2021版高考文科數(shù)學(北師大版)一輪復習高效演練分層突破第四章第7講解三角形應用舉例Word版解析版

[基礎題組練]1．在相距2km的A，B兩點處丈量目標點C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，則A，C兩點之間的距離為()A.6kmB.2kmC.3kmD．2km分析：選A.如圖，在△ABC中，由已知可得∠ACB＝45°，因此AC＝2，sin60°sin45°因此

AC＝22×

23＝

6(km)．2．如圖，丈量河對岸的塔高AB時可以選與塔底

B在同一水平面內的兩個測點

C與

D，測得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在點C測得塔頂A的仰角為60°，則塔高AB等于( )A．56B．153C．52D．156分析：選D.在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得BC＝30，sin30°sin135°因此BC＝152.在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝152×3＝156.3．如圖，為了丈量A，C兩點間的距離，采用同一平面上B，D兩點，測出四邊形ABCD各邊的長度(單位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且∠B與∠D互補，則AC的長為( )A．7kmB．8kmC．9kmD．6km分析：選A.在△ABC及△ACD中，由余弦定理得82＋52－2×8×5×cos(π－∠D)＝AC232＋52－2×3×5×cos∠D，解得cos∠D＝－12，因此AC＝49＝7.4．一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，分鐘后到達B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點間的距離是( )

30BA．102海里

B．103海里C．203海里分析：選A.以下列圖，易知，在△ABC

D．202海里中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，依據(jù)正弦定理得BC＝AB，sin30°sin45°解得BC＝102(海里)．5．如圖，從氣球A上測得正前面的河流的兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時氣球的高是60m，則河流的寬度BC等于( )A．240(3－1)mB．180(2－1)mC．120(3－1)mD．30(3＋1)m分析：選C.由于tan15°＝tan(60°－45°)＝tan60°－tan45°＝2－3，因此BC＝1＋tan60°tan45°60tan60°－60tan15°＝120(3－1)(m)．6．海上有A，B兩個小島相距10nmile，從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成75°的視角，那么B島和C島間的距離是nmile.分析：如圖，在△ABC中，AB＝10，A＝60°，B＝75°，C＝45°，由正弦定理，得AB＝BC，sinCsinAAB·sinA10×sin60°因此BC＝sinC＝sin45°＝56(nmile)．答案：567.如圖，在塔底

D的正西方

A處測得塔頂?shù)难鼋菫?/p>

45°，在塔底

D的南偏東

60°的

B處測得塔頂?shù)难鼋菫?/p>

30°，A，B間的距離是

84m，則塔高

CD＝

m.分析：設塔高CD＝xm，則AD＝xm，DB＝3xm.又由題意得∠ADB＝90°＋60°＝150°，在△ABD中，利用余弦定理，得842＝x2＋(3x)2－23·x2cos150°，解得x＝127(負值舍去)，故塔高為127m.答案：1278．一船自西向東勻速航行，上午10時到達燈塔P的南偏西75°，距燈塔68海里的M處，下午2時到達這座燈塔的東南方向的N處，則此船航行的速度為海里/小時．分析：如圖，由題意知∠MPN＝75°＋45°＝120°，∠PNM＝45°.在△PMN中，MN＝PM，sin120°sin45°32因此MN＝68×＝346(海里)．2又由M到N所用的時間為14－10＝4(小時)，346176因此此船的航行速度v＝4＝2(海里/小時)．176答案：9．漁政船在東海某海域巡航，已知該船正以153海里/時的速度向正北方向航行，該船在A點處時發(fā)此刻北偏東30°方向的海面上有一個小島，連續(xù)航行20分鐘到達B點，此時發(fā)現(xiàn)該小島在北偏東60°方向上，若該船向正北方向連續(xù)航行，船與小島的最小距離為多少海里？解：依據(jù)題意畫出相應的圖形，以下列圖，過C作CD⊥AD于點D，由題意得：AB＝2060×153＝53(海里)，由于∠A＝30°，∠CBD＝60°，因此∠BCA＝30°，因此△ABC為等腰三角形，因此BC＝53.在△BCD中，由于∠CBD＝60°，CD⊥AD，BC＝53，因此CD＝152，則該船向北連續(xù)航行，船與小島的最小距離為7.5海里．10．如圖，為丈量山高MN，選擇A和另一座山的山頂C為丈量觀察點．從A點測得點的仰角∠MAN＝60°，C點的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，從C點測得∠MCA60°.已知山高BC＝100m，求山高MN.解：依據(jù)題意，AC＝1002m.在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.ACAM?AM＝1003m.由正弦定理得sin45°＝sin60°在△AMN中，MN＝sin60°，AM因此MN＝1003×3＝150(m)．2[綜合題組練]1．以下列圖，一座建筑物AB的高為(30－103)m，在該建筑物的正東方向有一座通訊塔CD.在它們之間的地面上的點M(B，M，D三點共線)處測得樓頂A，塔頂C的仰角分別是15°和60°，在樓頂A處測得塔頂C的仰角為30°，則通訊塔CD的高為( )A．30mB．60mC．303mD．403m分析：選B.在Rt△ABM中，AM＝AB＝30－103＝30－103＝206(m)．過點sin∠AMBsin15°6－24作AN⊥CD于點N，以下列圖．易知∠MAN＝∠AMB＝15°，因此∠MAC＝30°＋15°＝45°.又∠AMC＝180°－15°－60°＝105°，因此∠ACM＝30°.在△AMC中，由正弦定理得

MCsin45°

＝206，解得sin30°

MC＝403(m)．在

Rt△CMD

中，CD＝403×sin60°＝60(m)，故通訊塔

CD的高為

60m.2.如圖，某住所小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個進出口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小道CD.已知某人從O沿OD走到D用了2分鐘，從D沿DC走到

C用了

3分鐘．若這人步行的速度為每分鐘

50米，則該扇形的半徑為

米．分析：連接

OC，由題意知

CD＝150米，OD＝100

米，∠

CDO＝60°.在△COD中，由余弦定理得

OC2＝CD2＋OD2－2CD

·OD

·cos60°，即

OC＝507.答案：507π7，AB⊥BC.3.如圖，在四邊形，AD∶AB＝2∶3，BD＝ABCD中，∠DAB＝3(1)求sin∠ABD的值；2π(2)若∠BCD＝3，求CD的長．解：(1)由于AD∶AB＝2∶3，因此可設AD＝2k，AB＝3k(k＞0)．π又BD＝7，∠DAB＝，因此由余弦定理，3π得(7)2＝(3k)2＋(2k)2－2×3k×2kcos，3解得k＝1，因此AD＝2，AB＝3，ADsin∠DAB＝3＝212×2sin∠ABD＝BD77.21，(2)由于AB⊥BC，因此cos∠DBC＝sin∠ABD＝7因此sin∠DBC＝27BDCD7，因此sin∠BCD＝sin∠DBC，因此CD＝7×2773＝433.24．(應用型)某港灣的平面表示圖以下列圖，O，A，B分別是海岸線l1，l2上的三個集鎮(zhèn)，A位于O的正南方向6km處，B位于O的北偏東60°方向10km處．(1)求集鎮(zhèn)A，B間的距離；(2)跟著經濟的發(fā)展，為緩解集鎮(zhèn)O的交通壓力，擬在海岸線l1，l2上分別修筑碼頭M，N，開拓水上航線．勘察時發(fā)現(xiàn)：以O為圓心，3km為半徑的扇形地域為淺水區(qū)，不適合船只航行．請確立碼頭M，N的地點，使得M，N之間的直線航線最短．解：(1)在△ABO中，OA＝6，OB＝10，∠AOB＝120°，依據(jù)余弦定理得AB2＝OA2＋OB2－2·OA·OB·cos120°62＋102－2×6×10×－12＝196，因此AB＝14.故集鎮(zhèn)A，B間的距離為14km.(2)依題意得，直線MN必與圓O相切．設切點為C，連接OC(圖略)，則OC⊥MN.設OM＝x，ON＝y(tǒng)，MN＝c