氣象統(tǒng)計方法第四章一元線性回歸分析

氣象統(tǒng)計方法主講：溫娜南京信息工程大學(xué)大氣科學(xué)學(xué)院2014年9月本課件主要參考南信大李麗平老師的課件第四章一元線性回歸（huang28）

主要內(nèi)容概述基本概念原理方差分析相關(guān)系數(shù)和線性回歸回歸方程的顯著性檢驗1.概述

回歸分析是用來尋找若干變量之間的統(tǒng)計聯(lián)系一種方法，利用找到的統(tǒng)計關(guān)系對某一變量作出未來時刻的估計，稱為預(yù)報值。包括線性回歸和非線性回歸，常用的線性回歸。

如：為了預(yù)報某地某月平均氣溫（預(yù)報量）未來時刻的變化，選擇預(yù)報前期已發(fā)生的多個有關(guān)的氣象要素（預(yù)報因子），利用回歸分析方法分析多個預(yù)報因子和預(yù)報變量之間的相互關(guān)系，建立統(tǒng)計關(guān)系方程式，最后利用其對未來時刻的氣溫作出預(yù)報估計?；貧w模型的類型2.基本概念一元回歸處理的是兩個變量之間的關(guān)系，即一個預(yù)報量和一個預(yù)報因子之間的關(guān)系。3.原理

一般來說，對樣本量為n的預(yù)報量y與預(yù)報因子x的一組樣本，如果認為y與x是一種線性統(tǒng)計關(guān)系，預(yù)報量的估計量與x有如下關(guān)系：（1）或者寫為一般的回歸方程

a是截距，b是斜率。對所有的，若與的偏差最小，就認為（1）所確定的直線能最好地代表所有實測點的散布規(guī)律。為了消除偏差符號的影響，可以用偏差的平方來反映偏差的絕對值偏離情況。

xy(xn,yn)(x1,y1)(x2,y2)(xi,yi)｝ei=yi-yi＾全部觀測值與回歸估計值的離差平方和記為它刻畫了全部觀測值與回歸直線偏離程度。顯然，Q值越小越好。a和b是待定系數(shù)，根據(jù)微積分學(xué)中的極值原理，要求：滿足上面關(guān)系的Q值最小。整理得到：上式稱為求回歸系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)方程組。展開：回歸系數(shù)也可直接表示為：上述求回歸系數(shù)的方法稱為最小二乘法距平形式的回歸方程:

即當(dāng)變量為距平時，回歸方程可以不用求a,因為a=0,回歸直線通過原點。標(biāo)準(zhǔn)化距平形式的回歸方程:4.回歸問題的方差分析（1）意義評價回歸方程的優(yōu)劣。（2）預(yù)報量的方差可以表示成回歸估計值的方差（回歸方差）和誤差方差（殘差方差）之和。即：方差分析表明，預(yù)報量y的變化可以看成由前期因子x的變化所引起的，同時加上隨機因素e變化的影響，這種前期因子x的變化影響可以歸為一種簡單的線性關(guān)系，這部分關(guān)系的變化可以用回歸方差的大小來衡量。如果回歸方差大，表明用線性關(guān)系解釋y與x的關(guān)系比較符合實際情況，回歸模型比較好。誤差方差回歸方差預(yù)報量方差有時候，兩邊同時乘以n變成各變量離差平方和的關(guān)系。U和Q分別稱為回歸平方和及殘差平方和，稱為總離差平方和。1.總離差平方和()反映因變量的n個觀察值與其均值的總離差。2.回歸平方和(U）反映自變量x的變化對因變量y取值變化的影響，或者說，是由于x與y之間的線性關(guān)系引起的y的取值變化，也稱為可解釋的平方和。3.殘差平方和(Q)反映除x以外的其它因素對y取值的影響，也稱為不可解釋的平方和或剩余平方和。5.相關(guān)系數(shù)與線性回歸----（1）因為回歸方差不可能大于預(yù)報量的方差，可以用它們的比值來衡量方程的擬合效果。即：b代入上式得:上式含義：表明了預(yù)報因子x對預(yù)報量y方差的線性關(guān)系程度，這一比值又稱為解釋方差(方差貢獻率)。也可以說明相關(guān)系數(shù)的含義：它是衡量兩個變量線性關(guān)系密切程度的量，又被稱為回歸方程的判決系數(shù)。判決系數(shù)R2(coefficientofdetermination)1.回歸平方和占總離差平方和的比例；反映回歸直線的擬合程度；取值范圍在[0,1]之間；

R21，說明回歸方程擬合的越好；R20，說明回歸方程擬合的越差；判決系數(shù)等于相關(guān)系數(shù)的平方，即R2＝r2（2）回歸系數(shù)b與相關(guān)系數(shù)之間的關(guān)系r與b同號。6.回歸方程的顯著性檢驗

原假設(shè)回歸系數(shù)b為0的條件下，上述統(tǒng)計量遵從分子自由度為1，分母自由度為（n-2）的F分布，若線性相關(guān)顯著，則回歸方差較大，因此統(tǒng)計量F也較大；反之，F(xiàn)較小。對給定的顯著性水平,查表得到F臨界值，如果,則拒絕原假設(shè)，認為線性相關(guān)顯著。上式還可以表示為：由于回歸系數(shù)b已經(jīng)知道，根據(jù)計算出x和y的相關(guān)系數(shù)，然后可以求得F.注意:

對于一元線性回歸來說，因為F的相關(guān)系數(shù)表達式開方就是相關(guān)系數(shù)t檢驗的表達式,故回歸方程的檢驗與相關(guān)系數(shù)的檢驗一致。提出假設(shè)H0：1=0,線性關(guān)系不顯著計算檢驗統(tǒng)計量F確定顯著性水平，并根據(jù)分子自由度1和分母自由度n-2找出臨界值F

作出決策：若F>F

,拒絕H0；若F<F

,不能拒絕H0線性關(guān)系檢驗的步驟概括如下：7.回歸系數(shù)的顯著性檢驗

氣象中經(jīng)常使用回歸方程的距平形式，對回歸方程的顯著性檢驗可以只對因子的回歸系數(shù)進行檢驗。

遵從自由度為n-2的t分布；或者根據(jù)F分布與t分布的關(guān)系有：

上式與之前方差檢驗的公式完全一致，但在檢驗單個變量在回歸方程中的作用時更為常用。8.預(yù)報的置信區(qū)間（95%置信區(qū)間）因為可以看成遵從的分布，所以其95%的置信區(qū)間為。

是總體均方差（誤差均方差）的無偏估計量。

例1：1）計算回歸系數(shù)，確定方程X變化一個單位，氣溫降低0.23度。2）回歸方程顯著性檢驗：3）計算預(yù)報值得置信區(qū)間，作出預(yù)測:總離差平方和x離差平方和X和y離差積之和

一組計算公式回歸分析與相關(guān)分析的區(qū)別1.相關(guān)分析中，變量x

變量y處于平等的地位；回歸分析中，變量y稱為因變量，處在被解釋的地位，x稱為自變量，用于預(yù)測因變量的變化。2.相關(guān)分析中所涉及的變量x和y都是隨機變量；回歸分析中，因變量y是隨機變量，自變量x

可以是隨機變量，也可以是非隨機的確定變量。3.相關(guān)分析主要是描述兩個變量之間線性關(guān)系的密切程度；回歸分析不僅