高中數(shù)學(xué)高考一輪復(fù)習(xí)一輪復(fù)習(xí) 第五節(jié) 古典概型

課時(shí)作業(yè)(五十九)古典概型1．集合A＝{2，3}，B＝{1，2，3}，從A，B中各任意取一個(gè)數(shù)，則這兩數(shù)之和等于4的概率是()A．eq\f(2,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,6)C[從A，B中任意取一個(gè)數(shù)，共有2×3＝6(種)情形，兩數(shù)和等于4的情形只有(2，2)，(3，1)兩種，所以P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).故選C.]2．在{3，5}和{2，4}兩個(gè)集合中各取一個(gè)數(shù)組成一個(gè)兩位數(shù)，則這個(gè)數(shù)能被5整除的概率是()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,6)C[在{3，5}和{2，4}兩個(gè)集合中各取一個(gè)數(shù)組成的兩位數(shù)有：32，34，52，54，23，25，43，45，共8個(gè)，其中能被5整除的兩位數(shù)有：25，45，共2個(gè)，故所求概率P＝eq\f(2,8)＝eq\f(1,4)，故選C.]3．(2023·武漢市學(xué)習(xí)質(zhì)量檢測(cè))同時(shí)拋擲兩個(gè)質(zhì)地均勻的骰子，向上的點(diǎn)數(shù)之和等于5的概率為()A．eq\f(1,9) B．eq\f(1,6)C．eq\f(1,18) D．eq\f(5,12)A[同時(shí)拋擲兩個(gè)質(zhì)地均勻的骰子不同的情況有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，…，(6，5)，(6，6)，共36種，其中向上的點(diǎn)數(shù)之和等于5的情況有(1，4)，(4，1)，(2，3)，(3，2)，共4種情況，由古典概型的概率計(jì)算公式得所求的概率為eq\f(4,36)＝eq\f(1,9).故選A．]4．(多選)(2023·滄州期中)從集合A＝{－1，－3，2，4}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為a，從集合B＝{－5，1，4}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為b，則()A．a(chǎn)b＞0的概率是eq\f(1,2)B．a(chǎn)＋b≥0的概率是eq\f(1,2)C．直線y＝ax＋b不經(jīng)過第三象限的概率是eq\f(1,3)D．lna＋lnb＞1的概率是eq\f(5,12)AC[由題意可知是(a，b)所有可能的取法有12種，(－1，－5)，(－1，1)，(－1，4)，(－3，－5)，(－3，1)，(－3，4)，(2，－5)，(2，1)，(2，4)，(4，－5)，(4，1)，(4，4).其中滿足ab＞0的取法有(－1，－5)，(－3，－5)，(2，1)，(2，4)，(4，1)，(4，4)共6種，則ab＞0的概率P＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2)，故A正確；其中滿足a＋b≥0的取法有(－1，1)，(－1，4)，(－3，4)，(2，1)，(2，4)，(4，1)，(4，4)，共7種，則a＋b≥0的概率P＝eq\f(7,12)，故B錯(cuò)誤；因?yàn)橹本€y＝ax＋b不經(jīng)過第三象限，所以a＜0，b≥0，所有滿足直線y＝ax＋b不經(jīng)過第三象限的取法有(－1，1)，(－1，4)，(－3，1)，(－3，4)，共4種，則直線y＝ax＋b不經(jīng)過第三象限的概率P＝eq\f(4,12)＝eq\f(1,3)，故C正確；因?yàn)閘na＋lnb＝lnab＞1，所以a＞0，b＞0，ab＞e，所以滿足lna＋lnb＞1的取法有(2，4)，(4，1)，(4，4)，共3種，故lna＋lnb＞1的概率P＝eq\f(3,12)＝eq\f(1,4)，故D錯(cuò)誤．故選AC.]5．(2023·重慶模擬)2023年2月，在新型冠狀病毒肺炎疫情防控工作期間，某單位有4名黨員報(bào)名參加該地四個(gè)社區(qū)的疫情防控服務(wù)工作，假設(shè)每名黨員均從這四個(gè)社區(qū)中任意選取一個(gè)社區(qū)參加疫情防控服務(wù)工作，則恰有一個(gè)社區(qū)未被這4名黨員選取的概率為()A．eq\f(81,256) B．eq\f(27,64)C．eq\f(9,64) D．eq\f(9,16)D[由題意得基本事件總數(shù)為44，而恰有一個(gè)社區(qū)未被這4名黨員選取包含的基本事件個(gè)數(shù)為Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))，則恰有一個(gè)社區(qū)未被這4名黨員選取的概率P＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)),44)＝eq\f(9,16).故選D.]6．將號(hào)碼分別為1，2，3，4的四個(gè)小球放入一個(gè)袋中，這些小球僅號(hào)碼不同，其余完全相同，甲從袋中摸出一個(gè)小球，其號(hào)碼為a，放回后，乙從此口袋中再摸出一個(gè)小球，其號(hào)碼為b，則使不等式a－2b＋4<0成立的事件發(fā)生的概率為________．解析：由題意知(a，b)的所有可能結(jié)果有16種．其中滿足a－2b＋4<0有(1，3)，(1，4)，(2，4)，(3，4)共4種結(jié)果．故所求事件的概率p＝eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)7．(2023·柯城區(qū)校級(jí)模擬)洛書，古稱龜書，是陰陽五行術(shù)數(shù)之源．在古代傳說中有神龜出于洛水，其甲殼上有此圖象，結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽數(shù)，四隅黑點(diǎn)為陰數(shù)，其各行各列及對(duì)角線點(diǎn)數(shù)之和皆為15.如圖，則甲殼上所有陰陽數(shù)之和________；若從五個(gè)陽數(shù)中隨機(jī)抽取三個(gè)數(shù)，則能使得這三個(gè)數(shù)之和等于15概率是________．解析：甲殼上所有陰陽數(shù)之和為：2＋4＋6＋8＋1＋3＋5＋7＋9＝45.從五個(gè)陽數(shù)：1，3，5，7，9中隨機(jī)抽取三個(gè)數(shù)，基本事件總數(shù)n＝Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))＝10，能使得這三個(gè)數(shù)之和等于15的三個(gè)數(shù)為：(1，5，9)，(3，5，7)，共2個(gè)，則能使得這三個(gè)數(shù)之和等于15的概率P＝eq\f(2,10)＝eq\f(1,5).故答案為：45；eq\f(1,5).答案：45；eq\f(1,5)8．如圖的三行三列的方陣中有九個(gè)數(shù)aij(i＝1，2，3；j＝1，2，3)，從中任取三個(gè)數(shù)，則至少有兩個(gè)數(shù)位于同行或同列的概率為________．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a11a12a13,a21a22a23,a31a32a33))解析：從九個(gè)數(shù)中任取三個(gè)數(shù)的不同取法共有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(9))＝eq\f(9×8×7,1×2×3)＝84種，取出的三個(gè)數(shù)分別位于不同的行與列的取法共有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))·Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))·Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(1))＝6種，所以至少有兩個(gè)數(shù)位于同行或同列的概率為1－eq\f(6,84)＝eq\f(13,14).答案：eq\f(13,14)9．某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客購買一定金額的商品即可抽獎(jiǎng)．抽獎(jiǎng)方法是：從裝有2個(gè)紅球A1，A2和1個(gè)白球B的甲箱與裝有2個(gè)紅球a1，a2和2個(gè)白球b1，b2的乙箱中，各隨機(jī)摸出1個(gè)球，若摸出的2個(gè)球都是紅球則中獎(jiǎng)，否則不中獎(jiǎng)．(1)用球的標(biāo)號(hào)列出所有可能的摸出結(jié)果；(2)有人認(rèn)為：兩個(gè)箱子中的紅球比白球多，所以中獎(jiǎng)的概率大于不中獎(jiǎng)的概率．你認(rèn)為正確嗎？請(qǐng)說明理由．解析：(1)所有可能的摸出結(jié)果是{A1，a1}，{A1，a2}，{A1，b1)，{A1，b2}，{A2，a1}，{A2，a2}，{A2，b1}，{A2，b2}，{B，a1}，{B，a2}，{B，b1}，{B，b2}．(2)不正確，理由如下：由(1)知，所有可能的摸出結(jié)果共12種，其中摸出的2個(gè)球都是紅球的結(jié)果為{A1，a1}，{A1，a2}，{A2，a1}，{A2，a2}，共4種，所以中獎(jiǎng)的概率為eq\f(4,12)＝eq\f(1,3)，不中獎(jiǎng)的概率為1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)>eq\f(1,3)，故這種說法不正確．10．海關(guān)對(duì)同時(shí)從A，B，C三個(gè)不同地區(qū)進(jìn)口某種商品進(jìn)行抽樣檢測(cè)，從各地區(qū)進(jìn)口此種商品的數(shù)量(單位：件)如下表所示．工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進(jìn)行檢測(cè)．地區(qū)ABC數(shù)量50150100(1)求這6件樣品中來自A，B，C各地區(qū)商品的數(shù)量；(2)若在這6件樣品中隨機(jī)抽取2件送往甲機(jī)構(gòu)進(jìn)行進(jìn)一步檢測(cè)，求這2件商品來自相同地區(qū)的概率．解析：(1)A，B，C三個(gè)地區(qū)商品的總數(shù)量為50＋150＋100＝300，抽樣比為eq\f(6,300)＝eq\f(1,50)，所以樣本中包含三個(gè)地區(qū)的個(gè)體數(shù)量分別是50×eq\f(1,50)＝1，150×eq\f(1,50)＝3，100×eq\f(1,50)＝2.所以A，B，C三個(gè)地區(qū)的商品被選取的件數(shù)分別是1，3，2.(2)設(shè)6件來自A，B，C三個(gè)地區(qū)的樣品分別為：A；B1，B2，B3；C1，C2.則從6件樣品中抽取的這2件商品構(gòu)成的所有基本事件為：{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B3，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15個(gè)．每個(gè)樣品被抽到的機(jī)會(huì)相等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的．記事件D：“抽取的這2件商品來自相同地區(qū)”，則事件D包含的基本事件有：{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4個(gè)，所以P(D)＝eq\f(4,15).即這2件商品來自相同地區(qū)的概率為eq\f(4,15).11．(2023·江西南昌四校聯(lián)考)在明代珠算發(fā)明之前，我們的先祖從春秋開始多是用算籌為工具記數(shù)、列式和計(jì)算．算籌實(shí)際上是一根根相同長度的小木棍，如圖是利用算籌表示數(shù)1～9的一種方法，例如：47可以表示為“”，如果用算籌表示一個(gè)不含“0”且沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，這個(gè)數(shù)至少要用8根小木棍的概率為()A．eq\f(11,14) B．eq\f(3,14)C．eq\f(73,84) D．eq\f(6,7)D[至少要用8根小木棍的對(duì)立事件為用5根，6根，7根這三種情況，用5根小木棍為數(shù)字1、2、6這一種情況的全排列，用6根小木棍為數(shù)字1、2、3，1、2、7，1、6、3，1、6、7這四種情況的全排列，用7根小木棍為數(shù)字1、2、4，1、2、8，1、6、4，1、6、8，1、3、7，2、6、7，2、6，3這七種情況的全排列，故至少要用8根小木棍的概率為1－eq\f(12Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)),Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(9)))＝eq\f(6,7).]12．若a，b∈{－1，0，1，2}，則使關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)數(shù)解的概率為________．解析：要使方程有實(shí)數(shù)解，則a＝0或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ab≤1，,a≠0，))所有可能的結(jié)果為(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(－1，2)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，－1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)共16個(gè)，其中符合要求的有13個(gè)，故所求概率P＝eq\f(13,16).答案：eq\f(13,16)13．在某大型活動(dòng)中，甲、乙等五名志愿者被隨機(jī)地分到A，B，C，D四個(gè)不同的崗位服務(wù)，每個(gè)崗位至少有一名志愿者．(1)求甲、乙兩人同時(shí)參加A崗位服務(wù)的概率；(2)求甲、乙兩人不在同一個(gè)崗位服務(wù)的概率；(3)求五名志愿者中僅有一人參加A崗位服務(wù)的概率；解析：(1)記“甲、乙兩人同時(shí)參加A崗位服務(wù)”為事件EA，那么P(EA)＝eq\f(Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4)))＝eq\f(1,40)，即甲、乙兩人同時(shí)參加A崗位服務(wù)的概率是eq\f(1,40).(2)記“甲、乙兩人同時(shí)參加同一崗位服務(wù)”為事件E，那么P(E)＝eq\f(Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4)))＝eq\f(1,10)，所以甲、乙兩人不在同一崗位服務(wù)的概率是P(eq\o(E,\s\up6(－)))＝1－P(E)＝eq\f(9,10).(3)有兩個(gè)同時(shí)參加A崗位服務(wù)的概率P2＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4)))＝eq\f(1,4)，所以僅有一人參加A崗位服務(wù)的概率P1＝1－P2＝eq\f(3,4).14．十八屆三中全會(huì)提出以管資本為主加強(qiáng)國有資產(chǎn)監(jiān)管．改革國有資本授權(quán)經(jīng)營體制．恒天集團(tuán)和綠地集團(tuán)利用現(xiàn)有閑置資金可選擇投資新能源汽車或投資文化地產(chǎn)，以推進(jìn)混合所有制改革，使國有資源效益最大化．①投資新能源汽車：投資結(jié)果盈利不賠不賺虧損概率eq\f(1,2)eq\f(1,8)eq\f(3,8)②投資文化地產(chǎn)：投資結(jié)果盈利不賠不賺虧損概率peq\f(1,3)q(1)當(dāng)p＝eq\f(1,2)時(shí)，求q的值；(2)若恒天集團(tuán)投資文化地產(chǎn)虧損的概率比投資新能源汽車虧損的概率小，求p的取值范圍；(3)假設(shè)恒天集團(tuán)和綠地集團(tuán)都選擇投