一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)

§2

一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)

一致收斂性的重要性在于可以將通項函數(shù)的許多解析性質(zhì)遺傳給和函數(shù)，如連續(xù)性、可積性、可微性等，這在理論上非常重要.返回Th13.8設(shè)且對每個n,，則和存在且相等。收斂分析：①｛fn｝一致收斂的Cauchy準(zhǔn)則②設(shè)，要證，考慮一致收斂函數(shù)極限數(shù)列極限

1.連續(xù)性證明：①先證收斂。事實上，因由一致收斂的Cauchy準(zhǔn)則，有對及下式成立從而再由數(shù)列收斂的Cauchy準(zhǔn)則知收斂，設(shè)②、再證由以及知：對及有特別取n=N+1，則有又由題設(shè)知故對上述當(dāng)時，有一致收斂函數(shù)極限數(shù)列極限綜上，當(dāng)x滿足即時，■注：在一致收斂條件下，極限順序的可交換性。即定理指出:在一致收斂的條件下,中關(guān)于獨

立變量x與n的極限可以交換次序,即(2)式成立.上一致收斂,且存在,則有Th13.9若則證明：由fn(x)的連續(xù)性知故由Th13.8知存在，且從而f(x)在x0處連續(xù)性，又由x0的任意性知，注：若但其極限函數(shù)在I上不連續(xù)，在I上不一致收斂。則■但其極限函數(shù)故上不一致收斂。在例1、的各項在連續(xù)，在x=1處不連續(xù)，例2、（fn的連續(xù)性條件是充分而非必要的）以下是兩個由不連續(xù)函數(shù)組成的函數(shù)列，可一致收斂于連續(xù)或不連續(xù)函數(shù)。⑴、在上定義而故⑵再看易知而在處間斷，且因此但S(x)在[0,1]上不連續(xù)。Th13.10若則證明：由連續(xù)性定理Th13.9知從而可積。事實上，因

2.可積性在[a,b]上一致收斂，設(shè)以下我們證明對有再由定積分性質(zhì)，得■

參見菲赫金哥爾茨《微積分學(xué)教程》第二卷第二分冊,Page.395

函數(shù)列的一致收斂性是極限運(yùn)算與積分運(yùn)算

交換的充分條件,但不是必要條件.例如:(其圖象如圖13－6所示).顯然是上的連續(xù)函數(shù)列,且對任意,例3

設(shè)函數(shù),因此上一致

收斂于0的充要條件是

.又因故的充要條件是.雖然

不一致收斂于,但定理13.10的結(jié)論仍

成立.但當(dāng)時,不一致收斂于例3說明當(dāng)收斂于時,一致收斂性是極

限運(yùn)算與積分運(yùn)算交換的充分條件,不是必要條件.

3.可微性■注請注意定理中的條件為的收斂點的作用.在定理的條件下,還可推出在上函數(shù)列一

致收斂于

這里,一致收斂條件是極限運(yùn)算與求導(dǎo)運(yùn)算交換的充分條件,但不是必要條件.例如例4

函數(shù)列與在上都收斂于0,由于在上述三個定理中,我們都可舉出函數(shù)列不一致收斂但定理結(jié)論成立的例子.在今后的進(jìn)一步學(xué)習(xí)中(如實變函數(shù)論)將討論使上述定理成立的較弱條件,但在目前情況下,只有滿足一致收斂的條件,才能保證定理結(jié)論的成立.下面討論定義在區(qū)間上函數(shù)項級數(shù)的連續(xù)性、逐項求積與逐項求導(dǎo)的性質(zhì),這些性質(zhì)可根據(jù)函數(shù)列的相應(yīng)性質(zhì)推出.定理13.12(極限交換定理、連續(xù)性定理)

1.若函數(shù)項級數(shù)在一致收斂,且對

,每個,則有

(6)2.若區(qū)間上一致收斂,且每一項都連

續(xù),則其和函數(shù)在

上也連續(xù).

在上每一項都有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù),為

定理13.13(逐項求積定理)若函數(shù)項級數(shù)定理13.14(逐項求導(dǎo)定理)若函數(shù)項級數(shù)的收斂點,且上一致收斂,則

上一致收斂,且每一項都連續(xù),則

在

定理13.13和13.14指出,在一致收斂條件下,逐項求積或求導(dǎo)后求和等于求和后再求積或求導(dǎo).注本節(jié)六個定理的意義不只是檢驗函數(shù)列或函數(shù)項級數(shù)是否滿足關(guān)系式(2)~(4),(6)~(8),更重要的是根據(jù)定理的條件,即使沒有求出極限函數(shù)或和函數(shù),也能由函數(shù)列或函數(shù)項級數(shù)本身獲得極限函數(shù)或和函數(shù)的解析性質(zhì).證明：

由Ｍ－判別法知，

所以，和函數(shù)必連續(xù)。

證明：

由Ｍ－判別法知，

例7

設(shè)證明函數(shù)項級數(shù)在上一致收斂,并討

論和函數(shù)在上的連續(xù)性、可積性與可微性.

證

對每一個n,易見為上的增函數(shù),故

有因此級數(shù)

在上一致收斂.

由于每一個在上連續(xù),根據(jù)定理13.12與

定理13.13知

的和函數(shù)在上連

續(xù)且可積.又由故在上一致收斂.

由定理13.14,得知在[0,1]上可微.

*例8

確定函數(shù)項級數(shù)的收斂域并討論

和函數(shù)的連續(xù)性.解首先利用連續(xù)性定理(或極限交換定理)建立一個判別法:若函數(shù)項級數(shù)的每一項在上

有定義,且(i)在點右連續(xù);(ii)收斂;,(iii)級數(shù)發(fā)散,則在上不一致收斂.理由是,如果在上一致收斂,則由(i),及極限交換定理得

與發(fā)散矛盾.這就證明了上述判別法.

對函數(shù)項級數(shù),用根式判別法求出其收

斂域.因為,所

以當(dāng)時級數(shù)收斂,時級數(shù)發(fā)散.而當(dāng)

級數(shù)的一般項,發(fā)

散;當(dāng)

時,級數(shù)

的一般項,也發(fā)散.因此這個級數(shù)的收斂域為設(shè)在上因為在和處分別為左連續(xù)和右連續(xù),而級數(shù)和發(fā)

散,故根據(jù)本例第一段的判別法,知道在

上不一致收斂.這說明不能用連續(xù)性定理得

出和函數(shù)在上連續(xù).是否和函數(shù)在上就不連續(xù)了?下面繼續(xù)討論.對,,使得,當(dāng)

時,有

,而級數(shù)收斂,根據(jù)

優(yōu)級數(shù)判別法,知在上一致收斂,根據(jù)函數(shù)項級數(shù)連續(xù)性定理,得到和函數(shù)在

上連續(xù),于是在連續(xù).由在上的任意性,推得級數(shù)的和函

數(shù)在上連續(xù).

注上述利用開區(qū)間的“內(nèi)閉”一致收斂來得出和函數(shù)連續(xù)性方法是函數(shù)項級數(shù)中一個典型的解題方法,請讀者關(guān)注.復(fù)習(xí)思考題1.

如何利用一致收斂的性質(zhì)來判別函數(shù)列或函數(shù)項級數(shù)不一致收斂?(