集合的基本運算全集與補集(北師大版)

設(shè)集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{2,4,6}，C＝{1,3,5}．問題1：集合B∪C等于什么？提示：B∪C＝A.問題2：集合B與集合C的交集是什么？提示：B∩C＝?.引入新課

1．全集在研究某些集合的時候，這些集合往往是某個給定集合的

，這個給定的集合叫作全集．常用符號U表示．

2．補集

(1)設(shè)U是全集，A是U的一個子集(即A?U)，則由U中所有

A的元素組成的集合，叫做U中子集A的補集(或余集)，記作

.(2)符號表示：?UA＝

．

子集不屬于?UA{x|x∈U，且x?A}(3)Venn圖表示3．補集的性質(zhì)(1)A∪(?UA)＝

；(2)A∩(?UA)＝

.U?典題精講[例3]

試用集合A,B的交集,并集,補集分別表示圖中Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ四個部分所表示的集合.ⅠⅡⅢⅣU[例4]

設(shè)全集為Ｒ,Ａ＝{x|x<5},B={x|x>3},求：(1)A∩B;(2)A∪B;(3)CRA,CRB;(4)(CRA)∩(CRB);(5)(CRA)∪(CRB);(6)CR(A∩

B);(7)CR(A∪

B).課堂練習(xí)練習(xí)P14：T1,2,3,4,5.1．全集是相對于研究的問題而言的，如我們只在整數(shù)范圍內(nèi)研究問題，則Z為全集；而當(dāng)問題擴展到實數(shù)集時，則R為全集，這時Z就不是全集．

2．補集的定義可以解釋為：如果從全集U中取出A的全部元素，則所剩下的元素組成的集合就是?UA.[例1]

(1)已知全集U＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0<x≤3}，求?UA，(?UB)∩A；

(2)設(shè)U＝{x|－5≤x<－2，或2<x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}，求?UA、?UB.[思路點撥]

(1)先求出?UA和?UB，利用數(shù)軸解決．

(2)先寫出集合U和集合B，再利用交集、補集的定義或Venn圖求解．典題精講[精解詳析]

(1)∵U＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0<x≤3}，結(jié)合數(shù)軸(如圖),可知?UA＝{x|1<x≤4}，?UB＝{x|3<x≤4，或－1≤x≤0}．結(jié)合數(shù)軸(如圖)．可知(?UB)∩A＝{x|－1≤x≤0}；(2)法一：在集合U中，∵x∈Z，則x的值為－5，－4，－3,3,4,5，∴U＝{－5，－4，－3,3,4,5}．又A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5}，B＝{－3,3,4}，∴?UA＝{－5，－4,3,4}，?UB＝{－5，－4,5}．法二：可用Venn圖表示則?UA＝{－5，－4,3,4}，?UB＝{－5，－4,5}．

[一點通]

1．在解答有關(guān)集合補集運算時，如果所給集合是無限集，則常借助于數(shù)軸，把已知集合及全集分別表示在數(shù)軸上，然后再根據(jù)補集的定義求解，這樣處理比較形象直觀，但是解答過程中注意邊界問題．

2．如果所給集合是有限集，則先把集合中的元素一一列舉出來，然后結(jié)合補集的定義來求解，針對此類問題，在解答過程中常常借助于Venn圖求解．1．(2011·四川高考)若全集M＝{1,2,3,4,5}，N＝{2,4}，

則?MN＝ (

)A．?B．{1,3,5}C．{2,4} D．{1,2,3,4,5}解析：由題意知?MN＝{1,3,5}．答案：B2．設(shè)全集U＝{x∈N＋|x<6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，

則?U(A∪B)等于 (

)A．{1,4} B．{1,5}C．{2,4} D．{2,5}解析：U＝{x∈N＋|x<6}＝{1,2,3,4,5}，A∪B＝{1,3,5}，

∴?U(A∪B)＝{2,4}．答案：C解：如圖所示[例2]設(shè)全集U＝{x|x≤20的質(zhì)數(shù)}，A∩(?UB)＝{3,5}，(?UA)∩B＝{7,19}，(?UA)∩(?UB)＝{2,17}，求集合A，B.[思路點撥]利用列舉法可求得集合U，然后利用Venn圖處理．

[精解詳析]

因為U＝{2,3,5,7,11,13,17,19}，由題意畫出Venn圖，如圖所示，故集合A＝{3,5,11,13}，B＝{7,11,13,19}．

[一點通]

Venn圖直觀形象，特別是在有限集的運算中，效果比較明顯，對集合A，B而言，有下圖：用好此圖，在解題中能起到事半功倍的效果．4．如果U＝{x|x是小于9的正整數(shù)}，A＝{1,2,3,4}，

B＝{3,4,5,6}，那么(?UA)∩(?UB)等于(

)A．{1,2} B．{3,4}C．{5,6} D．{7,8}解析：如圖所示，陰影部分為(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)＝{7,8}．答案：D5．某班共30人，其中15人喜愛籃球運動，10人喜愛乒乓

球運動，8人對這兩項運動都不喜愛,則喜愛籃球運動

但不喜愛乒乓球運動的人數(shù)為________．解析：設(shè)兩項運動都喜歡的人數(shù)為x，畫出Venn圖得到方程15－x＋x＋10－x＋8＝30?x＝3，∴喜愛籃球運動但不愛乒乓球運動的人數(shù)為15－3＝12人．答案：12[例3]

已知集合A＝{x|2a－2<x<a}，B＝{x|1<x<2}且A

?RB，求a的取值范圍．

[思路點撥]先求出?RB，再分類討論，由A

?RB求出a.[精解詳析]

?RB＝{x|x≤1或x≥2}≠?，∵A

?RB,∴分A＝?和A≠?兩種情況討論．

(1)若A＝?，此時有2a－2≥a，∴a≥2.∴a≤1.綜上所述，a的取值范圍是：a≤1或a≥2.

[一點通]解答有關(guān)交、并、補集綜合運算及含參數(shù)的問題，常借助Venn圖和數(shù)軸，采用數(shù)形結(jié)合的思想給予解答，在解答過程中注意集合運算性質(zhì)的等價轉(zhuǎn)化及端點值的取舍．6．已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤1，或x≥3}，集合B＝

{x|k＜x＜k＋1，k∈R}，且(?UA)∩B≠?，則實數(shù)k的

取值范圍為 (

)A．k＜0或k＞3 B．2＜k＜3C．0＜k＜3 D．－1＜k＜3解析：∵?UA＝{x|1＜x＜3}，(?UA)∩B≠?，∴1＜k＜3或1＜k＋1＜3，∴0＜k＜3.答案：C7．已知集合A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}和B＝{x|x2－ax＋

b＝0}，滿足(?UA)∩B＝{2}，A∩(?UB)＝{4}，U＝R，

求實數(shù)a、b的值．1．補集的性質(zhì)①?UU＝?；②