D9-4-1常系數(shù)齊次線性微分方程

二階常系數(shù)第四節(jié)線性微分方程一、二階齊次線性微分方程二、二階非齊次線性微分方程

第九章一、二階齊次線性微分方程基本思路:求解常系數(shù)線性齊次微分方程求特征方程（代數(shù)方程）之根轉(zhuǎn)化n

階線性微分方程的一般形式為二階線性微分方程的一般形式時(shí),稱為非齊次線性方程;時(shí),稱為齊次線性方程.復(fù)習(xí):

一階線性方程通解:非齊次方程特解齊次方程通解Y證畢（一）二階齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)是二階線性齊次方程的兩個(gè)解,也是該方程的解.證:代入方程左邊,得(疊加原理)

定理1.說明:不一定是所給二階方程的通解.例如,是某二階齊次方程的解,也是齊次方程的解,并不是通解.但是則為解決通解的判別問題,下面引入函數(shù)的線性相關(guān)與線性無關(guān)概念.定義:是定義在區(qū)間I

上的

n個(gè)函數(shù),使得則稱這

n個(gè)函數(shù)在I

上線性相關(guān),否則稱為線性無關(guān).例如，

在(,)上都有故它們在任何區(qū)間I

上都線性相關(guān);又如，若在某區(qū)間

I

上必需全為0,可見I

上都線性無關(guān).若存在不全為0

的常數(shù)在任何區(qū)間

兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間I

上線性相關(guān)與線性無關(guān)的充要條件:線性相關(guān)存在不全為0的使(無妨設(shè)線性無關(guān)常數(shù)思考:中有一個(gè)恒為0,則必線性相關(guān)常數(shù)定理2.是二階線性齊次方程的兩個(gè)線性無關(guān)特解,數(shù))是該方程的通解.例如,方程有特解且常數(shù),故方程的通解為(自證)

推論.是

n

階齊次方程的n

個(gè)線性無關(guān)解,則方程的通解為則（二）二階常系數(shù)齊次線性微分方程因?yàn)閞為常數(shù)時(shí)，函數(shù)erx

和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)因子,代入①得稱②為微分方程①的特征方程,1.當(dāng)時(shí),②有兩個(gè)相異實(shí)根方程有兩個(gè)線性無關(guān)的特解:因此方程的通解為(r

為待定常數(shù)),①所以令①的解為②則微分其根稱為特征根.特征方程2.當(dāng)時(shí),

特征方程有兩個(gè)相等實(shí)根則微分方程有一個(gè)特解設(shè)另一特解(u(x)待定)代入方程得:是特征方程的重根取u=x,則得因此原方程的通解為特征方程3.當(dāng)時(shí),

特征方程有一對共軛復(fù)根這時(shí)原方程有兩個(gè)復(fù)數(shù)解:

利用解的疊加原理,得原方程的線性無關(guān)特解:因此原方程的通解為小結(jié):特征方程:實(shí)根特征根通解例1.的通解.解:

特征方程特征根:因此原方程的通解為例2.

求解初值問題解:

特征方程有重根因此原方程的通解為利用初始條件得于是所求初值問題的解為例3.的通解.解:

特征方程特征根:因此原方程的通解為1.若特征方程含單實(shí)根r,則其通解中必含對應(yīng)項(xiàng)特征方程:（三）n階常系數(shù)齊次線性微分方程2.若特征方程含k

重實(shí)根r,則其通解中必含對應(yīng)項(xiàng)4.若特征方程含k

重復(fù)根則其通解中必含對應(yīng)項(xiàng)特征方程:3.若特征方程含1對復(fù)根則其通解中必含對應(yīng)項(xiàng)例4.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程通解為例5.解:

特征方程:特征根:原方程通解:例6.解:

特征方程:特征根為重根則方程通解:內(nèi)容小結(jié)(1)當(dāng)時(shí),通解為(2)當(dāng)時(shí),通解為(3)當(dāng)時(shí),通解為可推廣到高階常系數(shù)線性齊次方程求通解.求解步驟:求出特征方程的兩個(gè)根第一步:寫出微分方程的特征方程第二步:根據(jù)特征根第三步:寫出通解.思考與練習(xí)1、求方程的通解.答案:通解為通解為通解為第八節(jié)2.求一個(gè)以常系數(shù)線性齊次微分方程,并求其通解.解:

根據(jù)給定的特解知特征方程有根:因此特征方程為即故所求方程為其通解為為特解的二

階

3.為特