自動控制第2章

第二章線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述

2.1線性系統(tǒng)的時域數(shù)學(xué)模型

2.2傳遞函數(shù)

2.3結(jié)構(gòu)圖

2.4信號流圖

2.5線性定常系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的MATLAB實(shí)現(xiàn)

小結(jié)習(xí)題2.1線性系統(tǒng)的時域數(shù)學(xué)模型

控制系統(tǒng)中的輸出量和輸入量通常都是時間t的函數(shù)。微分方程又稱為動態(tài)方程或運(yùn)動方程。微分方程的階數(shù)一般是指方程中最高導(dǎo)數(shù)項的階數(shù),又稱為系統(tǒng)的階數(shù)。對于單輸入、單輸出線性定常系統(tǒng),采用下列微分方程來描述:式中,r(t)和c(t)分別是系統(tǒng)的輸入信號和輸出信號；c(n)(t)為c(t)對時間t的n階導(dǎo)數(shù);ai(i=1,2,…,n)和bj(j=0,1,…,m)是由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)決定的系數(shù),n≥m。

(2.1)2.1.1電氣系統(tǒng)電氣系統(tǒng)中最常見的裝置是由電阻、電容、運(yùn)算放大器等元件組成的電路,又稱電氣網(wǎng)絡(luò)。僅由無源器件構(gòu)成的電氣網(wǎng)絡(luò)稱為無源網(wǎng)絡(luò)；如果電氣網(wǎng)絡(luò)中含有有源器件或電源,就稱之為有源網(wǎng)絡(luò)。

圖

2-1RLC無源網(wǎng)絡(luò)

【例2-1】圖2-1是由電阻R、電感L和電容C組成的無源網(wǎng)絡(luò),試列寫以ui(t)為輸入量,以uo(t)為輸出量的網(wǎng)絡(luò)微分方程。解設(shè)回路電流為i(t),由基爾霍夫電壓定律可寫出回路方程為消去中間變量i(t),可得描述該無源網(wǎng)絡(luò)輸入輸出關(guān)系的微分方程

(2.2)上式也可以寫為

(2.3)其中,T1=L/R,T2=RC。方程(2.2)和(2.3)就是所求的微分方程。這是一個典型的二階線性常系數(shù)微分方程,對應(yīng)的系統(tǒng)稱為二階線性定常系統(tǒng)。

【例2-2】

圖2-2是一個由理想運(yùn)算放大器組成的電容負(fù)反饋電路,電壓ui(t)和uo(t)分別表示輸入量和輸出量,試確定這個電路的微分方程式。圖

2-2電容負(fù)反饋電路

解理想運(yùn)算放大器正、反相輸入端電位相同,且輸入電流為零。根據(jù)基爾霍夫電流定律有

整理后得

(2.4)或?yàn)?/p>

(2.5)其中,T=RC為時間常數(shù)。方程(2.4)和(2.5)就是該系統(tǒng)的微分方程,這是一個一階系統(tǒng)。2.1.2機(jī)械系統(tǒng)

【例2-3】

圖2-3表示一個含有彈簧、運(yùn)動部件、阻尼器的機(jī)械位移裝置。其中k是彈簧系數(shù),m是運(yùn)動部件質(zhì)量,μ是阻尼器的阻尼系數(shù);外力f(t)是系統(tǒng)的輸入量,位移y(t)是系統(tǒng)的輸出量。試確定系統(tǒng)的微分方程。

解

根據(jù)牛頓運(yùn)動定律,運(yùn)動部件在外力作用下克服彈簧拉力ky(t)、阻尼器的阻力 ,將產(chǎn)生加速度力圖2-3機(jī)械阻尼器示意圖或?qū)懗?/p>

(2.7)所以系統(tǒng)的運(yùn)動方程為

(2.6)2.2傳

遞

函

數(shù)

2.2.1拉氏變換

1.拉氏變換的定義若將實(shí)變量t的函數(shù)f(t)乘上指數(shù)函數(shù)e-st(其中s=σ+jω是一個復(fù)數(shù)),并且在［0,+∞］上對t積分,就可以得到一個新的函數(shù)F(s),稱F(s)為f(t)的拉氏變換,并用符號L［f(t)］表示。

(2.10)將F(s)稱作f(t)的象函數(shù),將f(t)稱作F(s)的原函數(shù)。

2.拉氏變換的基本定理1)線性定理兩個函數(shù)和的拉氏變換,等于每個函數(shù)拉氏變換的和,即

(2.11)函數(shù)放大k倍的拉氏變換等于該函數(shù)拉氏變換的k倍,即

(2.12)2)微分定理如果初始條件

成立,則有

(2.13)

3)積分定理一個函數(shù)積分后再取拉氏變換等于這個函數(shù)的拉氏變換除以復(fù)參數(shù)s,即

重復(fù)運(yùn)用式(2.14)可以推出

(2.14)(2.15)

4)初值定理函數(shù)f(t)在t=0時的函數(shù)值可以通過f(t)的拉氏變換F(s)乘以s取s→∞時的極限而得到,即

(2.16)

5)終值定理函數(shù)f(t)在t→+∞時的函數(shù)值(即穩(wěn)定值)可以通過f(t)的拉氏變換F(s)乘以s取s→0時的極限而得到,即

(2.17)2.2.2傳遞函數(shù)的定義和特點(diǎn)

1.傳遞函數(shù)的定義線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù),定義為零初始條件下,系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。設(shè)線性定常系統(tǒng)由下面的n階線性常微分方程描述:(2.18)如果r(t)和c(t)及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0時的值均為零,即滿足如下的零初始條件:則根據(jù)拉氏變換的定義和性質(zhì),對式(2.18)進(jìn)行拉氏變換,并令C(s)=L［c(t)］,R(s)=L［r(t)］,可得

由傳遞函數(shù)的定義可得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

式中,M(s)和N(s)分別稱為傳遞函數(shù)G(s)的分子多項式和分母多項式。

(2.19)

【例2-5】試確定圖2-1所示的RLC無源網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解

由例2-1可知,RLC無源網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的微分方程為

在零初始條件下,對上述方程中各項求拉氏變換,并令Uo(s)=L［uo(t)］,Ui(s)=L［ui(t)］，可得復(fù)頻域的代數(shù)方程

(LCs2+RCs+1)Uo(s)=Ui(s)所以系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

【例2-6】

試確定如圖2-2所示的運(yùn)算放大器電路的傳遞函數(shù)。解由例2-2可知,運(yùn)算放大器電路系統(tǒng)的微分方程為

在零初始條件下,對上述方程中各項求拉氏變換，

得

所以,系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

(2.21)

2.傳遞函數(shù)的特點(diǎn)

(1)傳遞函數(shù)的概念適用于線性定常系統(tǒng),傳遞函數(shù)的結(jié)構(gòu)和各項系數(shù)(包括常數(shù)項)完全取決于系統(tǒng)本身結(jié)構(gòu),因此,它是系統(tǒng)的動態(tài)數(shù)學(xué)模型,而與輸入信號的具體形式和大小無關(guān),也不反映系統(tǒng)的任何內(nèi)部信息。圖

2-5傳遞函數(shù)的圖示

(2)傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的?？刂葡到y(tǒng)的零初始條件有兩層含義:一是指輸入量在t≥0時才起作用;二是指輸入量加于系統(tǒng)之前,系統(tǒng)處于穩(wěn)定工作狀態(tài)。

(3)傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式函數(shù),分子多項式M(s)的階次m總是小于分母多項式N(s)的階次n,即m＜n。

(4)傳遞函數(shù)與線性常微分方程一一對應(yīng)。將微分方程的算符d/dt用復(fù)數(shù)s置換便可以得到傳遞函數(shù);反之,將傳遞函數(shù)中的復(fù)數(shù)s用算符d/dt置換便可以得到微分方程?？傻胹的代數(shù)方程

(a0s2+a1s+a2)C(s)=(b1s+b2)R(s)用算符d/dt置換復(fù)數(shù)s,便得到相應(yīng)的微分方程

(5)傳遞函數(shù)不能反映系統(tǒng)或元件的學(xué)科屬性和物理性質(zhì)。物理性質(zhì)和學(xué)科類別截然不同的系統(tǒng)可能具有完全相同的傳遞函數(shù)。例如,例2-5表示的RLC電路和例2-7表示的機(jī)械阻尼系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

(6)傳遞函數(shù)除具有式(2.19)表示的分子、分母多項式形式外,還具有如下兩種常見形式:零極點(diǎn)形式：(2.23)(2.24)時間常數(shù)形式：

(7)令系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分母等于零,所得方程稱為特征方程,即N(s)=0。特征方程的根稱為特征根,也就是系統(tǒng)的極點(diǎn)。2.2.3典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)

1.比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)又稱放大環(huán)節(jié),該環(huán)節(jié)的運(yùn)動方程和相對應(yīng)的傳遞函數(shù)分別為

式中K為增益。特點(diǎn):輸入輸出量成比例,無失真和時間延遲。實(shí)例:電子放大器,齒輪,電阻(電位器),感應(yīng)式變送器等。(2.25)(2.26)

2.慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)又稱非周期環(huán)節(jié),該環(huán)節(jié)的運(yùn)動方程和相對應(yīng)的傳遞函數(shù)分別為

(2.27)(2.28)式中T為時間常數(shù),K為比例系數(shù)。特點(diǎn):含一個儲能元件,對突變的輸入,其輸出不能立即復(fù)現(xiàn),輸出無振蕩。實(shí)例:直流伺服電動機(jī)的勵磁回路。

3.純微分環(huán)節(jié)純微分環(huán)節(jié)常簡稱為微分環(huán)節(jié),其運(yùn)動方程和傳遞函數(shù)分別為

(2.29)(2.30)特點(diǎn):輸出量正比輸入量變化的速度,能預(yù)示輸入信號的變化趨勢。實(shí)例:實(shí)際中沒有純粹的微分環(huán)節(jié),它總是與其他環(huán)節(jié)并存的。實(shí)際中可實(shí)現(xiàn)的微分環(huán)節(jié)都具有一定的慣性,其傳遞函數(shù)如下:(2.31)4.積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)的動態(tài)方程和傳遞函數(shù)分別為

(2.32)(2.33)特點(diǎn):輸出量與輸入量的積分成正比例,當(dāng)輸入消失,輸出具有記憶功能。實(shí)例:電動機(jī)角速度與角度間的傳遞函數(shù),模擬計算機(jī)中的積分器等。

5.振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)的運(yùn)動方程和傳遞函數(shù)分別為

(2.34)(2.35)式中ζ為振蕩環(huán)節(jié)的阻尼比,T為時間常數(shù),ωn為系統(tǒng)的自然振蕩角頻率(無阻尼自振角頻率),并且有

特點(diǎn):環(huán)節(jié)中有兩個獨(dú)立的儲能元件,并可進(jìn)行能量交換,其輸出出現(xiàn)振蕩。實(shí)例:RLC電路的輸出與輸入電壓間的傳遞函數(shù),以及機(jī)械阻尼系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

6.純時間延時環(huán)節(jié)延時環(huán)節(jié)的動態(tài)方程和傳遞函數(shù)分別為

(2.36)(2.37)式中τ為該環(huán)節(jié)的延遲時間。特點(diǎn):輸出量能準(zhǔn)確復(fù)現(xiàn)輸入量,但要延遲一固定的時間間隔τ。實(shí)例:管道壓力、

流量等物理量的控制,其數(shù)學(xué)模型就包含有延遲環(huán)節(jié)。

2.3結(jié)

構(gòu)

圖2.3.1結(jié)構(gòu)圖的組成與繪制

1.結(jié)構(gòu)圖的組成輸入信號、輸出信號、相加點(diǎn)和分支點(diǎn)圖

2-6元件的結(jié)構(gòu)圖

圖

2-7結(jié)構(gòu)圖的相加點(diǎn)和分支點(diǎn)

2.結(jié)構(gòu)圖的繪制

(1)列寫系統(tǒng)的微分方程組,并求出其對應(yīng)的拉氏變換方程組。

(2)從輸出量開始寫,以系統(tǒng)輸出量作為第一個方程左邊的量。

(3)每個方程左邊只有一個量。從第二個方程開始,每個方程左邊的量是前面方程右邊的中間變量。列寫方程時盡量用已出現(xiàn)過的量。

(4)輸入量至少要在一個方程的右邊出現(xiàn);除輸入量外,在方程右邊出現(xiàn)過的中間變量一定要在某個方程的左邊出現(xiàn)。

(5)按照上述整理后拉氏變換方程組的順序,從輸出端開始繪制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。

【例2-8】在圖2-8(a)中,電壓u1(t)、u2(t)分別為輸入量和輸出量,繪制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。

圖

2-8RC濾波電路結(jié)構(gòu)圖

解：從輸出量U2(s)開始按上述步驟列寫系統(tǒng)方程式:2.3.2閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖一閉環(huán)負(fù)反饋系統(tǒng)如圖2-9所示。圖2-9閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖圖中各信號之間的關(guān)系為C(s)=G(s)E(s)E(s)=R(s)-B(s)B(s)=H(s)C(s)開環(huán)傳遞函數(shù);

前向傳遞函數(shù):

反饋傳遞函數(shù)等于1,這時的閉環(huán)反饋系統(tǒng)為單位反饋系統(tǒng)。具體推導(dǎo)如下:C(s)=G(s)E(s)E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-H(s)C(s)

消去E(s)可得

C(s)=G(s)［R(s)-H(s)C(s)］

閉環(huán)傳遞函數(shù)(2.38)輸出與輸入的關(guān)系2.3.3擾動作用下的閉環(huán)系統(tǒng)這個系統(tǒng)存在兩個輸入量,即參考輸入量R(s)和擾動量N(s)。

圖

2-10擾動作用下的閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

根據(jù)線性系統(tǒng)滿足疊加性的原理,可以先對每一個輸入量單獨(dú)地進(jìn)行處理,然后將每個輸入量單獨(dú)作用時相應(yīng)的輸出量進(jìn)行疊加,就可得到系統(tǒng)的總輸出量。1）假設(shè)擾動量R(s)=0,N(s)≠0系統(tǒng)輸出對擾動的傳遞函數(shù)ΦN(s)=CN(s)/N(s)為

(2.39)2）假設(shè)擾動量N(s)=0,R(s)≠0所以,系統(tǒng)輸出對參考輸入的傳遞函數(shù)Φ(s)=CR(s)/R(s)為

(2.40)則系統(tǒng)的響應(yīng)(總輸出)C(s)為：

2.3.4結(jié)構(gòu)圖的簡化和變換規(guī)則

1.串聯(lián)環(huán)節(jié)的簡化消去中間變量X1(s)和X2(s)：

系統(tǒng)的等效傳遞函數(shù)為

圖

2-11三個環(huán)節(jié)串聯(lián)

上述結(jié)論可以推廣到任意個環(huán)節(jié)的串聯(lián)，即n個環(huán)節(jié)(每個環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為Gi(s),i=1,2,…,n)串聯(lián)的等效傳遞函數(shù)等于n個傳遞函數(shù)相乘。G(s)=G1(s)G2(s)…Gn(s)(2.42)

2.并聯(lián)環(huán)節(jié)的簡化系統(tǒng)的等效傳遞函數(shù)為

(2.43)圖

2-12三個環(huán)節(jié)并聯(lián)

3.反饋回路的簡化(2.44)圖

2-13基本反饋回路的簡化

4.相加點(diǎn)和分支點(diǎn)的移動

1)相加點(diǎn)前移兩圖具有如下相同的輸入、

輸出關(guān)系:圖

2-14相加點(diǎn)前移

2)相加點(diǎn)后移

圖

2-15相加點(diǎn)后移

兩圖具有如下相同的輸入、

輸出關(guān)系：

3)分支點(diǎn)前移

圖

2-16分支點(diǎn)前移

兩圖具有如下相同的輸入、

輸出關(guān)系：

C(s)=R(s)G(s)

4)分支點(diǎn)后移

圖

2-17分支點(diǎn)后移

兩圖具有如下相同的輸入、

輸出關(guān)系：

5)相鄰相加點(diǎn)之間的移動如圖2-18所示,相鄰相加點(diǎn)之間可以互換位置而不改變該結(jié)構(gòu)輸入和輸出信號之間的關(guān)系。

D=A±B±C=A±C±B圖

2-18相加點(diǎn)之間的移動

6)相鄰分支點(diǎn)之間的移動從一個信號流線上無論分出多少條信號線,各分支點(diǎn)之間可以隨意改變位置,不作任何改動。

圖

2-19相鄰分支點(diǎn)的移動

【例2-9】

試簡化圖2-20系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖,并求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。

圖

2-20系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

解在圖2-20中,如果不移動相加點(diǎn)或分支點(diǎn)的位置就無法進(jìn)行結(jié)構(gòu)圖的等效運(yùn)算。采用以下步驟簡化原圖:①利用分支點(diǎn)后移規(guī)則,將G3(s)和G4(s)之間的分支點(diǎn)移到G4(s)方框的輸出端(注意不宜前移),變換結(jié)果如圖2-21(a)所示;②將G3(s)、G4(s)和H3(s)組成的內(nèi)反饋回路簡化(如圖2-21(b)所示),其等效傳遞函數(shù)為③再將G2(s)、G34(s)、H2(s)和1/G4(s)組成的內(nèi)反饋回路簡化(見圖2-21(c))。

其等效傳遞函數(shù)為

④將G1(s)、G23(s)和H1(s)組成的反饋回路簡化便求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

圖

2-21系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖簡化

課堂練習(xí)：化簡下列方框圖并寫出傳遞函數(shù)表達(dá)式。

2.4信

號

流

圖

1.信號流圖中的術(shù)語下面結(jié)合圖2-23介紹信號流圖的有關(guān)術(shù)語。輸入節(jié)點(diǎn)(源)

僅具有輸出支路的節(jié)點(diǎn)。圖

2-23信號流圖

輸出節(jié)點(diǎn)(阱)

僅有輸入支路的節(jié)點(diǎn)。有時信號流圖中沒有一個節(jié)點(diǎn)是僅具有輸入支路的。我們只要定義信號流圖中任一變量為輸出變量,然后從該節(jié)點(diǎn)變量引出一條增益為1的支路,即可形成一輸出節(jié)點(diǎn),如圖2-23中的x6。

混合節(jié)點(diǎn)既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點(diǎn)。如圖2-23中的x2,x3,x4,x5。

通道沿支路箭頭方向而穿過各相連支路的途徑。如果通道與任一節(jié)點(diǎn)相交不多于一次,就叫開通道。如果通道的終點(diǎn)就是起點(diǎn),并且與任何其他節(jié)點(diǎn)相交不多于一次,就稱作閉通道。

前向通道如果從輸入節(jié)點(diǎn)(源)到輸出節(jié)點(diǎn)(阱)的通道上,通過任何節(jié)點(diǎn)不多于一次,則該通道叫前向通道。如

前向通道增益前向通道上各支路增益之乘積,用Pk表示。回路起點(diǎn)和終點(diǎn)在同一節(jié)點(diǎn),并與其它節(jié)點(diǎn)相遇僅一次的通路,也就是閉合通道。

回路增益回路中所有支路的乘積,用La表示。

不接觸回路回路之間沒有公共節(jié)點(diǎn)時,這種回路叫做不接觸回路。在信號流圖中,可以有兩個或兩個以上的不接觸回路。

2.信號流圖的性質(zhì)（內(nèi)容略）

3.梅遜公式用梅遜公式可以直接求信號流圖從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的增益,其表達(dá)式為

(2.45)式中,

P——系統(tǒng)總增益(對于控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖而言,就是輸入到輸出的傳遞函數(shù));

k——前向通道數(shù)目;

Pk——第k條前向通道的增益;

Δ——信號流圖的特征式,它是信號流圖所表示的方程組的系數(shù)矩陣的行列式。在同一個信號流圖中不論求圖中任何一對節(jié)點(diǎn)之間的增益,其分母總是Δ,變化的只是其分子。它可以通過下面的表達(dá)式計算:其中,∑L(1)——所有不同回路增益乘積之和;∑L(2)——所有任意兩個互不接觸回路增益乘積之和;∑L(3)——所有任意三個互不接觸回路增益乘積之和;∑L(m)——所有任意m個不接觸回路增益乘積之和;

Δk——信號流圖中除去與第k條前向通道Pk相接觸的支路和節(jié)點(diǎn)后余下的信號流圖的特征式,稱為Pk的余因式。

【例2-10】

系統(tǒng)的方塊圖如圖2-24所示,試用梅遜公式求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。

有三個獨(dú)立回路：

解

從圖中可以看出,該框圖只有一個前向通道,其增益為

沒有兩個及兩個以上的互相獨(dú)立回路。圖2-24系統(tǒng)的方塊圖所以,特征式Δ為連接輸入節(jié)點(diǎn)和輸出節(jié)點(diǎn)的前向通道的余因式Δ1,可以通過除去與該通道接觸的回路的方法得到。因?yàn)橥ǖ繮1與三個回路都接觸,所以有

Δ1=1

因此,輸入量R(s)和輸出量C(s)之間的總增益或閉環(huán)傳遞函數(shù)為

【例2-11】

利用梅遜公式確定圖2-8(c)所表示的系統(tǒng)的傳遞函數(shù)Φ(s)=U2(s)/U1(s)及ΦE(s)=E(s)/U1(s)。

解

該圖有三個反饋回路:回路1和回路3不接觸,所以有

以U2(s)作為輸出信號時,該系統(tǒng)只有一條前向通道。

且有

該前向通道與各回路都有接觸,所以

Δ1=1故

以E(s)作為輸出信號時,該系統(tǒng)也只有一條前向通道。

且

P1=1這條前向通道與回路1相接觸,故

所以

例：某系統(tǒng)的信號流圖如下圖所示，求Y(s)/X(s)(1)前向通道(2)回路增益（3）回路L1和L2互不接觸，特征式為（4）P1、P2與4個回路都有接觸，所以余因子為△1=△2=1，P3與L1不接觸，余因子為△3=1-L12.5線性系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的MATLAB實(shí)現(xiàn)

1.MATLAB建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法下面通過一些示例說明MATLAB建立線性定常系統(tǒng)三種數(shù)學(xué)模型的方法。

【例2-12】若給定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為試用MATLAB語句表示該傳遞函數(shù)。

解輸入上述傳遞函數(shù)的MATLAB程序如下:%ex-212num=［12241220］;den=［24622］;

G=tf(num,den)程序第一行是注釋語句,不執(zhí)行;第二、三行分別按降冪順序輸入給定傳遞函數(shù)的分子和分母多項式的系數(shù);第四行建立系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型。運(yùn)行結(jié)果顯示

Transferfunction:12s^3+24s^2+12s+20-------------------------------------2s^4+4s^3+6s^2+2s+2注意，如果給定的分子或分母多項式缺項,則所缺項的系數(shù)用0補(bǔ)充,例如一個分子多項式為3s2＋1,則相應(yīng)的MATLAB輸入為

num=［301］;如果分子或分母多項式是多個因子的乘積,則可以調(diào)用MATLAB提供的多項式乘法處理函數(shù)conv()。

【例2-13】已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為試用MATLAB實(shí)現(xiàn)此傳遞函數(shù)。

解輸入上述傳遞函數(shù)的MATLAB程序如下:%ex-213num=4*conv(［12］,conv(［166］,［166］));den=conv([10],conv([11],conv([11],conv([1,1],[1325]))));G=tf(num,den)程序中的conv()表示兩個多項式的乘法,并且可以嵌套。運(yùn)行結(jié)果為Transferfunction:4s^5+56s^4+288s^3+672s^2+720s+288-------------------------------------------s^7+6s^6+14s^5+21s^4+24s^3+17s^2+5s

【例2-14】已知系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布和增益,用MATLAB建立系統(tǒng)模型。系統(tǒng)零點(diǎn)為-2和-3,系統(tǒng)極點(diǎn)為-3,-4+j5和-4-j5,增益為10。

解用MATLAB建立上述系統(tǒng)零極點(diǎn)增益模型的程序如下:%ex-214z=［-2-3］;p=［-3-4+j*5-4-j*5］;k=10;G=zpk(z,p,k)運(yùn)行結(jié)果顯示為

Zero/pole/gain:10(s+2)(s+3)--------------------(s+3)(s^2+8s+41)

2.模型之間的轉(zhuǎn)換為了分析系統(tǒng)的特性,有時需要在不同模型之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換。MATLAB早期版本中采用tf2ss、ss2tf、tf2zpk等轉(zhuǎn)換函數(shù)進(jìn)行模型轉(zhuǎn)換。這些函數(shù)在新版本中仍可使用。新版本采用統(tǒng)一的轉(zhuǎn)換函數(shù),它與模型建立函數(shù)具有相同的函數(shù)名。例如若將ZPK或SS模型轉(zhuǎn)化為TF模型,函數(shù)格式為:m＝tf(sys)。式中sys是ZPK模型或SS模型,m為轉(zhuǎn)換后的TF模型。其他的轉(zhuǎn)換函數(shù)用法與此類似。

【例2-15】試將例2-12的傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)化為