經(jīng)典高等數(shù)學(xué)課件D10-4重積分的應(yīng)用

柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系★重積分計(jì)算的基本方法——累次積分法1第四節(jié)一、平面圖形的面積及立體體積

二、曲面的面積

三、物體的質(zhì)心

四、物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量五、物體的引力重積分的應(yīng)用第十章2例:設(shè)由錐面計(jì)算的體積.解法1:解法2:31.能用重積分解決的實(shí)際問題的特點(diǎn):所求量是對(duì)區(qū)域具有可加性.分布在有界閉域上的整體量.2.用重積分解決問題的方法-----元素法問題:滿足什么條件的量可用重積分解決？4元素法的步驟：把定積分的元素法推廣到二重積分的應(yīng)用中.元素法也可推廣到三重積分上：5設(shè)曲面S的方程為曲面S在xoy面上的投影為區(qū)域D，如圖，設(shè)小區(qū)域點(diǎn)(x,y)為S上過點(diǎn)M(x,y,z)的切平面，以的邊界為準(zhǔn)線，母線平行于z軸的小柱面，截曲面S為截切平面為則有則面積A可看成曲面上各點(diǎn)處小切平面的面積dA無限積累而成.6---曲面S的面積元素因?yàn)閯t有7abxy83.設(shè)曲面的方程為：曲面面積公式為：2.設(shè)曲面的方程為：曲面面積公式為：同理可得曲面面積公式為：即1.設(shè)曲面的方程為：

9xzy解：xoyP175T1例1.求球面，含在圓柱體內(nèi)部的那部分面積.曲面方程：由對(duì)稱性知：10xoy所求面積為：11例2.求半徑為a的球的表面積.解：取直角坐標(biāo)系，使上半球面的方程為則上半球面在xoy面上的投影區(qū)域D可表示為由得12函數(shù)在閉區(qū)域D的邊界上不連續(xù)，這是反常的二重積分，所以先取區(qū)域算出上的球面面積后，令取的極限就得半球面的面積，13利用極坐標(biāo)，得故即為半球面的面積.因此整個(gè)球面的面積為14三、物理應(yīng)用15則得：則薄片的質(zhì)心坐標(biāo)為：16因閉區(qū)域D關(guān)于y軸對(duì)稱,所以質(zhì)心必在y軸上,于是解:1718古魯金第二定理：平面有界閉區(qū)域D繞該平面內(nèi)不與它相交的直線旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體，其體積等于D的面積與D的形心坐標(biāo)所劃出的圓周之長(zhǎng)的乘積.證明：用元素法.如圖,設(shè)D繞x軸旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)體的體積為：由于D的形心坐標(biāo)為：故19因質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于各質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和,故連續(xù)體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可用積分計(jì)算.20得：21例4.求半徑為a的均勻半圓薄片對(duì)其直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.解:

建立坐標(biāo)系如圖,半圓薄片的質(zhì)量Dxoy22232425G

為引力常數(shù)推廣到空間立體

：設(shè)物體占有空間區(qū)域,物體對(duì)位于原點(diǎn)的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力利用元素法,得：其密度函數(shù)26小結(jié)曲面面積公式為：設(shè)曲面的方程為：

27四、物