線性方程迭代法研究

線性方程組的迭代解法研究學生姓名：蘇相瑜指導老師：郭孔華學院：中南大學

數(shù)學與統(tǒng)計學院專業(yè)班級：應數(shù)1002班論文框架緒論預備知識經(jīng)典迭代法的簡單介紹對SOR迭代法提出新的迭代格式給出數(shù)值例子并做出比較總結(jié)與展望緒論1、線性方程組的意義與發(fā)展歷史2、線性方程組是屬于方程中的一種，它是在方程組中的每一個方程關(guān)于未知量都是一次的方程組。而所謂的所謂迭代就是指一種重復反饋過程的活動，進行這個過程的目的通常都是為了接近并且到達我們所需要的目標和結(jié)果。在計算中每一次進行這種重復的過程被稱為一次“迭代”，而我們每一次進行“迭代”這一過程所得到的結(jié)果會被用來作為下一次“迭代”的初始值。3、國內(nèi)外研究現(xiàn)狀

其中李曉梅等人將H.Michielse和A.VanderVorst等人的算法中的單向串行通信模式改為雙向并行的通信模式,同時他們提出了幾乎是目前情況下最好的三對角方程組分布式的算法的DPP算法。在2000年駱志剛等利用計算與通信重疊這一門技術(shù)同時再根據(jù)DPP算法,減少處理機空閑的時間以后取得了更好的并行效果。這一類的算法要求解-1階縮減系統(tǒng)。

預備知識線性方程組與迭代的定義迭代的構(gòu)造關(guān)于迭代法的收斂性分析的定理中需要的相關(guān)引理經(jīng)典迭代法的相關(guān)介紹1.Jacobi迭代法的迭代公式2.G-S迭代法的迭代公式3.SOR迭代法的迭代公式經(jīng)典迭代法的收斂性分析1、Jacobi迭代法的收斂性判定

定理.如果所要求的線性方程組的系數(shù)矩陣A是一個嚴格對角占優(yōu)或者是一個不可約的對角占優(yōu)矩陣，那么Jacobi迭代法就收斂。

定理.如果所要求解的線性方程組的系數(shù)矩陣A是一個對稱矩陣，而且它的任意一個對角元素>0（其中=1,2,……,n）那么如果滿足條件矩陣A和矩陣2D-A都是正定矩陣，則Jacobi迭代法收斂（充分必要條件）。

2.G-S迭代法的收斂性判定定理.如果所要求的線性方程組的系數(shù)矩陣A是一個嚴格對角占優(yōu)或者是一個不可約的對角占優(yōu)矩陣，那么G-S迭代法就收斂。定理.如果一個所要求解的線性方程組的系數(shù)矩陣A是一個正定的對稱矩陣，那么G-S迭代法收斂

3.SOR迭代法的收斂性判定

定理1.如果所要求解的線性方程組的系數(shù)矩陣A是一個嚴格對角占優(yōu)的或者是一個不可以約的對角占優(yōu)的矩陣，而且在SOR迭代法下的松弛因子（即SOR迭代法的迭代公式中的）需要滿足在（0,1]這個區(qū)間中，那么我們可以說SOR迭代法是收斂的。定理2.如果所要求解的線性方程組的系數(shù)矩陣A是一個實對稱的正定矩陣，而且在SOR迭代法下的松弛因子處于（0,2）這個區(qū)間的話，那么我們也可以說明SOR迭代法是收斂的。

SOR迭代法的新收斂格式

SOR迭代法的新迭代格式的迭代公式

SOR迭代法的新迭代格式的收斂性判定定理1.如果所要求解的線性方程組的系數(shù)矩陣A是一個實對稱的正定矩陣，而且在SOR迭代法下的松弛因子處于（0,2）這個區(qū)間的話，那么我們也可以說明SOR迭代法是收斂的。定理2.如果所要求解的線性方程組的系數(shù)矩陣A是一個嚴格對角占優(yōu)的或者是一個不可以約的對角占優(yōu)的矩陣，而且在SOR迭代法下的松弛因子（即SOR迭代法的迭代公式中的）需要滿足在（0,1]這個區(qū)間中，那么我們可以說SOR迭代法是收斂的。

最優(yōu)松弛因子的介紹

對于一類有特殊性質(zhì)的矩陣（也就是2-循環(huán)的和相容次序的矩陣。），相關(guān)的最優(yōu)松弛因子（用來表示）在五十年代就