。xydxdydzzacob第二章流體靜力學§2.2流體平衡微分方程一、流體平衡微分方程

yxzoo'dxdydzMN在靜止流體中取如圖所示微小六面體。設其中心點O’(x,y,z)的密度為ρ，壓強為p。第二章流體靜力學yxzoo'dxdydzMN以x方向為例，利用泰勒級數(shù)展式：第二章流體靜力學表面力：

質量力：

yxzoo'dxdydzMN第二章流體靜力學化簡上式得：同理，考慮y，z方向，可得：上式即為流體平衡微分方程，系1775年由瑞士學者歐拉（L.Euler）首先提出的，故亦稱歐拉平衡微分方程。yxzoo'dxdydzMN第二章流體靜力學

第二章流體靜力學適用范圍：所有靜止流體或相對靜止的流體。第二章流體靜力學二、歐拉平衡微分方程的綜合式（全微分形式）

將歐拉平衡微分方程各分式分別乘以dx、dy、dz，然后相加，得由，有故歐拉平衡微分方程可以寫成全微分形式通常作用在流體上的單位質量力是已知的，利用上式便可求得流體靜壓強的分布規(guī)律。第二章流體靜力學三、等壓面

1.定義

平衡流體中壓強相等(p=c或dp=0)的點所組成的平面或曲面,稱為等壓面。2.微分方程

由定義得：或式中：第二章流體靜力學3.性質

等壓面恒與質量力正交。證明：由等壓面微分方程知,證畢!第二章流體靜力學本節(jié)研究作用在液體上的質量力只有重力的情況?！?.3重力場中液體靜壓強的分布一、重力作用下液體平衡方程

將fx=0,fy=0,fz=-g代入得：積分上式：第二章流體靜力學o(x)zyp0hzz0考慮定解條件：當z=z0時，p=p0故得液體靜力學基本方程：或令z0-z=h(淹沒深度)第二章流體靜力學只受重力作用的連通的同一種靜止液體內，等壓面為水平面；反之，水平面為等壓面。連通容器連通容器連通器被隔斷前進第二章流體靜力學二、壓強的度量

壓強的大小根據(jù)計算基準的不同有兩種表示方法。1.絕對壓強和相對壓強

絕對壓強（pabs）：以無大氣分子存在的絕對真空(p=0）為基準計量的壓強。pabs≥0相對壓強（pr）：以當?shù)卮髿鈮簭妏a為基準計量的壓強。pr=pabs-pa>0(正壓)=0<0(負壓或真空)第二章流體靜力學說明：對建筑物起作用的是相對壓強。工業(yè)用的各種壓力表測得的壓強為相對壓強。在工程技術中，通常取當?shù)卮髿鈮簭姷诙铝黧w靜力學2.真空壓強

如果流體內某點的絕對壓強小于當?shù)卮髿鈮簭?，即其相對壓強為負值，則稱該點存在真空。當流體存在真空時，工程習慣上用真空壓強表示。真空壓強（pv）：絕對壓強的小于當?shù)卮髿鈮簭姷牟钪?，亦即相對壓強的的負值。pv>0第二章流體靜力學第二章流體靜力學[例1]

如圖所示封閉水箱,已知h1=1.5m,h2=0.5m。金屬測壓計讀數(shù)為4900Pa。試求液面的絕對壓強和相對壓強。[解]

在A點兩側應用液體靜力學基本方程得：相對壓強：p0A1h2h第二章流體靜力學絕對壓強：注意：測壓計讀數(shù)為相對壓強。p0A1h2h相對壓強為負值，說明流體存在真空，其真空壓強：第二章流體靜力學[例2]

圖為量測容器中A點壓強的真空計。已知h1=1m,h2=2m。試求A點的真空壓強pv。[解]

在空氣管管段兩側應用液體靜力學基本方程得：故A點的真空壓強為:說明：高差較小的空氣壓強變化一般可忽略不計。水A水空氣h2h1第二章流體靜力學三、水頭和單位勢能xzyp0AZAZ——位置水頭，——壓強水頭，——測壓管水頭，靜止液體內各點的測壓管水頭等于常數(shù)。單位位能單位壓能單位勢能靜止液體內各點的單位勢能相等。第二章流體靜力學四、流體測壓計原理測量流體壓強的儀器類型較多。1、主要差別量程大?。粶y量精度。2、常見儀器液體式測壓計第二章流體靜力學h10ph1p2AphρρAρhphρpM0ZAA△z0NphphzBBγρρ第二章流體靜力學液體式壓差計POP1P2氣體''(a)(b)第二章流體靜力學壓力傳感器PPa第二章流體靜力學3壓強的測量——利用靜水力學原理設計的液體測壓計.測壓管AhpaBAhLαU形水銀測壓計Aρρmhb返回被測點相對壓強較小，為提高量測精度被測點相對壓強較大，第二章流體靜力學4、U形管差壓計（比壓計）在測量流體內兩點的壓強差或測壓管水頭差時，常采用U形管差壓計。作等壓面M-N，則第二章流體靜力學由得A、B兩點的壓強差:若將代入上式,化簡整理得A、B兩點的測壓管水頭差:第二章流體靜力學五、液體靜壓強分布圖

壓強分布圖能形象地表示物面上的壓強分布情況。1.繪制液體靜壓強分布圖的知識點

液體靜力學基本方程靜止液體的應力特征①方向性：p⊥→受壓面；②大小性：靜止液體內任一點p大小與作用面方位無關。第二章流體靜力學2.液體靜壓強分布圖繪制方法

將物面各點的壓強用箭頭表示，箭頭與物面垂直，其長度與壓強大小成比例；箭頭方向代表壓強作用方向，且將箭頭落在物面上；受壓面為平面時，箭頭尾端連線為直線；

受壓面為曲面時，箭頭尾端連線為曲線。h1hρgρgh2hh+hρg()1h21hρgh第二章流體靜力學§2.4作用在平面上的液體總壓力一、解析法如圖所示，靜止液體中有一面積為A的平面ab，試求作用在該平面上的總壓力。1.總壓力大小作用在微分面積dA上的壓力：yoxACDdAabCyyDpFdFpy

hChDh第二章流體靜力學作用在平面ab上的總壓力：式中為受壓面面積A對OX軸的靜矩，由工程力學知：故即靜止液體作用在平面上的總壓力等于受壓面面積與其形心處的相對壓強的乘積。第二章流體靜力學

下列各盛水容器裝有同一種液體，底面積和其形心處水深均相同，雖然各容器形狀各異，盛水量也不相等，但作用在容器底面上的總壓力卻是相等的。這一現(xiàn)象稱為靜水奇象。液體作用在底面為A、液深為h的水平面的總壓力：

F=ρghA＝γhA

第二章流體靜力學思考題：如圖所示矩形平板閘門，只在上游受靜水壓力作用，如果該閘門繞中心軸旋轉某一角度α，則作用在閘門上的靜水總壓力與旋轉前有無變化？為什么？α第二章流體靜力學2.總壓力作用方向總壓力Fp的作用方向與dFp方向相同，即3.總壓力作用點總壓力Fp的作用點D可用理論力學中的合力矩定理合力對某軸的矩等于各分力對同一軸的矩的代數(shù)和對ox軸：求得:第二章流體靜力學式中為受壓面A對ox軸的慣性矩。故由此可知，壓力中心D必位于受壓面形心c之下。常見圖形的幾何特征量第二章流體靜力學第二章流體靜力學說明：工程中常見的受壓平面多具有軸對稱性（對稱軸與oy軸平行），F(xiàn)p的作用點必位于對稱軸上。因此，yD求出后，壓力中心D的位置便可完全確定。應用上式求壓力中心，yD的起算中心必須在自由液面（p=pa）上。第二章流體靜力學二、圖算法求靜止液體作用在矩形平面上的總壓力及其作用點問題，通常采用圖算法較為簡便。如圖所示矩形平面，其相對壓強分布圖為三角形，則總壓力為：第二章流體靜力學式中為相對壓強分布圖面積。由此可見：其作用點為通過體積重心所引出的水平線與受壓面的交點D。對于相對壓強分布圖為三角形時，D點位于自由液面下(2h)/3處。第二章流體靜力學靜水總壓力的大小:其中b為矩形受壓面的寬度；Ω為靜水壓強分布圖形的面積；靜水總壓力的方向：垂直并指向受壓面靜水總壓力的作用點（壓力中心或壓心）：通過壓強分布體的重心（或在矩形平面的縱對稱軸上，且應通過壓強分布圖的形心點）返回第二章流體靜力學對于相對壓強分布圖為梯形情況（如圖示），可將其分解成三角形和矩形兩部分。其中矩形部分的壓力第二章流體靜力學因該部分為均勻分布，其作用點在受壓面形心處。作用在整個受壓面上的總壓力為作用點則可運用合力矩定理求得。第二章流體靜力學[例1]

如圖所示擋水路堤，已知堤長b＝20m，α＝60°，水深h＝3m，試求作用在路堤迎水面上的靜水總壓力Fp及壓力中心yD。[解]

方法一：解析法hαl第二章流體靜力學hαl第二章流體靜力學方法二：圖解法第二章流體靜力學由此可見，對于受壓面為矩形平面問題，用圖算法計算比較簡單，尤其是計算壓力中心位置。第二章流體靜力學如圖所示，某擋水矩形閘門，門寬b=2m，一側水深h1=4m，另一側水深h2=2m，試用圖解法求該閘門上所受到的靜水總壓力。h1h2解法一：首先分別求出兩側的水壓力，然后求合力。h1/3h2/3方向向右→e依合力矩定理：可解得：e=1.56m答:該閘門上所受的靜水總壓力大小為117.6kN，方向向右，作用點距門底1.56m處。前進合力對任一軸的力矩等于各分力對該軸力矩的代數(shù)和。第二章流體靜力學h1h2解法二：首先將兩側的壓強分布圖疊加，直接求總壓力方向向右依合力矩定理：e可解得：e=1.56m返回答：略第二章流體靜力學返回

一垂直放置的圓形平板閘門如圖所示，已知閘門半徑R=1m，形心在水下的淹沒深度hc=8m，試用解析法計算作用于閘門上的靜水總壓力。hchDFP解：LO答：該閘門上所受靜水總壓力的大小為246kN，方向向右，在水面下8.03m處。第二章流體靜力學§2.5作用在曲面上的液體總壓力一、實際工程背景實際工程中經(jīng)常遇到受壓面為曲面的情況，如弧形閘門拱堤堤面貯水池壁面水管管壁U形渡槽等本節(jié)僅對工程中應用最多的二向曲面（即具有平行母線的柱面）進行討論。第二章流體靜力學二、總壓力大小作用在微分面積dA上的壓力為因作用在曲面上的總壓力為空間力系問題，為便于分析，擬采用理論力學中的分解概念將其分解為水平分力和鉛垂分力求解。第二章流體靜力學1.水平分力積分得：第二章流體靜力學故總壓力的水平分力為式中

流體作用在曲面上總壓力的水平分力等于流體作用在該曲面的鉛垂投影面上的總壓力。第二章流體靜力學2.鉛垂分力積分得：第二章流體靜力學3.合力作用在曲面ab上的總壓力的垂直分力Fpz

等于其壓力體內充滿液體的重量。三、總壓力的作用方向pxFFFpzαp第二章流體靜力學確定方法：一般通過作圖法確定。水平分力Fpx的作用線通過Ax的壓力中心；將Fp的作用線延長至受壓面，其交點D即為總壓力在曲面上的作用點?？倝毫p的作用線由Fpx、Fpz的交點和確定；鉛垂分力Fpz的作用線通過Vp的重心；四、總壓力作用點第二章流體靜力學五、壓力體概念1.壓力體僅表示的積分結果(體積)，與該體積內是否有液體存在無關。第二章流體靜力學2.壓力體一般是由三種面所圍成的體積，即受壓曲面（壓力體的底面）自由液面或自由液面的延長面（壓力體的頂面）由受壓曲面邊界向自由液面或自由液面的延長面所作的鉛垂柱面（壓力體的側面）第二章流體靜力學3.壓力體的虛實性實壓力體：壓力體和液體在受壓曲面的同側，F(xiàn)pz↓。虛壓力體：壓力體和液體在受壓曲面的異側，F(xiàn)pz↑。實壓力體虛壓力體第二章流體靜力學[例1]一弧形閘門如圖所示，閘門寬度b=4m，圓心角φ=45°，半徑R=2m，閘門旋轉軸恰與水面齊平。求水對閘門的靜水總壓力。解：閘門前水深為ABφhOR水平分力：鉛直分力：靜水總壓力的大小：靜水總壓力與水平方向的夾角：α靜水總壓力的作用點：ZDD答：略。第二章流體靜力學[例2]

試繪制圖中abc曲面上的壓力體。[解]

因abc曲面左右兩側均有水的作用，故應分別考慮。dd/2cba水水第二章流體靜力學考慮左側水的作用ab段曲面(實壓力體)bc段曲面(虛壓力體)陰影部分相互抵消abc曲面(虛壓力體)第二章流體靜力學考慮右側水的作用bc段曲面(實壓力體)cba第二章流體靜力學合成左側水的作用右側水的作用abc曲面(虛壓力體)第二章流體靜力學[例3]

圖示球形壓力容器系由兩個半球鉚接而成。已知鉚釘為N個，容器內盛密度為ρ的液體，試求每個鉚釘所受的拉力FT。[解]

取上半球面為隔離體，進行受力分析RρH第二章流體靜力學據(jù)得式中Fpz為靜止液體作用在上半球面的鉛垂分力，可用壓力體概念求解。上半球面的壓力體如圖所示，故RρH第二章流體靜力學[例4]如圖所示，由上下兩個半球合成的圓球，直徑d=2m，球中充滿水。當測壓管讀數(shù)H=3m時，不計球的自重，求下列兩種情況下螺栓群A-A所受的拉力。（1）上半球固定在支座上；（2）下半球固定在支座上。第二章流體靜力學解：（1）上半球固定在支座上時（2）下半球固定在支座上時第二章流體靜力學[例4]

（1）求作用在浮體（如船）上的靜水總壓力。[解]

浮體前后受力相互抵消，左右受力也相互抵消，即吃水線鉛垂方向受壓可用壓力體概念求解，即——阿基米德浮力第二章流體靜力學（2）求作用在潛體上的靜水總壓力。[解]

與浮體一樣，潛體前后受力相互抵消，左右受力也相互抵消，即鉛垂方向受力：abcdabcadcdabc——阿基米德浮力第二章流體靜力學六.靜止液體作用在物體上的總壓力——浮力阿基米德定律

靜止液體作用在物體上總壓力—浮力的大小等于物體所排開液體的重量，方向鉛垂向上，作用線通過物體被液體浸沒部分體積的形心—浮心。第二章流體靜力學水水2m4m[解]分左右兩部分計算左部：水平分力垂直分力[例5]有一圓形滾門，長1m（垂直圓面方向），直徑為4m，兩側有水，上游水深4m，下游水深2m，求作用在門上的總壓力的大小及作用線的位置。第二章流體靜力學合力作用線通過中心與鉛垂線成角度θ1

。右部：水平分力垂直分力合力流體靜力學第二章流體靜力學作用線通過中心與垂線成角度?？偹椒至Γ嚎偞怪狈至Γ汉狭Φ诙铝黧w靜力學畫出下列容器左側壁面上的壓強分布圖返回第二章流體靜力學返回畫出下列容器壁面上的壓力體第二章流體靜力學與深度無關——浮力第二章流體靜力學p壓力體水平壓力第二章流體靜力學第二章流體靜力學第二章流體靜力學歐拉平衡微分方程的全微分形式

通常作用在流體上的單位質量力是已知的，利用上式便可求得流體靜壓強的分布規(guī)律。第二章流體靜力學§2.6液體的相對平衡研究特點：建立運動坐標系一、液體隨容器作等加速直線運動建立如圖所示的坐標系。1.壓強分布規(guī)律

液體所受單位質量力：第二章流體靜力學代入歐拉平衡微分方程綜合式：定解條件：當x=z=0時，p=pa，則c=pa?！鄩簭姺植家?guī)律積分：相對壓強：第二章流體靜力學2.等壓面方程

據(jù)和等壓面定義得自由液面（p=pa）方程：第二章流體靜力學例一灑水車以等加速a=0.98m/s2在平地行駛，靜止時，B點處水深1m，距o點水平距1.5m，求運動時B點的靜水壓強解：a=0.98m/s2，x=－1.5m，z=－1m，代入注意坐標的正負號aoBzx第二章流體靜力學例一盛有液體的容器，沿與水平面成α角的斜坡以等加速度a向下運動，容器內的液體在圖示的新的狀態(tài)下達到平衡，液體質點間不存在相對運動，求液體的壓強分布規(guī)律注意：坐標的方向及原點的位置解：第二章流體靜力學二、液體隨容器作等角速旋轉運動建立如圖所示運動坐標系1.壓強分布規(guī)律

液體所受單位質量力：代入得AxyrAzoxxyyop0gω第二章流體靜力學積分：定解條件：當z=0，r=0時，p=pa，則c=pa。

注意：坐標原點在旋轉后自由液面的最低點第二章流體靜力學2.等壓面方程

自由液面（p＝pa）方程第二章流體靜力學４.應用舉例

在機械鑄造中的應用在市政工程、環(huán)境工程中的應用第二章流體靜力學[例1]

為了提高鑄件——車輪的質量，常采用離心鑄造機進行鑄造（如圖示）。已知鐵水密度ρ=7138kg/m3，車輪尺寸：直徑d=800mm，厚h=250mm。試求鑄造機以轉速n=40