數(shù)值分析-數(shù)值積分與數(shù)值微分

在一元函數(shù)的積分學(xué)中,我們已經(jīng)熟知,若函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)且其原函數(shù)為F(x),則可用牛頓―萊布尼茲公式

第4章數(shù)值積分和數(shù)值微分§4.1引言來求定積分。前面公式雖然在理論上或在解決實際問題中都起了很大的作用,但它并不能完全解決定積分的計算問題。因為定積分的計算常常會碰到以下三種情況:(1)被積函數(shù)f(x)的原函數(shù)F(x)不易找到。許多很簡單的函數(shù),例如等,其原函數(shù)都不能用初等函數(shù)表示成有限形式。

(2)被積函數(shù)f(x)沒有具體的解析表達(dá)式。其函數(shù)關(guān)系由表格或圖形表示,無法求出原函數(shù)。

(3)盡管f(x)的原函數(shù)能表示成有限形式但其表達(dá)式相當(dāng)復(fù)雜。例如定積分的被積函數(shù)的原函數(shù)就比較復(fù)雜,從數(shù)值計算角度來看,計算量太大。

如圖4.1,若用左矩形近似地代替曲邊梯形,則得到左矩形公式

同樣可得到右矩形公式圖4.1

如圖4.2,若用梯形的面積近似地代替曲邊梯形的面積,則得到計算定積分的梯形公式(1―1)

如圖4.3,若用拋物線代替曲線f(x),則可得到拋物線公式(或辛普生公式)(1―2)

圖4.2圖4.3

二、代數(shù)精度的概念三、插值型求積公式四、求積公式的收斂性和穩(wěn)定性

2牛頓―柯特斯(Newton―Cotes)公式建立數(shù)值積分公式最基本的思想是選取一個既簡單又有足夠精度的函數(shù)φ(x),用φ(x)代替被積函數(shù)f(x),于是有現(xiàn)用第2章介紹的插值多項式Pn(x)來代替被積函數(shù)f(x),即有

取基點為等距,即

a=x0＜x1＜…＜xn=b

利用拉格朗日插值多項式(2―1)

其中(2―2)

這里yi=f(xi),對式(2―1)兩邊積分得為牛頓―柯特斯求積公式,Rn(f)為牛頓―柯特斯求積公式的余項。令

x=x0+sh,0≤s≤n(2―3)

(2―4)(2―5)

我們稱(2―6)

稱C(n)i為柯特斯求積系數(shù)。很顯然,當(dāng)n=1時,可算得此時式(2―5)為(2―7)

這是梯形公式。當(dāng)n=2時,可得于是(2―8)

這是拋物線公式。當(dāng)n=3時,代入(2―5)式得到求積公式(2―9)

類似地可分別求出n=4,5,…時的柯特斯系數(shù),從而建立相應(yīng)的求積公式。具體結(jié)果見表4―1。從表中可以看出,當(dāng)n≤7時,柯特斯系數(shù)為正;從n≥8開始,柯特斯系數(shù)有正有負(fù)。因此,當(dāng)n≥8時,誤差有可能傳播擴大,牛頓―柯特斯求積公式不宜采用。柯特斯系數(shù)C(n)i僅與n和i有關(guān),與被積函數(shù)f(x)無關(guān),且滿足(2―10)

事實上,式(2―5)對f(x)=1是準(zhǔn)確成立的。例1試分別用梯形公式和拋物線公式計算積分解利用梯形公式利用拋物線公式原積分的準(zhǔn)確值表4―1

2.2誤差估計現(xiàn)對牛頓―柯特斯求積公式所產(chǎn)生的誤差作一個分析。由式(2―4),牛頓

―

柯特斯求積公式的余項為易知,牛頓―柯特斯求積公式(2―5)對任何不高于n次的多項式是準(zhǔn)確成立的。這是因為

f(n+1)(ξ)≡0

故

Rn(f)≡0

一般說來,若某個求積公式對于次數(shù)不高于m的多項式都準(zhǔn)確成立(即Rn(f)≡0),而對于某一次數(shù)為m+1的多項式并不準(zhǔn)確成立(即Rn(f)0),則稱這一求積公式的代數(shù)精確度為m。

牛頓

―

柯特斯求積公式的代數(shù)精確度至少為n。通常在基點個數(shù)相等的情況下,代數(shù)精確度愈高,求積公式就愈精確。定理1(梯形公式的誤差)設(shè)f(x)在區(qū)間［a,b］上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù),則梯形求積公式的誤差為

由于

ω1(x)=(x-a)(x-b)

證由式(2―4)知,梯形公式的余項為(2―11)在區(qū)間(a,b)內(nèi)不變號,f″(ξ)是x的函數(shù)且在［a,b］上連續(xù),故根據(jù)積分第二中值定理參見有關(guān)《數(shù)學(xué)分析》教材中“一元函數(shù)積分學(xué)第二中值定理”。知,存在某一η∈(a,b)使定理2(拋物線公式的誤差)設(shè)f(x)在［a,b］上有連續(xù)的四階導(dǎo)數(shù),則拋物線公式的誤差為(2―12)

證由式(2―4)知§4.3

復(fù)化求積公式

4.3.1復(fù)合梯形公式對于定積分,將積分區(qū)間［a,b］分成n個相等的子區(qū)間［xi,x

i+1］,這里步長在每一個子區(qū)間［xi,x

i+1

］上使用梯形公式,則相加后得(3―1)

(3―2)

若f″(x)在［a,b］上連續(xù),由連續(xù)函數(shù)的介值定理,存在某一ξ∈(a,b)使得因而于是得到復(fù)合梯形公式(3―3)其余項為例2若用復(fù)合梯形公式計算積分問積分區(qū)間要等分多少才能保證有五位有效數(shù)字解由余項(3―3)式則當(dāng)0＜x＜1時,有因為又故由于原積分的準(zhǔn)確值具有一位整數(shù),因此要使近似積分值有五位有效數(shù)字,只需取n滿足兩邊取對數(shù)得整理后得到

4.3.2復(fù)化拋物線（辛普森）公式類似復(fù)合梯形公式的做法,把區(qū)間［a,b］分成n個相等的子區(qū)間［x2i,x2i+2］(i=0,1,…,n-1),設(shè)每個子區(qū)間上的中點為x2i+1(i=0,1,…,n-1),且

在每一個子區(qū)間［x2i,x2i+2

］上利用拋物線公式得(3―4)

相加后得(3―5)

圖5.4

圖5.4

若f(4)(x)在［a,b］上連續(xù),則從而得到復(fù)合拋物線公式(3―6)

其余項為(3―7)復(fù)合拋物線公式的計算框圖見4.4。例3根據(jù)給出的函數(shù)的數(shù)據(jù)表4―2,分別用復(fù)合梯形公式和復(fù)合拋物線公式計算表4―2

解用復(fù)合梯形公式,這里用復(fù)合拋物線公式可得而I的準(zhǔn)確值為0.9460831…,可見用復(fù)合拋物線公式比用復(fù)合梯形公式精確。§4龍貝格求積算法一、梯形公式的遞推化(變步長求積法)二、龍貝格公式計算步驟kT2kS2k-1C2k-2R2k-300.920735510.93979330.946145920.94451350.94608690.940083030.94569090.94608330.94608310.9460831三、理查森外推加速方法上述處理方法稱為理查森(Richardson)外推加速方法.計算過程§5高斯求積公式一、一般理論二、高斯－勒讓德求積公式三、高斯－切比雪夫求積公式§6數(shù)值微分一、中點方法與誤差分析二、插值型的求導(dǎo)公式本章介紹的幾種求積方法各具特點：(1)梯形和拋物形求積公式是低精度的方法，但對于光滑性較差的被積函數(shù)有時效果比用高精度的方法還好，再加上公式簡單，因而使用非常廣泛.特別在計算機上，復(fù)化的梯形公式和拋物形公式便于采用逐次對分的方法，計算程序十分簡單.(2)龍貝格求積方法，其算法簡單，程序也便于實現(xiàn)，且當(dāng)節(jié)點加密時，前面的