大學計算機組成原理-第3章、運算方法與運算器

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第三章、運算方法與運算器

Outline 定點補碼加/減法運算定點乘法運算浮點運算運算器組織運算器部件舉例2

3.1定點補碼加/減法運算定點補碼的加減法運算

[X]補+[Y]補=[X+Y]補

[X]補

-[Y]補=[X]補+[-Y]補=[X-Y]補

-[Y]補=[-Y]補（規(guī)則來源于補碼的特點，也即模運算的特點。存在模運算與溢出的關系問題）30.111+1.100=10.011（0.875-0.5=0.375）（多出一位丟掉）√

0.111+0.010=1.001（0.875+0.25=1.125）（機器得到-0.875）

1.001+1.100=10.101（-0.875-0.5=-1.325）（機器得到+0.625）結論：運算的實際結果沒有超出字長可以表示的數(shù)值范圍，取模的結果是正確。超出范圍則溢出，出現(xiàn)錯誤。判斷方法：正+正得負或負+負得正注意：模運算與溢出的關系

(例如,4位2進制運算器)：

4補碼加法的幾種情況及其溢出檢測0.10101+0.010000.11101

0.10101+0.11000.01101

11.10101+1.110001.01101

11.00101+1.11000.11101

01正正得負，正溢出負負得正，負溢出正常結果符號位進位舍去，正常結果計算機如何識別運算結果是否溢出Cf=0，C1=0Cf=1，C1=1Cf=0，C1=1Cf=1，C1=0符號位進位Cf（C0）

，最高位進位C15CfC1V000110101011單符號數(shù)溢出檢測溢出信號V對應的真值表V=Cf⊕C16雙符號數(shù)溢出檢測00.10101+00.0100000.11101

00.10101+00.11000.01101

0111.10101+11.1100011.01101

111.00101+11.11000.11101

101非正常符號位，溢出符號位進位舍去，正常結果正常結果非正常符號位，溢出f1f2Sf1Sf2

V

＝

Sf1

⊕Sf27加法運算的邏輯實現(xiàn)

[X]補＝X0X1………Xn

[Y]補＝Y0Y1…….…Yn+?0?1…….…?n多位加法運算依賴于各位逐位相加的運算，所以我們先討論一位全加器8一位全加器輸入:

加數(shù)Ai

、Bi

、低位進位輸入Ci+1輸出:

和數(shù)Si

，進位輸出CiAiBiCi+1SiCi00000001100101001101100101010111001111119一位加法器邏輯表達式注意：邏輯表達式可以變形，故電路形式不是唯一的。i+1iiiiiCBABAC)(?+=i+1iiiCBAS??=10典型門電路&AB≥1AB＝1AB1A&AB≥1AB＝1AB與非或非非與或異或異或非11一位全加器邏輯電路實現(xiàn)FASiAi

BiCi+1Ci一位全加器一位全加器時間延遲i+1iiiiiCBABAC)(?+=Ci+1

AiBiSiCiFA12CCn+1CnC2C1C0x0y0x1y1xn-1yn-1xnyns0s1sn-1sn…Cn-1Σ0Σ0Σ1Σn-1ΣnV雙符號補碼加/減器電路實現(xiàn)MM由匯編語言中的加法指令add,以及sub等產生1、N個合起來；2、M控制加減；3、串行行波加法器13快速加法器能否提前產生各位的進位輸入使得各位的加法運算能并行起來提高多位加法器運算速度14并行加法器進位鏈Si=Xi⊕Yi⊕Ci+1Ci=Ci+1(Xi⊕Yi)+XiYiGi=

XiYiPi=Xi⊕YiGi進位產生函數(shù)/本地進位Pi進位傳遞i函數(shù),進位傳遞條件Ci=

Gi+PiCi+115并行加法器進位鏈Cn=

XnYn+(Xn⊕Yn)Cn+1=Gn+PnCn+1Cn-1=

Xn-1Yn-1+(Xn-1⊕Yn-1)Cn=Gn-1+Pn-1CnCn-2=

Xn-2Yn-2+(Xn-2⊕Yn-2)Cn-1=Gn-2+Pn-2Cn-1C2=

X2Y2+(X2⊕Y2)C3=G2+P2C3……C1=

X1Y1+(X1⊕Y1)C2=G1+P1C2高位的運算依賴于低位運算進位的產生，計算不能并行能否提前得到當前位的進位輸入，這樣就可以完全并行，大大提高運算速度16并行加法器進位鏈Cn=

XnYn+(Xn⊕Yn)Cn+1=Gn+PnCn+1Cn-1=

Gn-1+Pn-1Cn=

Gn-1+Pn-1(Gn+PnCn+1)

=

Gn-1+Pn-1

Gn+Pn-1PnCn+1Cn-2=Gn-2+Pn-2Cn-1=Gn-2+Pn-2(Gn-1+Pn-1

Gn+Pn-1PnCn+1)=

Gn-2+Pn-2Gn-1+Pn-2Pn-1

Gn+Pn-2Pn-1PnCn+1……C2=

G2+P2G3+P2P3G4

…+P2P3…PnCn+1C1=

G1+P1G2+P1P2G3

+P1P2P3G4…+P1P2…PnCn+117X4Y4G4P4X3Y3G3P3X2Y2G2P2X1Y1G1P1C1C2C3C4C518先行進位電路CLA74182

先行進位的多功能算術/邏輯運算單元ALU74181G1P1G2P2G3P3G4P4與門異或門電路CLA74182G1P1G2P2G3P3G4P4C1

C2C3C4⊕

⊕

X1Y1X2Y2X3Y3X4Y4C5

S1S2S3S4⊕

⊕

Si=Xi⊕Yi⊕Ci+119C516位組內先行進位，組間串行進位

ALU74181

X1Y1X2Y2X3Y3X4Y4C5P1*

G1*C1S1S2S3S4

ALU74181

X1Y1~X4Y4P1*

G1*C1S1~S4

ALU74181

X5Y5~X8Y8C9P2*

G2*S5~S8

ALU74181

X9Y9~X12Y12C13P3*

G3*S9~S12

ALU74181

X13Y13~X16Y16C17P4*

G4*S13~S16C1=

G1+P1G2+P1P2G3

+P1P2P3G4…+P1P2…PnCn+1成組進位發(fā)生輸出G1*,成組進位傳送輸出P1*2016位組內先行進位，組間先行進位P*

G*

P1G1C2P2G2C3P3G3C4P4G4CLA（74182）C5C1C5

ALU74181

X1Y1~X4Y4P1*

G1*S1~S4

ALU74181

X5Y5~X8Y8C9P2*

G2*S5~S8

ALU74181

X9Y9~X12Y12P3*

G3*S9~S12

ALU74181

X13Y13~X16Y16C17P4*

G4*S13~S16C1332/64位?21Outline 定點補碼加/減法運算定點乘法運算浮點運算運算器組織運算器部件舉例223.2

定點乘法運算原碼乘法運算方法原碼乘法運算實現(xiàn)補碼乘法運算方法補碼乘法運算實現(xiàn)23a3b1a2b1a1b1a0b1a4b1a3b2a2b2a1b2a0b2a4b2a3b3a2b3a1b3a0b3a4b3a3b4a2b4a1b4a0b4a4b4a4b0a3b0a2b0a1b0a0b0p9p8p7p6p5p4p3p2p1p0

p9p8p7p6p5p4p3p2p1p0a4a3a2a1a0

xb4b3b2b1b0＋

多位乘法必須先計算一位乘法，然后累加求和24乘法運算實現(xiàn)方法執(zhí)行乘法運算子程序實現(xiàn)乘法運算設置專用乘法器實現(xiàn)乘法運算借助加法器配置相應部件實現(xiàn)乘法運算25乘法器一位乘法電路實現(xiàn)S=X*Y一個與門就可以實現(xiàn)一位乘法111001010000OutputYiXi26符號位直接異或即可得到乘積的符號僅僅需要考慮其數(shù)值部分的計算以定點小數(shù)為例進行討論多位原碼乘法27相加數(shù)產生部件…………a4b4a1b0a0b0A=0.a4a3a2a1a0B=0.b4b3b2b1b0&&&

經過一級門電路延遲，即可得到所有的相加數(shù)28a3b2a2b2a1b2a0b2a4b2a3b3a2b3a1b3a0b3a4b3a3b4a2b4a1b4a0b4a4b4a4b0a3b0a2b0a1b0a0b0p8p2p1p05位無符號數(shù)陣列乘法器電路00a1b1a0b1a3b1a2b1a4b1p6

p7p30p40p50COUTCOUTCOUTp9COUT29p8p2p1p05位無符號數(shù)陣列乘法器電路a3b2a2b2a1b2a0b2a4b2a3b3a2b3a1b3a0b3a4b3a4b0a3b0a2b0a1b0a0b0a1b1a0b1a3b1a2b1a4b1p6p7p3p4p5p900a3b4a2b4a0b4a4b4a1b400030nn位原碼乘法器框圖相加數(shù)產生部件A=af.

an1an2…a1a0B=bf.

bn1bn2…b1b0……n×n乘法陣列an1bn1…a1b0a0b0Pf=1.…P2n1P2n2P2n3P1P031p8p2p1p0a3b2a2b2a1b2a0b2a4b2a3b3a2b3a1b3a0b3a4b3a4b0a3b0a2b0a1b0a0b0a4b1p6p7p3p4p5p90a3b4a2b4a0b4a4b4a1b4a1b1a0b1a3b1a2b100004*5個全加器,8個全加器延遲32原碼陣列乘法器時間延遲n(n-1)個FA延遲時間(n-1)FA+(n-1)FA每一個FA包含三級門電路延遲T故總延遲為2(n-1)*3T＋T(相加數(shù)產生時間)33補碼乘法器原理圖[B]補=bf.bn1…

b1b0乘法陣列（同前n×n陣列）…2n位求補器數(shù)值同原碼相加數(shù)積絕對值P2n1P1P0（補碼乘積）=1…Pf.[A]補=af.an1…

a1a0相加數(shù)產生電路（同前）n位求補器n位求補器34乘法運算實現(xiàn)方法執(zhí)行乘法運算子程序實現(xiàn)乘法運算設置專用乘法器實現(xiàn)乘法運算借助加法器配置相應部件實現(xiàn)乘法運算原碼一位乘法的運算方法與邏輯實現(xiàn)補碼一位乘法的運算方法與邏輯實現(xiàn)35a3b2a2b2a1b2a0b2a4b2a3b3a2b3a1b3a0b3a4b3a3b4a2b4a1b4a0b4a4b4a4b0a3b0a2b0a1b0a0b0p8p2p1p05位無符號數(shù)陣列乘法器電路00a1b1a0b1a3b1a2b1a4b1p6

p7p30p40p50COUTCOUTCOUTp9COUT36a3a2a1a0a400000a3a2a1a0a4a4a3a2a1a0p8p2p1p05位無符號數(shù)陣列乘法器電路0000000p6

p7p30p40p50COUTCOUTp9COUT

0.p9p8p7p6p5p4p3p2p1p0

0.a4a3a2a1a0x0.1

0

1

0

1

COUT37a3a2a1a0a400000a3a2a1a0a4a4a3a2a1a0p8p2p1p05位無符號數(shù)陣列乘法器電路0000000p6

p7p30p40p50COUTCOUTCOUTp9COUTΣ=XYn

Σ+=XYn-1

Σ

右移一位Σ+=XYn-2

Σ

右移一位Σ+=XYn-3

Σ

右移一位38部分積累加的數(shù)學表示部分積=XYn部分積=XYn-1+XYn2-1部分積=XYn-2+(XYn-1+XYn*2-1)2-1

=XYn-2+XYn-12-1+

XYn2-2=XY12-1+XY22-2+…XYn2-nX*Y=X[Y12-1+Y22-2+…Yn2-n]39開始i=0,0→∑Yn=1∑+0→∑∑+X→∑∑Y右移一位i+1→ii=nX0⊕Y0→P0結束YNNY原碼乘法算法流程圖

40例子已知X=0.1101Y=-0.1011計算[X]原[Y]原4100.000000.1101+00.110100.011000.1101部分積01.0011100.10011100.000000.10011100.010011100.110101.000111100.10001111乘數(shù)1Y0Y0.1011Y0.101Y0.10判斷位說明P0=0Y4=1,+|X|右移一位得P1Y4=1,+|X|右移一位得P2Y4=0,+0右移一位得P3Y4=1,+|X|右移一位得P4=|X|·|Y|+Y0.1++42原碼乘法邏輯結構Σ→R0+1計數(shù)器移位控制加法器ΣX0

被乘數(shù)XR2&&R0部分積∑計數(shù)器R1乘數(shù)Y

Yn∑=∑+YnX控制電路4301011部分積R0乘數(shù)R1Yn判斷位01011101011101011101

|X|=0.1101，

|Y|=0.1011+|X|+|X|+

0+|X|111100000001101011010011001101100110100100000010010010001101100010100044部分積累加的數(shù)學表示部分積=XYn部分積=XYn-1+XYn*2-1部分積=XYn-2+(XYn-1+XYn*2-1)2-1

=XYn-2+XYn-12-1+

XYn*2-2=XY1*2-1+XY2*2-2+…XYn*2-nX*Y=X[Y1*2-1+Y2*2-2+…Yn*2-n]45補碼一位乘法1)被乘數(shù)[X]符號任意，乘數(shù)[Y]為正[X]補=X0.X1X2…Xn

[Y]補=0.Y1Y2…Yn

[X]補[Y]補=(2+X)Y

=(2n+1+X)Y=2n+1Y+XY=22n

0.Y1Y2…Yn+XY=2(Y1Y2…Yn)+XY=2+XY=[XY]補[XY]補=

[X]補[Y]補46補碼一位乘法1)被乘數(shù)[X]符號任意，乘數(shù)[Y]為負數(shù)[X]補=X0.X1X2…Xn

[Y]補=1.Y1Y2…Yn

[Y]補=2+YY=[Y]補-2=0.Y1Y2…Yn-1[XY]補=[X(0.Y1Y2…Yn-1)]補

=[X0.Y1Y2…Yn-X]補

=[X0.Y1Y2…Yn]補-[X]補

=[X]補

0.Y1Y2…Yn-[X]補

=[X]補

0.Y1Y2…Yn-Y0[X]補47補碼一位乘法[XY]補=[X]補

0.Y1Y2…Yn-Y0[X]補

=[X]補(-Y0+0.Y1Y2…Yn)

=[X]補(-Y0+Y12-1+Y22-2+…Yn2-n)=[X]補[-Y0+(Y1-Y12-1)+(Y22-1-Y22-2)+…(Yn2-n+1-Yn2-n)]=[X]補[Y1-Y0+(Y2-Y1)2-1+(Y3-Y2)2-2+…(0-Yn)2-n]XY=X[Y12-1+Y22-2+…Yn2-n]原碼乘法48開始i=0,0→∑YnYn+1=?∑

+[X]補→∑∑+[X]補→∑結束011000或11YN∑不變∑、[Y]補右移一位i+1i=n+149例子已知X=1.0101Y=1.0011計算[X]補[Y]補解：[-X]補=0.10115000.000000.1011+00.101100.010100.0000部分積00.0101100.00101111.010111.01111111.101111100.000011.101111111.1101111100.1011乘數(shù)11.01.001101.00111.001判斷位說明Yn+1=0YnYn+1=10,加[–X]補右移一位得P1末2位為11,+0右移一位得P2末2位為01+[X]補右移一位得P3末2位為00+0右移一位得P4末2位為10–[-X]補+1.00+++00.1000111151補碼一位乘法邏輯結構移位控制R1乘數(shù)[Y]補YnYn+100/110110&1=1YnYn+1R2被乘數(shù)[X]補加法器CR0部分積∑∑=2-1∑+(Yn+1-Yn)[X]補52定點補碼加/減法運算定點乘法運算浮點運算運算器組織運算器部件舉例Outline 53浮點加減法運算計算X+Y=?

求解：如：Ex=EyS=2Ex×(Mx+My)

如：Ex≠Ey?????假設：54對階對階(使得小數(shù)部分可以按位權值按位相加)大階對小階還是小階對大階？？？210*(0.11000)+28*(0.00110)大階對小階210*(0.11000)--28*(11.000)

11.000+0.00110

?????????

小階對大階28*(0.00110)--210*(0.00001)0.00001+0.11000=0.11001對階過程應該是小階對大階尾數(shù)右移55尾數(shù)運算Ex=Ey滿足后

S=2Ex(Mx+My)56運算結果規(guī)格化210*(0.11000)也可表示為211*(0.01100)為提高精度，尾數(shù)不為零的時，要求其絕對值大于1/2，即尾數(shù)最高有效位為1，否則要以修改階碼的方式同時左右移小數(shù)點，使其變成這一要求的表示形式，這個過程稱為浮點數(shù)的規(guī)格化同一個浮點數(shù)的編碼唯一將運算結果右移以實現(xiàn)規(guī)格化表示稱為向右規(guī)格化，右歸將運算結果左移以實現(xiàn)規(guī)格化表示稱為向左規(guī)格化，左歸57規(guī)格化形式規(guī)格化數(shù)形式0.1XXXX-0.1XXXX補碼規(guī)格化形式00.1XXXX11.0XXXX補碼非規(guī)格化數(shù)00.0XXXX11.1XXXX01.XXXXX10.XXXXX5800.0XXXX

--

00.1XXX0

左規(guī)11.1XXXX

--

11.0XXX0

左規(guī)01.XXXXX

--

00.1XXXX

右規(guī)10.XXXXX

--

11.0XXXX右規(guī)

連符號位一起移位規(guī)格化方法計算機在表示浮點數(shù)時，通常進行向左規(guī)格化處理上溢的時候，右歸下溢的時候，左歸59向左規(guī)格化尾數(shù)左移一位，階碼減1111000011110000111000010尾數(shù)左移兩位，階碼減200001001000010010010010060尾數(shù)連同符號位進位位右移一位，階碼加1011000110110001100110001尾數(shù)連同符號位進位位右移一位，階碼加1101000111010001111010001向右規(guī)格化61規(guī)格化規(guī)則小結運算結果產生溢出時，必須進行右歸如出現(xiàn)10.XX或者01.XXX如結果出現(xiàn)00.0XXX或11.1XX必須左歸左歸時最低數(shù)據有效位補0右歸時連同符號位進位位一起右移左歸時，階碼作減法，右歸時，階碼作加法62舍入處理右規(guī)后低位部分丟失了一位，這會對數(shù)產生一定的誤差011000110011000110舍1入法如被丟的最高數(shù)位為0，舍去，如為1，則將尾數(shù)末位加一截去法63溢出處理尾數(shù)上溢右歸尾數(shù)下溢左歸階碼上溢正無窮和負無窮階碼下溢064浮點數(shù)加減法五個基本步驟對階尾數(shù)求和規(guī)格化（左規(guī)，右規(guī)）舍入（截去、0舍1入）檢查溢出65例1

兩浮點數(shù)x=2101×0.11011011，

y=2111×(-0.10101100)。假設尾數(shù)在計算機中以補碼表示，可存儲10位尾數(shù)，2位符號位，階碼以補碼表示，雙符號位,求x+y。解：將x,y轉換成浮點數(shù)據格式

[x]浮

=00101,00.11011011[Y]浮

=00111,11.01010011+100111,11.01010100步驟1：對階，階差為Ex-Ey-Ey=11000＋1＝11001Ex-Ey＝00101＋11001＝11110＝－2<0Ex-Ey<0Ex<Ey小階對大階，

X階碼加2X尾數(shù)右移2位66[x]浮

=00111,00.00110110(11)

步驟2：尾數(shù)求和

[X+Y]浮=00111,00.00110110(11)+00111,11.01010100=00111,11.10001010(11)67步驟3：計算結果規(guī)格化

[X+Y]浮為非規(guī)格化數(shù)，左歸一位,階碼減一，

00110,11.00010101(1)步驟4：舍入處理

[X+Y]浮=00110,11.00010110(0舍1如法)[X+Y]浮=00110,11.00010101(截去法)步驟5：溢出判斷無溢出

[X+Y]浮=2110x(-00.11101011)68浮點數(shù)乘法運算如：X=2mMxY=2nMyXY=2m

Mx(2nMy)=2m+n(MxMy)69浮點數(shù)乘法運算(1)階碼相加階碼相加可能產生溢出，若產生溢出，則給出溢出指示，計算機進行溢出處理。(2)尾數(shù)相乘尾數(shù)部分相乘可得積的尾數(shù)，尾數(shù)相乘可按定點乘法運算的方法進行運算。(3)結果規(guī)格化當運算結果需要進行規(guī)格化操作時，可按浮點加/減法運算規(guī)格化方式處理，舍入方式也與加/減法方式中的相同。70Outline 定點補碼加/減法運算定點乘法運算浮點運算運算器組織運算器部件舉例71運算器功能數(shù)據進行算術運算和邏輯運算暫存參加運算的數(shù)據及運算的中間結果選取相應部件中的數(shù)據參與運算反映運算處理的狀態(tài)72算術邏輯運算單元ALUALUResultOverflowabALU

operation73寄存器組74

多路選擇電路

OUT(i)

R0(i)

R1(i)

R2(i)

R3(i)

R3→OUT

R2→OUT

R1→OUT

R0→OUT

&&&&≥175CLAADD30STA40NOPJMP21…000006…00000420212223243040ALU運算器結構PSWAXBXCXDXDR左路開關選擇右路開關選擇數(shù)據總線DBUS移位器操作數(shù)X操作數(shù)Y76ALUSRBUS狀態(tài)寄存器ABALUBUS鎖存器LA鎖存器LB選擇電路…R0R1…RnBUSbusLDLALDLBLbusRiLLDR0LDRnbus→LBUS→busbus→BUS77Outline 定點補碼加/減法運算定點乘法運算浮點運算運算器組織運算器部件舉例78先行進位的多功能算術/邏輯運算單元運算部件舉例

ALU74181Cn+4S3S2S1S0A3A2A1A0B3B2B1B0CnMA=BPGSN741814位ALUF3F2F1F018202211921232781415171311109163456C079先行進位電路CLA74182先行進位電路74182P4G4P3G3P2G2P1G1C0C4C3C2C1P*G*80是否可以如下連接?

16位組內先行進位，組間先行進位ALU74181

X16Y16X15Y15X14Y14X13Y13C12P16*

G16*ALU74181

X12Y12X11Y11X10Y10X9Y9C8P12*

G12*ALU74181

X8Y8X7Y7X6Y6X5Y5C4P8*

G8*ALU74181

X4Y4X3Y3X2Y2X1Y1C0P4*

G4*P*

G*

P4G4C3P3G3C2P2G2C1P1G1CLA（74182）C0C481成組進位C4=

G4+P4G3+P4P3G2+P4P3P2G1+P4P3P2P1C0G4*=

G4+P4G3+P4P3G2+P4P3P2G1成組進位發(fā)生輸出P4*=

P4P3P2P1成組進位傳遞函數(shù)C4=

G4*+P4*C082兩級先行進位電路（74181里實現(xiàn)）

G4

P4

C3

C2

C1

G4

P4

G3

P3

G2

P2

G1

P1

C0

&&&&&&

&&*

*

&&≥1≥1≥1≥183成組進位C4=

G4*+P4*C0C8=G8*+P8*

C4

=G8*+P8*

(G4*+P4*C0)=G8*+P8*G4*+P8*P4*C0C16=G16*+P16*C12

=G16*+P16*G12*+P16*P12*G8*+P16*P12*P8*G4*+P16*P12*P8*P4*C0用4組P*

G*作輸入，即可復用原先行進位電路產生組間先行進位信號8416位組內先行進位，組間先行進位ALU74181

X16Y16X15Y15X14Y14X