chap3晶體的宏觀對(duì)稱

crystalsymmetry

晶體的對(duì)稱性是晶體的基本性質(zhì)之一。內(nèi)部特征格子構(gòu)造外部現(xiàn)象晶體的幾何多面體形態(tài)晶體的物理性質(zhì)化學(xué)性質(zhì)第二章

晶體的宏觀對(duì)稱一、對(duì)稱的概念是宇宙間的普遍現(xiàn)象。是自然科學(xué)最普遍和最基本的概念，是建造大自然的密碼。對(duì)稱是指物體相等部分作有規(guī)律的重復(fù)。對(duì)于晶體外形而言，就是晶面與晶面、晶棱與晶棱、角頂與角頂?shù)挠幸?guī)律重復(fù)。二、晶體的對(duì)稱1.由于晶體都具有格子狀構(gòu)造，而格子狀構(gòu)造就是質(zhì)點(diǎn)在三維空間周期重復(fù)的體現(xiàn)，因此，所有的晶體都是對(duì)稱的。2.晶體的對(duì)稱受格子構(gòu)造規(guī)律的限制。即只有符合格子構(gòu)造規(guī)律的對(duì)稱才能在晶體上出現(xiàn)，因此，晶體對(duì)稱又是有限的。3.晶體的對(duì)稱既然取決于格子構(gòu)造，因此晶體的對(duì)稱不僅體現(xiàn)在外形上，也體現(xiàn)在物理性質(zhì)上（光學(xué)、力學(xué)、熱學(xué)、電學(xué)性質(zhì)）。三、晶體的對(duì)稱操作和對(duì)稱要素

在對(duì)晶體的對(duì)稱研究中，為使晶體上相同部分作有規(guī)律重復(fù)，必須借助一定的幾何要素（點(diǎn)、線、面）進(jìn)行一定的操作（如反映、旋轉(zhuǎn)、反伸等）才能實(shí)現(xiàn)，這些操作稱為對(duì)稱操作(symmetryoperation)，在操作中所借助的幾何要素，稱為對(duì)稱要素(symmetryelement)。反伸操作——對(duì)稱中心(centerofsymmetry)反映操作——對(duì)稱面(symmetryplane)旋轉(zhuǎn)操作——對(duì)稱軸(symmetryaxis)旋轉(zhuǎn)反伸操作——倒轉(zhuǎn)軸(rotoinversionaxis)旋轉(zhuǎn)反映操作——映轉(zhuǎn)軸(rotoreflectionaxis）對(duì)稱操作：使對(duì)稱圖形中相同部分重復(fù)的操作。對(duì)稱要素：在進(jìn)行對(duì)稱操作時(shí)所憑借的輔助幾何要素(點(diǎn)、線、面)。

對(duì)稱中心（C）

對(duì)稱中心是一個(gè)假想的點(diǎn)，與之相應(yīng)的對(duì)稱操作為對(duì)此一點(diǎn)的反伸(Inversion)。當(dāng)晶體具有對(duì)稱中心時(shí)，通過晶體中心點(diǎn)的任意一直線，在其距中心點(diǎn)等間距的兩端，必定出現(xiàn)晶體上兩個(gè)相等部分。

對(duì)稱中心—C

操作為反伸。

只可能在晶

體中心，

只可能一個(gè)。

總結(jié)：凡是有對(duì)稱中心的晶體，晶面總是成對(duì)出現(xiàn)且兩兩反向平行、同形等大。對(duì)稱面（P）

對(duì)稱面是一個(gè)假想的平面，與之相應(yīng)的對(duì)稱操作是此平面的反映。由這個(gè)平面將物體平分后的兩個(gè)相等部分互成鏡像的關(guān)系。對(duì)稱面必通過晶體的中心。=symbolforamirrorplanem對(duì)稱面(mirror)Reflectionacrossa“mirrorplane”reproducesamotif檢驗(yàn)是否成鏡象反映的簡單方法：

作兩相等部分上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線，看是否與對(duì)稱面垂直且等距。是則為對(duì)稱面。晶體中對(duì)稱面與晶面、晶棱有如下關(guān)系：（1）垂直并平分晶面；（2）垂直晶棱并通過它的中點(diǎn)；

(3)包含晶棱并且平分晶面夾角。對(duì)稱面的投影

第一步，球面投影：設(shè)想將晶體中心與投影球中心重合，將P擴(kuò)展后與投影球相交，交線就是該平面的球面投影。晶體上任一平面的球面投影均為圓。過投影球中心的平面，其球面投影是一個(gè)與投影球等徑同心的圓，稱為大圓；不過中心的，其球面投影均小于大圓，稱為小圓。

對(duì)稱面是通過晶體中心的平面，在球面投影中它與投影球面的交線為一大圓。立方體的九個(gè)對(duì)稱面極射赤平投影圖

對(duì)稱軸為一假想的通過晶體幾何中心的直線，其對(duì)稱操作為繞此直線的旋轉(zhuǎn)。當(dāng)晶體圍繞該直線每旋轉(zhuǎn)一定角度后，晶體上的相同部分便出現(xiàn)一次重復(fù)。在旋轉(zhuǎn)過程中，相等部分出現(xiàn)重復(fù)時(shí)所必須的最小旋轉(zhuǎn)角，稱為基轉(zhuǎn)角（α）。在晶體旋轉(zhuǎn)一周的過程中，相等部分出現(xiàn)重復(fù)的次數(shù)，稱為軸次（n）。

顯然：

對(duì)稱軸（Ln）α＝360°/n或n＝360°/α

晶體外形上可能出現(xiàn)的對(duì)稱軸有L1（無實(shí)際意義）、L2、L3、L4、L6，相應(yīng)的基轉(zhuǎn)角分別為360°、180°、120°、90°、60°。

L2、L3、L4和L6的作圖符號(hào)分別為、▲、■、。軸次高于2的對(duì)稱軸稱為高次軸。

66MotifElementfirstoperationstepsecondoperationstep二次對(duì)稱軸(two-foldrotation)(L2)α=360°/2=180°一次軸無實(shí)際意義。任何物體旋轉(zhuǎn)360度后都會(huì)重復(fù)。

軸次高于2者稱為高次軸。

軸次為幾次，在軸的周圍晶體上有幾個(gè)相等的部分。

晶體中可以無對(duì)稱軸，也可以有多種及多個(gè)對(duì)稱軸同時(shí)存在。

其他的對(duì)稱軸(沒有5-fold

和>6-fold

的)晶體的對(duì)稱定律：

由于晶體是具有格子構(gòu)造的固體物質(zhì)，這種質(zhì)點(diǎn)格子狀的分布特點(diǎn)決定了晶體的對(duì)稱軸只有n=1，2，3，4，6這五種，不可能出現(xiàn)n=5，n〉6的情況。為什么呢？1、直觀形象的理解：垂直五次及高于六次的對(duì)稱軸的平面結(jié)構(gòu)不能構(gòu)成面網(wǎng)，且不能毫無間隙地鋪滿整個(gè)空間,即不能成為晶體結(jié)構(gòu)。在晶體上，對(duì)稱軸可能存在的位置：（1）通過晶棱的中點(diǎn)；（2）通過晶面的中心；（3）通過角頂。在一個(gè)晶體中，除L1外，可以無、也可有一或多種對(duì)稱軸，而每一種對(duì)稱軸也可有一或多個(gè)。表示方法為3L4、4L3、6L2等。對(duì)稱軸的投影①直立對(duì)稱軸投影點(diǎn)位于基圓中心②水平對(duì)稱軸投影點(diǎn)位于基圓上③傾斜對(duì)稱軸投影點(diǎn)位于基圓內(nèi)以立方體為例，畫出其對(duì)稱軸的極射赤平投影對(duì)稱軸為通過晶體中心的直線，因此它們?yōu)橥队扒虻闹睆?。圖中可見，立方體的L4、L3和L2分別是四、三和兩個(gè)對(duì)稱面的交線，其赤平投影點(diǎn)落于對(duì)稱面投影的交點(diǎn)上。立方體的對(duì)稱要素及其赤平投影旋轉(zhuǎn)反伸軸（Lin

）

也稱為倒轉(zhuǎn)軸。其對(duì)稱操作是圍繞直線旋轉(zhuǎn)一定的角度和對(duì)于一定點(diǎn)的反伸。＝對(duì)稱軸＋對(duì)稱心

種類：

Li1=CLi2=PLi3=L3+CLi4

Li6=L3+P（Rotoinversion

）Li1=C2-foldrotoinversionStep1:rotate360°/2Note:thisisatemporarystep,theintermediatemotifelementdoesnotexistinthefinalpattern.Step2:invertThisisthesameasm,sonotanewoperationStep1Step2Li2

=P

Li3=L3C3-foldrotoinversion

Li

44-foldrotoinversion例Li4（

）具有Li4對(duì)稱的四方四方體

Li

6=L3P6-foldrotoinversion☆旋轉(zhuǎn)反伸軸

–Lin

操作為旋轉(zhuǎn)+反伸的復(fù)合操作。具體的操作過程：

Li

1=C

Li

2=P

Li

3=L3C

Li

4

Li6=L3P可見，除Li4外，其余各種旋轉(zhuǎn)反伸軸都可以用其它簡單的對(duì)稱要素或它們的組合來代替，其間關(guān)系如下：

Li1=C，Li2=P，Li3=L3+C，

Li6=L3+P但一般我們?cè)趯懢w的對(duì)稱要素時(shí)，保留Li4

和Li6，而其他旋轉(zhuǎn)反伸軸就用簡單對(duì)稱要素代替。這是因?yàn)長i4

不能被代替，Li6在晶體對(duì)稱分類中有特殊意義。

5．旋轉(zhuǎn)反映軸（Lsn）旋轉(zhuǎn)反映軸為一假想的直線；相應(yīng)的對(duì)稱操作為旋轉(zhuǎn)加反映的復(fù)合操作。121‘旋轉(zhuǎn)反映軸圖解Ls1=P=Li2Ls3=L3+P=

Li6Ls2=C=

Li1Ls6=L3+C=

Li3Ls4=Li4（a）（b）（c）（d）（e）旋轉(zhuǎn)反映軸的作用可以由旋轉(zhuǎn)反伸軸來代替：

Ls1＝P＝Li2；

Ls2＝C＝Li1；Ls3＝L3＋P⊥

＝Li6

；

Ls4＝Li4

；Ls6

＝L3＋C

＝Li3

對(duì)稱中心：C對(duì)稱面：P對(duì)稱軸：L1、L2、L3、L4、L6旋轉(zhuǎn)反伸軸：L4i、L6i四、對(duì)稱要素的組合◆對(duì)稱要素組合不是任意的，必須符合對(duì)稱要素的組合定律；◆當(dāng)對(duì)稱要素共存時(shí)，也可導(dǎo)出新的對(duì)稱要素。定理1：LnL2LnnL2

(L2與L2的夾角是Ln基轉(zhuǎn)角的一半)逆定理：

L2與L2相交，在其交點(diǎn)且垂直兩L2會(huì)產(chǎn)生Ln，其基轉(zhuǎn)角是兩L2夾角的兩倍。并導(dǎo)出其他n個(gè)在垂直Ln平面內(nèi)的L2。例如:L4L2L44L2,L3L2L33L2思考:兩個(gè)L2相交30°,交點(diǎn)處并垂直L2所在平面會(huì)產(chǎn)生什么對(duì)稱軸?定理2

如果有一個(gè)偶次對(duì)稱軸Ln垂直于對(duì)稱面P則其交點(diǎn)必為對(duì)稱中心C。

逆定理一如果有一個(gè)偶次軸Ln與對(duì)稱中心共存，則過C點(diǎn)且垂直于Ln的平面必為對(duì)稱面。(n為偶數(shù)）

逆定理二如果有一個(gè)對(duì)稱面與對(duì)稱中心共存，二者的交點(diǎn)必為對(duì)稱中心C

P×C

簡式Ln×P⊥--LnPC（n為偶數(shù)）

Ln×C

定理3：如果有一個(gè)對(duì)稱面P包含Ln,必有n個(gè)對(duì)稱面包含Ln

，且任意兩相鄰P之間的夾角為α

α=360o/2n

以簡式表示：Ln×P//

=Ln

nP

逆定理：如果兩個(gè)對(duì)稱面P以α角相交，其交線必為一個(gè)次軸Ln

。

思考:兩個(gè)對(duì)稱面相交60°,交線處會(huì)產(chǎn)生什么對(duì)稱軸?定理4

如果有一個(gè)二次對(duì)稱軸L2垂直于Lin，或者有一個(gè)對(duì)稱面P包含Lin，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，則必有n個(gè)L2垂直或n個(gè)P包含Lin，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，則必有n/2個(gè)L2垂直或n/2個(gè)P包含Lin.簡式L2×Lin⊥

-Lin

(n/2)L2

或Lin×P//-Lin

(n/2)PLin（n為偶數(shù)）

L2×Lin⊥

-LinnL2⊥

或Lin×P//-LinnP//(n為奇數(shù))

五、對(duì)稱型的概念及晶體的分類

各種晶體的對(duì)稱程度有很大的差別，主要表現(xiàn)在它們所具有的對(duì)稱要素的種類、軸次和數(shù)目上。在結(jié)晶學(xué)中，把結(jié)晶多面體中全部對(duì)稱要素的總和，稱為對(duì)稱型。

晶體中全部對(duì)稱要素交于一點(diǎn)，在進(jìn)行對(duì)稱操作時(shí)至少有一點(diǎn)不動(dòng)。因此對(duì)稱型又稱為點(diǎn)群。

經(jīng)過數(shù)學(xué)推導(dǎo)，證明對(duì)稱型只有32種。我們將屬于同一對(duì)稱型的所有晶體，歸為一類，稱為晶類。晶類也只有32個(gè)。在32個(gè)晶類中，按它們所屬的對(duì)稱型特點(diǎn)劃分為七個(gè)晶系。再按高次對(duì)稱軸的有無和高次對(duì)稱軸的數(shù)目，將七個(gè)晶系并為三個(gè)晶族。

根據(jù)高次軸的有無及多少而將晶體劃分為三個(gè)晶族

低級(jí)晶族：無高次軸；L2PC,C

中級(jí)晶族：只有一個(gè)高次軸；L44L25PC

高級(jí)晶族：有數(shù)個(gè)高次軸；3L44L36L29PC晶系(crystalsystem)的劃分

根據(jù)對(duì)稱軸或倒轉(zhuǎn)軸軸次的高低以及它們數(shù)目的多少，總共劃分為如下七個(gè)晶系,分屬于三個(gè)晶族。1、晶族、晶系、晶類的劃分，見表3-4。

這個(gè)表非常重要，一定要熟記。

從這個(gè)表可知有7個(gè)晶系，對(duì)應(yīng)7種空間格子形式。

平行六面體的形狀一共7種，對(duì)應(yīng)有7套晶胞參數(shù)的形式，也對(duì)應(yīng)7個(gè)晶系。表3-432個(gè)對(duì)稱型六、十四種空間格子（十四種布拉維格子）

1．平行六面體的選擇對(duì)于每一種晶體結(jié)構(gòu)而言，其結(jié)點(diǎn)(相當(dāng)點(diǎn))的分布是客觀存在的，但平行六面體的選擇是人為的。平行六面體的選擇原則如下：1）所選取的平行六面體應(yīng)能反映結(jié)點(diǎn)分布整體所固有的對(duì)稱性；2）在上述前提下，所選取的平行六面體中棱與棱之間的直角關(guān)系力求最多；3）在滿足以上二條件的基礎(chǔ)上，所選取的平行六面體的體積力求最小。

下面兩個(gè)平面點(diǎn)陣圖案中，請(qǐng)同學(xué)們畫出其空間格子：

4mmmm24mm

mm2引出一個(gè)問題：空間格子可以有帶心的格子；2．各晶系平行六面體的形狀和大小平行六面體的形狀和大小用它的三根棱長（軸長）a、b、c及棱間的夾角（軸角）、、表征。這組參數(shù)（a、b、c；、、）即為晶胞參數(shù).在晶體宏觀形態(tài)我們可以得到各晶系的晶體常數(shù)特點(diǎn)，是根據(jù)晶軸對(duì)稱特點(diǎn)得出的.宏觀上的晶體常數(shù)與微觀的晶胞參數(shù)是對(duì)應(yīng)的,但微觀的晶體結(jié)構(gòu)中我們可以得到晶胞參數(shù)的具體數(shù)值。3．平行六面體中結(jié)點(diǎn)的分布（即格子類型）1）原始格子（P）：結(jié)點(diǎn)分布于平行六面體的八個(gè)角頂上。2）底心格子（C、A、B）：結(jié)點(diǎn)分布于平行六面體的角頂及某一對(duì)面的中心。3）體心格子（I）：結(jié)點(diǎn)分布于平行六面體的角頂和體中心。4）面心格子（F）：結(jié)點(diǎn)分布于平行六面體的角頂和三對(duì)面的中心。

其中底心、體心、面心格子稱帶心的格子，我們?cè)谇懊娈嫺褡拥睦又幸呀?jīng)知道有帶心格子的存在，這是因?yàn)橛行┚w結(jié)構(gòu)在符合其對(duì)稱的前提下不能畫出原始格子，只能畫出帶心的格子。4．十四種布拉維格子七個(gè)晶系---七套晶體常數(shù)—七種平行六面體種形狀。每種形狀有四種類型，那么就有7×4=28種空間格子？但在這28種中，某些類型的格子彼此重復(fù)并可轉(zhuǎn)換，還有一些不符合某晶系的對(duì)稱特點(diǎn)而不能在該晶系中存在，因此,只有14種空間格子，也叫14種布拉維格子。（A.Bravais于1848年最先推導(dǎo)出來的）舉例說明：1、四方底心格子可轉(zhuǎn)變?yōu)轶w積更小的四方原始格子；2、在等軸晶系中，若在立方格子中的一對(duì)面的中心安置結(jié)點(diǎn)，則完全不符合等軸晶系具有4L3的對(duì)稱特點(diǎn)，故不可能存在立方底心格子。例1：四方底心格子＝四方原始格子晶系原始格子（P）底心格子（C）體心格子（I）面心格子（F）三斜

C=II=FF=P單斜

I=F

F=C斜方

四方C=PF=I三方與本晶系對(duì)稱不符I=FF=P六方與本晶系對(duì)稱不符與空間格子的條件不符與空間格子的條件不符等軸與本晶系對(duì)稱不符本章重點(diǎn)總結(jié)：

1)

對(duì)稱要素：P,Ln,C,Lin；

2)對(duì)稱要素組合：4個(gè)定理；

3)對(duì)稱型：要學(xué)會(huì)用組合定理判斷正確與否；

4)晶體的對(duì)稱分類：3個(gè)晶族，7個(gè)晶系，32個(gè)晶類。

5)十四種空間格子。第3章晶體的宏觀對(duì)稱（下）3.5晶體的32種點(diǎn)群及其符號(hào)（重點(diǎn)介紹國際符號(hào)）：1.點(diǎn)群的推導(dǎo)2.點(diǎn)群國際符號(hào)的表達(dá)A類組合：高次軸（n>2）不多于一個(gè)的組合；B類組合：高次軸多于一個(gè)的組合。1.對(duì)稱元素組合定理三：Ln

●

P∥→LnnP定理一：Ln●L2⊥→LnnL2定理二：L2n●

P⊥→L2nPC

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Lni

●

L2⊥→LninL2⊥nP∥

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Lni

●

L2⊥→Lnin/2L2⊥n/2P∥

定理四：1.對(duì)稱元素單獨(dú)存在：2.對(duì)稱軸與對(duì)稱軸的組合：3.對(duì)稱軸Ln與垂直它的對(duì)稱面的組合（定理2）4.對(duì)稱軸Ln與包含它的對(duì)稱面的組合（定理3）5.對(duì)稱軸Ln與包含它的對(duì)稱面以及垂直它的對(duì)稱面的組合。C，P，L1，L2，L3，L4，L6，L3C，L4i，L3PLn與L2平行Ln與L2垂直不存在定理1和定理4B類組合3L24L33L44L26L2對(duì)稱面對(duì)稱心3L44L23PC3Li44L36P3L44L26L29PC+L21、國際符號(hào)的表示方法2對(duì)稱型的國際符號(hào)對(duì)稱型的國際符號(hào)是國際上通用的對(duì)稱型表示符號(hào)，為格爾曼、摩根所創(chuàng)。在對(duì)稱型國際符號(hào)所采用的基本對(duì)稱要素為對(duì)稱面、對(duì)稱軸和旋轉(zhuǎn)反伸軸，一般不列出對(duì)稱中心。對(duì)稱面：以m表示對(duì)稱軸：以軸次1、2、3、4、6表示旋轉(zhuǎn)反伸軸：用、、、、表示，“”讀作“3一橫”。其中，＝L1i＝C，故常用“”表示對(duì)稱中心。對(duì)稱型的國際符號(hào)的書寫順序是嚴(yán)格按結(jié)晶軸方向排列的，通常是由不超過3個(gè)的位組成。

國際符號(hào)中的每個(gè)位依次分別表示晶體中一定方向上所存在的對(duì)稱要素，即與該方向平行的對(duì)稱軸或旋轉(zhuǎn)反伸軸，以及與該方向垂直的對(duì)稱面。如果兩類對(duì)稱要素在某一方向上同時(shí)存在，則寫成分式的形式，例如，（通常寫成4/m）。如果某一個(gè)位對(duì)應(yīng)的方向上，不存在對(duì)稱要素時(shí)，則將該位置空著。

不同晶系，每個(gè)位分別代表的結(jié)晶軸方向是不同的。

在運(yùn)用對(duì)稱型的國際符號(hào)時(shí)，應(yīng)熟練掌握對(duì)稱要素的組合定理。如4/m表示L4＋P⊥→L4PC。優(yōu)點(diǎn)：⑴簡明；⑵對(duì)稱要素的空間方位清楚。晶系序位代表方向等軸晶系1

x或y或z軸方向2三次軸方向3

x、y或